Касательное отображение. Дифференцируемое отображение

9. Касательное отображение. Дифференцируемое отображение. Производная, свойства производной. Производная постоянного отображения, производная линейного отображения.
Всюду далее X,Y— банаховы пространства надK={C,R}, буквами Uи V обозначаются открытые множества вX и Y.
Опр. 7.1. Пустьf:U⊂X→Y,g:U⊂X→R,x_0∈R. Говорят, чтоf(x)=o(g(x))приx→x_0,
если справедливо равенство‖f(x)‖=ε(x)g(x), где ε:U⊂X→R,ε(x)→0при x→x_0.
Опр. 7.2.Пустьf,g:U⊂X→Y— отображения, определенные на открытом множестве Uиз пространстваX. Отоб¬ражение gназывается касательнымкfв точкеx_0∈U, еслиf(x)=g(x)+o(‖x-x_0 ‖), при x→x_0, то есть ‖f(x)-g(x)‖/‖x-x_0 ‖ →0, при x→x_0.
Легко видеть, что «fкасательно g» есть отношение эквивалент¬ности.
Опр. 7.3. Отображение f:U⊂X→Yназывается дифференцируемым в точке x_0, если существует такой операторA∈L(X,Y), что fкасательно gв точке x_0, где gопределено по формулеg(x)=f(x_0 )+A(x-x_0 ),x∈U.
Иначе говоря, fдифференцируемо в точке x_0еслиf(x)=f(x_0 )+A(x-x_0 )+o(‖x-x_0 ‖), при x→x_0.
Если fдифференцируемо в каждой точке U, тоfназывают дифференцируемым.
Оператор Aназывается производной отображения fв точке x_0. При этом используется привычное обозначение:f (x_0) = A.
Также пишут Df(x_0), D_(x_0 ) fи т. д.
Теорема 7.1.Определение производной корректно: линейный оператор Aопределён однозначно для каждой точкиx_0.
Доказательство. Пустьf:U⊂X→Yдифференцируемо в точке x_0. Тогда fкасательно gв точке x_0, где g(x)=f(x_0 )+A(x-x_0 ). Пусть теперь g_0 (x)=f(x_0 )+B(x-x_0 ), B∈L(X,Y),также касательно кfв точке x_0. Тогда g_0касательно gв точкеx_0:g(x)-g_0 (x)=(A-B)(x-x_0 ),причемg(x)-g_0 (x)=o(‖x-x_0 ‖ ). Примем обозначение h=x-x_0. Тогда(A-B)h=o(‖h‖).Раскрывая определение символа «о» получаем, ∀ε>0 ∃δ:‖h‖<δ, то ‖(A-B)h/‖h‖ ‖<ε, ‖h‖<δ.
Тогда〖sup〗_(‖h‖<δ) ‖(A-B)h/‖h‖ ‖=〖sup〗_(‖x‖≤1) ‖(A-B)x‖=‖A-B‖<εоткуда, в силу произвольности ε получаем, что A=B.Теорема док-на.
Теорема 7.2.Пустьf,g:U⊂X→Yдифференцируемы в точке x_0. Тогдаαf+βgтакже дифференцируемо в точке x_0, при¬чем(αf+βg)^ (x_0 )=αf^ (x_0 )+βg^ (x_0 ).
Доказательство. Отображения f, gдифференцируемы в точ¬кеx_0, значит
f(x)=f(x_0 )+f^ (x_0 )(x-x_0 )+o(‖x-x_0 ‖),
g(x)=g(x_0 )+g^ (x_0 )(x-x_0 )+o(‖x-x_0 ‖).
Домножая эти равенства наαи β соответственно и сложив, полу¬чаем, в силу свойств символа «о»:(αf+βg)(x)=(αf+βg)(x_0 )+(αf^ (x_0 )+βg^ (x_0 ) )(x-x_0 )+o(‖x-x_0 ‖),то есть, в силу корректности определения производной, (αf+βg)^ (x_0 )=αf^ (x_0 )+βg^ (x_0 ). Теорема док-на.
Теорема 7.3.Еслиf:X→Y — постоянное отображение, тоfдифференцируемо в любой точке пространстваX, причем f(x)=0в любой точкеx∈X.
Теорема 7.4. ЕслиA∈L(X,Y),то отображениеAдиффе¬ренцируемо в любой точкеx∈XиA(x)= A.

10.Билинейные и полилинейные ограниченные операторы. Производные высших порядков. Формула Тейлора (БД).
Опр.1 Пусть Xи Y–линейные пр-ва над полем K. Отоб-иеf:X^n=X×X…×X→Yназыв. полилинейным оператором (при n=2 – билинейным оператором), если оно явл-ся линейным оператором по каждой переменной, т.е. для каждого k(1≤k≤n)и любых фиксированных n-1векторов x_1^0,…,x_(k-1)^0,x_(k+1)^0,…,x_n^0из Xотоб-иеf_k:X→Y, определяемое фор-ой f_k (x)=f(x_1^0,…,x_(k-1)^0,x_(k+1)^0,…,x_n^0 ),x∈X, явл-сялин. оператором. Если Y=K, то полилинейные операторы назыв. полилинейными формами (функциями, функционалами.)
Опр. 7.4. Билинейный операторA:X×X→Y на¬зывается ограниченным, если ‖A‖=〖sup〗_(‖x_1 ‖≤1,‖x_2 ‖≤1) ‖A(x_1,x_2)‖<∞.
Символом B_2 (X,Y)будем обозначать нормированное пространство билинейных ограниченных операторов, действующих изX×Xв Y.
Аналогично определяется полилинейный ограниченный опера¬тор. Пространство n-линейных ограниченных операторов обозна¬чаетсяB_n (X,Y).
Теорема 7.6.Пространство операторовL(X,L(X,Y))и про¬странство билинейных операторовB_2 (X,Y)изометрически изо¬морфны.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть отображениеJ: L(X,L(X,Y) )→B_2 (X,Y) действует по правилу
(JA)(x_1,x_2) = (Ax_1)x_2.
Очевидно, это линейный оператор междуL(X,L(X,Y)) и B_2 (X,Y). Биективность проверяется непосредственно. Проверим изометричность:‖JA‖_(B_2 (X,Y))=〖sup〗_(‖x_1 ‖≤1,‖x_2 ‖≤1) ‖A(x_1)x_2 ‖_Y=〖sup〗_(‖x_1 ‖≤1) (〖sup〗_(‖x_2 ‖≤1) ‖A(x_1 ) x_2 ‖_Y )=〖sup〗_(‖x_1 ‖≤1) (‖A(x_1 ) ‖_L(X,Y) )=‖A‖_(L(X,L(X,Y))).
Аналогично для полилинейных операторов:
Теорема 7.7.ПространстваL(X,L(X,...,L(X,Y)))иB_n (X,Y)изометрически изоморфны.
Из этих теорем, в частности, следует, чтоB_n (X,Y)— банахово пространство, если Yбанахово.
Опр. 7.5. Пустьf:U⊂X→Y дифференцируемо в каждой точке Uи отображениеf:U⊂X→L(X,Y)дифферен¬цируемо в точке x_0. Тогда второй производной отображения fв точке x_0называется производная отображения f в точке x_0.
Таким образом, вторая производная отображения fв точке x_0есть линейный оператор f (x_0)∈ L(X,L(X,Y)),или, в силу преды¬дущей теоремы, вторую производную можно считать билинейным оператором из B_2 (X,Y).
Опр. 7.6.Отображение f:U⊂X→Y называется nраз непрерывно дифференцируемым, если для каждого k=(1,n) ̅ существует -ая производная f^((k)) (x), определенная для всех x∈Uи при этом f^((n)):U⊂X→B_n (X,Y)— непрерывное отображение.
Теорема 7.8 (Тейлора). Пусть отображениеf:U⊂X→Ynраз непрерывно дифференцируемо.Тогда для любой точкиx_0∈Uи любого вектораhтакого, чтоx_0+h∈U, имеет место формула (Тейлора):f(x_0+h)=∑_(k=0)^n▒〖(f^((k) ) (x_0)h^k)/k!+0(‖h‖^n)〗, при h→0.

11.Локальные экстремумы. Теорема Ферма.
Опр. 7.7. Точка x_0 ϵUназывается точкой локаль¬ного минимума (максимума) функции f:U⊂X→R, если су¬ществует шар B(x_0,ε)⊂Uтакой, что f(x_0 )≤f(x)(f(x_0 )≥f(x))для всехx∈B(x_0,ε).Если же выполняется строгое неравенство, то точка x_0называется точкой строгого локального минимума (мак¬симума).
Точка, являющаяся точкой (строгого) локального минимума ли¬бо максимума, также называется точкой (строгого) локального экстремума.
Теорема 7.9 (Ферма).Пусть f:U⊂X→R — дифференци¬руемая в точкеx_0функция и x_0∈U— точка локального экстре¬мума. Тогдаf(x_0 )=0, то есть f(x_0 )∈X^* — нулевой функционал.
Доказательство. Пусть x_0— точка ло¬кального минимума (случай локального максимума рассматривает¬ся аналогично), и ∀h∈X:‖h‖<ε выполняется условиеf(x_0+h)≥f(x_0).
Предположим противное: пусть f(x_0 )=0. Тогда найдется та¬кой векторh_0:‖h_0 ‖<ε, чтоα_0=f(x_0 ) h_0>0. Пустьt∈(-1,0)⊂R. Тогда ‖th_0 ‖<ε и f^ (x_0 )(th_0 )<0 . В силу диффе¬ренцируемости функции в точке x_0справедливо равенство
f(x_0+h)-f(x_0 )=f^ (x_0 ) h_0+o(h).
Тогда
0≤f(x_0+th_0 )-f(x_0 )=f^ (x_0 ) h_0+o(h)=t(α_0+(o(t))/t).
Но, поскольку α_0>0, при достаточно малых t<0справедливо
α_0+(o(t))/t>0,
откуда следует, что в правой части равенства стоит строго отрица¬тельная величина. Получили противоречие. Теорема док-на.

12.Равномерно положительные (отрицательные) формы. Достаточное условие экстремума.
Опр. 7.8.Билинейная форма ξ:X^2→Rназывает¬ся равномерно положительной (равномерно отрицательной), если существует такая константаc>0, что для всех h∈X
ξ(h,h)≥c‖h‖^2 (ξ(h,h)≤-c‖h‖^2)
Теорема. Каждая билинейная форма допускает представление вида ξ(h_1,h_2 )=(Ah_1,h_2), A – самосопряжен. оператор, σ(A)⊂[α,∞] (σ(A)⊂[-∞,α]).
Теорема 7.10(достаточное условие экстремума).
Пустьf:U⊂X→R— дважды дифференцируемая функция, f(x_0 )=0и пустьf(x_0 )— равномерно отрицательная (рав¬номерно положительная) билинейная форма. Тогдаx_0— точка строгого локального максимума (минимума).
Доказательство. Пусть f(x_0 )равно¬мерно отрицательна, то есть существует такая константа a>0:f^ (x_0 ) h^2≤-α‖h^2 ‖.
Разложим функцию по формуле Тейлора в окрестности x_0:
f(x_0+h)=f(x_0 )+f^ (x_0 )h+(f^ (x_0 ) h^2)/2+o(‖h‖^2).
Поскольку f(x_0 )=0,
f(x_0+h)-f(x_0 )=(f^ (x_0 ) h^2)/2+o(‖h‖^2).
Найдется такое δ> 0, что при‖h‖<δвыполняется неравенство
f(x_0+h)-f(x_0 )≤(f^ (x_0 ) h^2)/2+o(‖h‖^2 )≤-(α‖h‖^2)/4<0
при‖h‖<δ. А это в точности и означает, что x_0 — точка стро¬гого локального максимума. Аналогично рассматривается случай локального минимума.

13.Условия Коши-Римана. Аналитические функции.
Теорема 8.1(условия Коши-Римана). Дифференцируемое в точкеx_0=(x,y)∈U⊂R^2отображение f:U⊂R^2→R^2, f(x,y)=(u(x,y),v(x,y))дифференцируемо как отображение U⊂C→Cв том и только в том случае, если выполняются следую¬щие условия (условия Коши-Римана):
{█((∂u(x,y))/∂x=(∂v(x,y))/∂y@(∂u(x,y))/∂y=-(∂v(x,y))/∂x)┤
Опр. 8.1.Функция f:U⊂C→Cназывается ана¬литической на открытом множестве U, если она дифференцируема (как функция в комплексном про¬странстве) в каждой точке множества U.

14.Интеграл вдоль кривой. Интегральная теорема Коши (доказательство через формулу Грина).Интегральная формула Коши (БД). Теорема единственности (БД). Теорема Лиувилля (БД).
Опр. 8.2.Путёмв U⊂Cназывается непрерывное отображение γ:[a,b]→U. Если это отображение является кусочно непрерывно дифференцируемым, то его называют кусочно гладким путём.
Опр. 8.3.Интегралом от функцииf:U⊂C→Cвдоль кусочно гладкого путиγ:[a,b]→Uназывается ∫_γ▒〖f(z)dz=∫_0^1▒〖f(γ(t))γ(t)〗 dt〗.
Теорема (Коши). Если ф-ияf явл-ся аналитической в односвязной обл. U⊂C, то ее интеграл вдоль любого кусочно гладкого замкнутого контура пути γ:[a,b]→U равен нулю: ∫_γ▒〖f(z)dz=0〗.
Док-во:формула Грина: ∫_γ▒〖Pdx+Qdy=∬_D▒〖(∂Q/∂x-∂P/∂y)〗 dxdy〗.
где D— область, ограниченная путем γ. Тогда, применяя формулу Грина и условия Коши-Римана, получаем:
∫_γ▒〖f(z)dz=∫_γ▒〖u(x,y)dx〗-v(x,y)dy+i∫_γ▒v(x,y) dx+u(x,y)dy=∬_D▒〖(-∂v/∂x-∂u/∂y)+i∬_D▒〖(∂u/∂x-∂v/∂y)〗〗〗 dxdy=0.Теорема док-на.
Интегральная фор-ла Коши:
A∈L(X)–огран. оператор
U⊃σ(A), f:U→C
f(λ)=-1/2πi ∫_γ▒〖(f(z))/(λ-z) dz〗.
Теорема 8.6(единственности). Еслиf:U⊂C→Cаналитична на Uиf(z_n )=0,где{z_n} — сходящаяся последовательность, то для всех z∈Uf(z) = 0.
Опр. 8.4. Функция f:C→Cназывается целой, если она является аналитической на всей комплексной плоскости.
Всякую целую функцию можно представить в виде f(z)=∑_(n=0)^∞▒〖(f^((n) ) (0))/n! z^n 〗.
Теорема 8.7 (Лиувилля). Если f:C→C— целая ограниченная ф-ия, то она постоянная, т.е. f(z)=c∈C ,∀z∈C.

15.Обратный оператор. Алгебра . Лемма об обратимости оператора, близкого к единичному ( ). Теорема (об обратимости ).
Линейный оператор A обратим тогда и только тогда, когда его ядро KerA={x∈X:Ax=0}содержит только нулевой жл-т, то есть KerA={0}.
ПустьA:D(A)⊂X→R(A)⊂Y–лин. оператор. Оператор A назыв. обратимым, если сущ-ет единств. x∈D(A)такой, что Ax=y, т.е. оператор A отображает D(A) на R(A) взаимно однозначно. В этом случ. определено отоб-иеA^(-1):R(A)⊂Y→D(A)⊂Xтакое.что ∀y∈R(A):x=A^(-1) y∈D(A)и Ax=y.
L(X)=L(X,X) – лин. пр-во лин. операторов, где X – конечномерное лин. пр-во лин. операторов.
X — комплексное банахово пространство.
Лемма 9.1. ЕслиA∈L(X)и||A|| <1, то оператор I-Aобратим, а обратный задается формулой 〖(I-A)〗^(-1)=∑_(n=0)^∞▒A^n ,причем ряд сходится абсолютно и ‖〖(I-A)〗^(-1) ‖≤1/(1-‖A‖ ).
Теорема 9.1.ПустьA,B∈L(X),Aобратим,‖B‖‖A^(-1) ‖<1. Тогда A-Bобратим и〖(A-B)〗^(-1)=∑_(n=0)^∞▒〖〖(A^(-1) B)〗^n A^(-1) 〗, и справедлива оценка ‖〖(A-B)〗^(-1) ‖≤‖A^(-1) ‖/(1-‖B‖‖A^(-1) ‖ ).
Док-во: представим оператор A- Bв виде A-B=A(I-A^(-1) B). Оператор Aобратим, оператор I-A^(-1) Bобратим в силу леммы. Значит и A-Bобратим. Остальное прямо следует из леммы, если её применить к операторуI-A^(-1) B.Теорема док-на.


16.Замкнутые операторы. Замкнутость ограниченного оператора. Теорема Банаха о замкнутом графике (БД).
Опр. 9.1. Оператор A:D(A)⊂X→Xназывается замкнутым, если его графикГ(A)={(x,Ax):x∈D(A)}⊂X×Xявляется замкнутым подмножеством в пространстве X×X, наде¬лённом нормой‖(x_1,x_2)‖=max⁡{‖x_1 ‖,‖x_2 ‖}.
Иначе говоря, оператор замкнут, если для всякой сходящейся последовательности{x_n }⊂D(A):Ax_n→y∈X, предел xлежит вD(A)и y= Ax.
Теорема 9.2.Всякий ограниченный операторA∈L(X)за¬мкнут.
Доказательство. Пусть A∈L(X),x_n→x_0 , Ax_n→y_0. В силу непрерывности A, Ax_n→Ax_0, значит, в силу единственности предела последовательности,Ax_0=y_0.
Теорема 9.3 (Банаха о замкнутом графике).
ПустьA:X→X— замкнутый линейный оператор, опре¬деленный на всем банаховом пространствеX. Тогда операторAограничен.
ПустьA∈L(X). Рассмотрим два условия:
1.KerA= {0} — оператор Aинъективен.
2.ImA= X — оператор Aсюръективен.

17.Теорема Банаха об обратном операторе (для ограниченного и для замкнутого операторов).
Теорема 9.4 (Банаха об обратном операторе). Пусть ли¬нейный операторA∈L(X), действующий в банаховом простран¬ствеX, биективен, т.е. выполнены условия (1) и (2). ТогдаA^(-1)ограничен.
Доказательство. Поскольку Aограничен, он замкнут. Пока¬жем, что A^(-1)также замкнут.
Г(A^(-1) )={(x,A^(-1) x):x∈X}={(Ax,x):x∈X}.
Пусть Ax_n→y_0, а x_n→x_0. Поскольку Aзамкнут, y_0=Ax_0, и(y_0,x_0 )=(Ax_0,x_0)∈Г(A^(-1)), то есть множество Г(A^(-1) )замкнуто. Значит, оператор A^(-1)замкнут, а по теореме о замкнутом графике он и ограничен. Теорема док-на.
Опр. ОператорB⊂L(X)назыв. левым (правым) обратным для оператора A⊂L(X), если BA=I(AB=I).
Теорема 9.5 (Банаха об обратном операторе).
ПустьA:D(A)⊂X→X— замкнутый биективный линей¬ныйоператор, действующий в банаховом пространствеX. ТогдаA^(-1):X→X— ограниченный оператор.
Док-во:опер.обрат. замкнут и по Т. Банаха – огран.

18.Спектр замкнутого оператора. Резольвентное множество. Классификация точек спектра.Примеры.
Опр. 9.2. Пусть A:D(A)⊂X→X — замкнутый оператор. Будем называть число λ∈Cточкой спектра операто¬ра A, если оператор A-λI:D(A)⊂X→X необратим, то есть выполнено хотя бы одно из условий
1.Ker(A-λI)≠0— оператор не инъективен.
2.Im(A-λI)≠X— оператор не сюръективен.
Если же число λ∈Cне является точкой спектра, то его назы¬вают регулярной точкой оператора A.
Опр. 9.3. Множествоσ(A)точек спектра оператора A называется спектром оператора A.
Опр. 9.4. Множествоσ(A)=Cσ(A)регулярных то¬чек оператора A называется резольвентным множеством опера¬тора A.
Спектр оператора принято разбивать на три взаимно непересекающиеся части:
1.Дискретный спектрσ_d (A)— множество собственных значений оператора A, то есть такиеλ∈C, что Ker(A-λI)≠{0}.
2.Непрерывный спектрσ_c (A)— множество такихλ∈C, не яв¬ляющихся собственными значениями, чтоIm(A-λI)≠X, но (Im(A-λI)) ̅=X.
3.Остаточный спектрσ_r (A)— множество точек спектра, не во¬шедших ни в дискретный спектр, ни в непрерывный спектр.
Ясно, что σ(A)=σ_d (A)∪σ_c (A)∪σ_r (A).
Пример:A=d/dt:D(A)=C_([0,1])^1⊂C_[0,1] →C_[0,1]
Ax=x
e_(λ_0 ) (t)=e^(λ_0 t)
Ae_(λ_0 )=e_(λ_0 )=λ_0 e_(λ_0 )
σ(d/dt)=C - дискретный спектр
D(A)={x∈C_[0,1]^1:x(0)=0}
Рассм. обратим ли оператор:
1. Ker(A-λ_0 I)=0
2. Im(A-λ_0 I)=X
1) (d/dt-λ_0 I) x_0=x_0^-λ_0 x_0=0, т.е. {█(x_0^=λ_0 x_0@x_0 (0)=0)┤
Ce^(λ_0 t)=0 – реш-ие⇒ собств. ф-ии нет. Т.е. первое ус-ие обратимости вып-ся.
2) {█(x-λ_0 x_0=y@x_0 (0)=0)┤
x(t)=Ce^(λ_0 t)+∫_0^t▒〖e^(λ_0 (t-s) ) y(s)ds〗
(A^(-1) y)(t)=∫_0^1▒〖e^(λ_0 (t-s) ) y(s)ds⇒〗опер.обратим.

19.Резольвента. Тождество Гильберта.
Опр. 9.5.Отображение R(⋅,A):ρ(A)→L(X), дей¬ствующее по правилуR(λ,A)=(A-λI)^(-1), называется резольвентой оператора A.
Теорема 9.7 (тождество Гильберта). Для любого линейно¬го замкнутого оператораAи любых чиселλ,μ∈Cсправедливо равенствоR(λ,A)-R(μ,A)=(λ-μ)R(λ,A)R(μ,A).
Док-во:применяя к правой и левой частям равен¬ства A-λI справа и A-μI слева, получим одинаковые выражения:
(A-λI)(R(λ,A)-R(μ,A) )(A-μI)=A-μI-A+λI=(λ-μ)I;
(λ-μ)(A-λI)R(λ,A)R(μ,A)A-μI=(λ-μ)I,
то есть
(A-λI)(R(λ,A)-R(μ,A) )(A-μI)=(λ-μ)(A-λI)R(λ,A)R(μ,A)(A-μI).
Из биективностиA-λI и A-μI следует, что на них можно «со¬кратить» справа и слева. Тогда получаем требуемое равенство. Теорема док-на.
Следствие 1.ОператорыR(λ,A)иR(μ,A)перестановочны.

20.Спектральная теорема для ограниченных операторов (непустота и компактность спектра). Спектральны радиус ограниченного оператора. Формула Бёрлинга-Гельфанда спектрального радиуса,пример использования (оператор Вольтерра).
Теорема 9.8 (о спектре ограниченного оператора).
ПустьA∈L(X) — ограниченный оператор, действующий в банаховом пространствеX. Тогда его спектрσ(A)есть непустое компактное множество вC.
Доказательство. Сначала покажем, что σ(A)— компактное множество. Как известно из анализа, множество в евклидовом про¬странстве компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. Замкнутость спектра следует из тождества Гильберта. Докажем ограниченность.
Пусть|λ|>‖A‖≥0. ТогдаA-λI=-λ(I-λ^(-1) A). Оператор (I-λ^(-1) A) обратим, поскольку‖λ^(-1) A‖≤‖A‖/|λ| <1. Тогда и A-λIобратим. Отсюда получаем, что спектр оператора Aлежит внутри круга радиуса ‖A‖ и с центром в нуле, то есть σ(A) – ограниченное множество и, в силу замкнутости, компактное.
Покажем, что σ(A)непустое множество. Предположим против¬ное: пусть ρ(A)=C и |λ|>‖A‖. Тогда при таких λ резольвента представляется в видеR(λ,A)=-∑_(n=0)^∞▒A^n/λ^(n+1) .
При этом для нормы резольвенты справедлива оценка ‖R(λ,A) ‖≤∑_(n=0)^∞▒‖A‖^n/|λ|^(n+1) =1/|λ| 1/(1-‖A‖/|λ| )=1/(|λ|-‖A‖ )→0приλ→∞.
То есть приλ→∞норма ‖R(λ,A) ‖стремится к нулю.
При этом, резольвента является аналитической функцией на ρ(A)=C, то есть в нашем случае резольвента оказы¬вается целой ограниченной функцией (ограниченность следует из стремления к нулю на бесконечности и непрерывности). Поэтому, по теореме Лиувилля, R(λ,A)=0∈L(X) для всех λ∈C, что невозможно. Получили противоречие. Значит спектр оператора Aне пуст. Теорема док-на.
Опр. 9.6.Спектральным радиусом линейного огра¬ниченного оператораA∈L(X)называется величинаr(A)=max┬(λ∈σ(A) )⁡|λ|. Спектральный радиус корректно определен в виду компактности и не пустоты спектра A. Из доказательства теоремы о спектре огран. оператора видно, чтоr(A)≤‖A‖, поскольку, если |λ|>‖A‖, то оператор A-λI обратим.
Теорема 9.9 (формула Бёрлинга-Гельфанда). ПустьA∈L(X). Тогда для спектрального радиуса оператораAсправедлива формулаr(A)=lim┬(n→∞)⁡√(n&‖A^n ‖ ).
Пример:
A:C_([a,b])→C_([a,b])
(Ax)(t)=∫_a^t▒K(t,s)x(s)ds 〖(A-λI)〗^(-1)
(Ax)(t)=A(Ax)(t)=∫_a^t▒〖K(t,t_1)∫_a^(t_1)▒〖K(t,t_2)〗〗
(A^n x)(t)=∫_a^t▒∫_a^(t_(n-1))▒〖… K(t_2,t_1)〗 ∫_a^(t_1)▒K(t_1,s)x(s)ds
‖A^n x‖≤max|∫_a^t||∫_a^(t_(n-1))|…|┤| - таких модулей M^nшт.
‖A^n ‖≤(M^n 〖(b-a)〗^n)/n!
√(n&‖A^n ‖ )≤(M(b-a))/√(n&n!)
lim┬(n→∞)⁡√(n&‖A^n ‖ )=0
r(A)=0.
Т. Если A – Вальтеров оператор, тогда его спектр состоит из одной точки σ(A)={0}.
Следствие. Вальтеров оператор не явл-сяобратимым.

21.Элементы функционального исчисления операторов: Целое исчисление. Исчисление Данфорда. Теорема Данфорда об отображении спектра. Проектор Рисса.
Далее X – комплексное банахово пр-во. Обозначим символомF(C)алгебру целых ф-ийf:C→C. ПустьA∈L(X), f∈F(C), а f разлагается в ряд f(λ)=∑_(n=0)^∞▒〖a_n λ^n 〗.
Определим отоб-иеФ_A (f)=f(A)≔∑_(n=0)^∞▒〖a_n A^n 〗.
Можно показать, что ряд сход-ся, а отоб-иеФ_Aявл-ся гомоморфизмом алгебр.
Отоб-иеФ_A назыв. целым исчислением оператора A.
Пример: экспонентой оператора A∈L(X) назовем оператор e^A, определяемый фор-ойe^A=∑_(n=0)^∞▒A^n/n!.
Рассм. более общий вид функционального исчисления операторов.
Обозначим символом F(S)мн-во ф-ий, аналитических на некотором открытом мн-ве, содержащем компакт S⊂C. Это мн-во явл-ся алгеброй с поточечными операциями сложения и умножения: если f:U_1⊃S→C, g:U_2⊃S→C, то f+gи fgдействуют из U_1∩U_2⊃Sв C по правилу:
■((f+g)(z)=f(z)+g(z)@(fg)(z)=f(z)g(z)), z∈U_1∩U_2.
Вспомним интегральную фор-лу Коши:f(z)=-1/2πi ∫_γ▒〖(f(λ))/(z-λ) dλ〗.
Идея исчисления Данфорда (еще говорят голоморфного функционального исчисления, операторного исчсления) состоит в том, чтобы исп-тьинтегральную фор-лу Коши для определения значения ф-ии от оператора.
ПустьA∈L(X). Определим отоб-иеψ_A:F(σ(A) )→L(X)по правилу:
ψ_A (f)=f(A)≔-1/2πi ∫_γ▒〖f(λ)R(λ,A)dλ〗, где контур γ – граница открытогомн-ваV⊃σ(A), лежащего в мн-веаналитичности ф-ииf.
Отоб-иеψ_A назыв. исчислением Данфорда оператора A или просто операторным исчислением. След. Т. обосновывает корректность такого названия.
Т.ψ_Aявл-ся гомоморфизмом алгебр F(σ(A) ) иL(X), т.е. ∀f,g∈F(σ(A) )справедливо:
■((f+g)(A)=f(A)+g(A)@(fg)(A)=f(A)g(A)).
Кроме того, если f – целая ф-ия, то f(A)≔∑_(n=0)^∞▒〖a_n A^n 〗, т.е. целое исчисление и исчисление Данфорда совпадают для целых ф-ий.
Док-во: первое св-во след-ет из линейности интеграла по контуру. Докажем второе св-во. Пусть U_1и U_2 – открытые мн-ва, содержащие спектр, причем такие, что замыкание U_1 лежит в U_2, а замыкание U_2 лежит в общем мн-веаналитичности ф-ийfи g. Символами γ_1 и γ_2 обозначим контуры, обходящие границы U_1и U_2 соотв. в положительном направлении обхода (так, чтобы внутренность мн-ва осталась слева). Тогда, применяя интегральную формулу Коши и тождество Гильберта, получим:
f(A)g(A)=1/(4π^2 ) ∫_(γ_1)▒〖f(λ)R(λ,A)dλ〗 ∫_(γ_2)▒〖f(μ)R(μ,A)dμ〗=1/(4π^2 ) ∫_(γ_1)▒∫_(γ_2)▒〖f(λ)g(μ)R(λ,A)R(μ,A)dμdλ〗=1/(4π^2 ) ∫_(γ_1)▒∫_(γ_2)▒〖f(μ)R(μ,A)(λ-μ)^(-1) (R(λ,A)-R(μ,A))dμdλ〗=1/(4π^2 ) ∫_(γ_1)▒∫_(γ_2)▒〖f(μ)R(μ,A) (λ-μ)^(-1) R(λ,A)dμdλ〗-1/(4π^2 ) ∫_(γ_1)▒∫_(γ_2)▒〖f(μ)R(μ,A) (λ-μ)^(-1) R(μ,A))dμdλ〗=-1/2πi ∫_(γ_1)▒f(λ)R(λ,A)(-1/2πi ∫_(γ_2)▒g(μ)/(λ-μ) dμ)dλ-(-1/2πi) ∫_(γ_2)▒g(μ)R(μ,A)(-1/2πi ∫_(γ_1)▒f(λ)/(λ-μ) dλ)dμ=-1/2πi ∫_(γ_1)▒f(λ)R(λ,A)(-1/2πi ∫_(γ_2)▒g(μ)/(λ-μ) dμ)dλ=-1/2πi ∫_(γ_1)▒〖f(λ)g(λ)R(λ,A)dλ=(fg)(A)〗, где интеграл
∫_(γ_1)▒f(λ)/(λ-μ) dλ=0, т.к. μ лежит за пределами U_1 (на контуре γ_2 ), т.е. ф-ияh(λ)=f(λ)/(λ-μ) аналитична в обл. U_1 (знаменатель в ноль н еобращается).
Т. (Дандорфа об отоб-ие спектра). ПустьA∈L(X), f∈F(σ(A)). Тогда σ(F(A) )=f(σ(A) )={f(λ):λ∈σ(A)}.
Т.Пусть спектр оператораA∈L(X)предста¬вим в виде объединения двух непересекающихся замкнутых ча¬стей: σ(A)=σ_1∪σ_2. Тогда существует разложение X в пря¬мую сумму замкнутых подпространств X=X_1⨁X_2, причем пространстваX_1 и X_2инвариантны относительно оператора А. Более того, если A_k=A|_(X_k ),k=1,2, то σ(A_1 )=σ_1и σ(A_2 )=σ_2.
Док-во:Определим функциюf:U_1∪U_2→Cпо пра¬вилу
f(λ)={■(1,λ∈U_1@0,λ∈U_2 )┤,
где U_1и U_2— взаимно непересекающиеся открытые множества, содержащие σ_1 и σ_2 соответственно. Очевидно, что f — аналитиче¬ская функция: она дифференцируема в каждой точке U_1∪U_2, то естьf∈F(A).Значит можно определить оператор f(A):
f(A)=-1/2πi ∫_γ▒f(λ)R(λ,A)dλ=-1/2πi ∫_(γ_1)▒f(λ)R(λ,A)dλ-1/2πi ∫_(γ_2)▒f(λ)R(λ,A)dλ=-1/2πi ∫_(γ_1)▒R(λ,A)dλ.
где γ — граница U_1∪U_2, являющаяся объединением γ_k — границU_k,k=1,2.
Введем обозначениеP_1=f(A). Покажем, что P_1— проектор.
Поскольку (f∙f)(λ)=〖(f(λ))〗^2=f(λ) для всех λ∈U_1∪U_2, в силу опр. гомоморфизма алгебр, получаем:
P_1^2=f(A)f(A)=(f∙f)(A)=f(A)=P_1.
Итак, P_1 в самом деле проектор.
Пусть X_1=ImP_1, X_2=KerP_1. Из алгебры известно, что про¬странство X раскладывается в прямую сумму X_1 и X_2. Покажем, что пространства X_1 и X_2инвариантны относительно А. Для этого достаточно показать, чтоAP_1=P_1 A.
AP_1=-1/2πi ∫_(γ_1)▒AR(λ,A)dλ,
P_1 A=-1/2πi ∫_(γ_1)▒R(λ,A)Adλ.
Легко показать, что для любого оператораA∈L(X)и любогоλ∈ρ(A) справедливо равенствоAR(λ,A)=R(λ,A)A.
Отсюда получаем, что в самом деле пространства X_1 и X_2инвари¬антны относительно А. Значит можно определить сужения A|_(X_1 )=A_1∈L(X_1 ),A|_(X_2 )=A_2∈L(X_2 ).

22.Компактные операторы. Теорема (мн-во компакт.оепраторов образует идеал). Примеры (опер.с конечным рангом, интегральный оператор).
Оператор A∈L(X,Y)назыв. компактным, если образ A(M)всякого огран. мн-ваM⊂Xесть предкомпактное мн-во вY.
Мн-во компактных операторов, действующих изX в Y, будем обозначать Comp(X,Y). Если X=Y, то Comp(X).
Замечание. Из Т. Хаусдорфа следует, что оператор компактен тогда и только тогда, когда для каждой огран. посл-ти{x_n}из посл-ти{Ax_n}можно выделить сходящуюся в Yподпосл-ть.
Оператор A∈L(X,Y) назыв. оператором с конечным рангом, если ImA–конечномерно подпр-во изY.
Т. Для того, чтобы мн-во из конечномерного банахова пр-ва было предкомпактно, необх. и достат., чтобы оно было ограничено. Как следствие, такое мн-во компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.
Лемма. Каждый оператор с конечным рангом явл-ся компактным.
Док-во:т.к. A-ограничен, он вереводитограниченноемн-во Mв ограниченное. Но, т.к. ImA конечномеренм, то по предыд. Т. A(M)предкомпактно.
Св-ва компакт.операторов:
1. Линейная комбинация компакт.операторов явл-ся компакт. оператором;
2. Если A- компакт., а B- огран. оператор, то операторы ABи BAкомпактны;
3. В бесконечномерном пр-ве компакт.оператор не имеет огран. обратного;
4. Если лин. огран. опер. A:X→Y и пр-ва Xили Yконечномерны, то оператор Aявл-сякомпактным;
5. Если Y-банахово пр-во и ‖A_n-A‖→0 при n→∞, где A- лин. огран. оператор и A_n- компакт.операторы, то A- компакт. оператор.
Пример интеграл.оператора:
A:C_([a,b])→C_([a,b])– интегральный оператор с ядромK∈C([a,b]×[a,b]).
Исп-ся Т. Арцела, можно показать, что всякий интегральный оператор компактен.
Ядро K назыв. вырожденным, если его можно представить в виде
K(t,s)=∑_(i=1)^n▒〖p_i (t)q_i (s)〗, где p_i,q_i∈C_([a,b]) и p_i лин. независимы.
Оператор с вырожденным ядром явл-ся оператором с конечным рангом. В самом деле
(Ax)(t)=∑_(i=1)^n▒〖p_i (t)〗 ∫_a^b▒〖q_i (s)x(s)ds〗,
т.е. всякая ф-ияAx∈C_([a,b]) представима в виде лин. комбинации p_i, которые лин. независимы, а значит образуют базис в ImA.
Подмн-во I⊂Aалгебры Aназыв. идеалом (двусторонним идеалом), если оно явл-сяподпр-ом вAи для всех a∈Ab∈Iсправедливы рав-ваab∈I,ba∈I.
Т.Мн-воComp(X,Y)образ. замкнутое подпр-во в L(X,Y). Если X=Y, то Comp(X) – двусторонний идеал вбанаховой алгебре L(X).
Док-во: докажем, что Comp(X,Y)— подпростран¬ство в L(X,Y).ПустьA,B∈Comp(X,Y). Если {x_n}⊂X — огра¬ниченная последовательность, то из {(αA+βB)x_n} можно выде¬лить сходящуюся, выделив сходящуюся сначала из последователь¬ности {Ax_n} — {Ax_(n_k )}, а затем выделить сходящуюся из {Bx_(n_k )} - {Bx_(n_(k_1 ) )}. Тогдапоследовательность {(αA+βB)x_(n_(k_1 ) )} также будетсходящейся, то есть линейная комбинация компактных операторов также является компактным оператором.
Покажем, что Comp(X,Y) замкнуто в L(X,Y).Пусть {A_n}⊂Comp(X,Y)сходится по норме кA, то есть‖A_n-A‖→0. Пока¬жем, что A компактен. Для этого покажем, что образ единичного шара B(0,1) вполне ограничен (тогда, по теореме Хаусдорфа, он предкомиактен), то есть нужно доказать, что для каждого ε>0 множество A(B(0,1)) можно покрыть конечным числом шаров ра¬диуса ε.
Зафиксируем ε>0. Пусть m таково, что ‖A_m-A‖<ε⁄2. По¬скольку A_m (B(0,1)) вполне ограниченное множество, по ε⁄2 для него найдется конечное покрытие шарами радиуса ε⁄2с центрами в точкахy_i,i=(1,k) ̅:
A_m (B(0,1))⊂⋃_(i=1)^k▒〖B(y_i,ε⁄2)〗.
Покажем, что
A(B(0,1))⊂⋃_(i=1)^k▒〖B(y_i,ε)〗.
В самом деле, пустьx∈B(0,1) и A_m x∈B(y_i,ε⁄2). Тогда
‖A_m x-Ax‖<ε⁄2 и ‖Ax-y_i ‖≤‖Ax-A_m x‖+‖A_m x-y_i ‖<ε,
то есть Ax лежит в шаре B(y_i,ε)⊂⋃_(i=1)^k▒〖B(y_i,ε)〗.Компактность оператора A доказана, то естьComp(X,Y) — замкнутое подпро¬странство.
Осталось доказать, что Comp(X)образует двусторонний иде¬ал в L(X). ПустьA∈Comp(X),B∈L(X).Нужно показать, что AB,BA∈Comp(X). Пусть {x_n} — ограниченная последователь¬ность в X. {Bx_n} также ограничена. Поскольку оператор A ком¬пактен, из последовательности {A(Bx_n)} можно выделить сходя¬щуюся, что в точности и означает, что AB∈Comp(X). Из после-довательности {Ax_n} также можно выделить сходящуюся {Ax_(n_k )}, но тогда и {B(Ax_(n_k ))}сходится, значит BA∈Comp(X).

23.Лемма о почти перпендикуляре (БД). Теорема Риса.
Лемма.ПустьX – бесконечномерноебанахово пр-во, M⊂X–замкнут.подпр-во, не совпадающее со всем X. Тогда ∀ε>0 ∃x∈XM,‖x‖=1, что 1-〖inf〗_(m∈M) ‖x-m‖<ε.
Теорема Риса. Пусть X – бесконечномерноебанахово пр-во.ТогдаB ̅(a,r)не явл-ся компактом.
Док-во: Докажем утверждение для единичного ша¬ра. Возьмем произвольный x_0, ‖x_0 ‖=1. Определим подпространство M_1=span{x_0 }. По лемме о почти перпендикуляре для ε=1/2найдется такой x_1∈XM_1, ‖x_1 ‖=1, что ‖x_1-x_0 ‖>1/2. Для нодространства M_2=span{x_0,x_1 }так¬же справедлива лемма о почти перпендикуляре, значит найдется x_3∈XM_2, ‖x_3 ‖=1, что ‖x_2-x_0 ‖>1/2 и ‖x_2-x_1 ‖>1/2. Про¬должая аналогично, получим последовательность {x_k} единичных векторов, находящихся друг от друга на расстоянии большем 1/2. Очевидно, что из такой последовательности выделить сходящуюся нельзя, а значит множество B ̅(0,1) не предкомпактно.

24.Спектральная теорема для компактных операторов.
Т. ПустьA∈Comp(X). Тогда
1. Спектр оператораAесть не более чем счетное множество с возможной единственной предельной точкой, равной нулю. Все точки спектра, отличные от нуля, являются собственными значениями. В бесконечномерном пространстве число 0 всегда лежит, в спектреA.
2. ЯдраKer(A-λI)конечномерны для всехλ≠0,λ∈σ(A).
3. Более обще: ядраKer〖(A-λI)〗^mконечномерны для всех нену¬левыхAиз спектра, причем найдется такой номерn>0, чтоKer〖(A-λI)〗^n=Ker〖(A-λI)〗^(n+1).
ДОК-ВО:
1. Покажем только, что 0∈σ(A), если X бесконечномерно.
Предположим противное: операторА обратим, то есть суще¬ствует A^(-1)∈L(X) такой, что
AA^(-1)=I.
Но поскольку Comp(X) есть идеал вL(X), операторI должен быть также компактен, что невозможно в случае бесконечно¬мерного X (образ единичного шара не предкомпактен в силу теоремы Рисса).
Остальные утверждения данного пункта оставим без доказа¬тельства.
2.Покажем, что если λ≠0, тоX_0=Ker(A-λI) конечномерно. Ядро оператора A-λI инвариантно относительно оператора А: еслиx∈Ker(A-λI), тоAx=λx∈Ker(A-λI). Также, как нетрудно убедиться, X_0— замкнутое подпростран¬ство (значит, оно банахово). Значит можно определить суже¬ние A_0=A|_(X_0 )оператораА на это подпространство. Оно име¬ет видA_0=λI_0, где I_0 — тождественный оператор в X_0.
Сужение компактного оператора на замкнутое подпростран¬ство, очевидно, также компактно, а значит X_0 конечномерно в силу той же теоремы Рисса.
3. Без доказательства.

25.Операторы с компакт.резольвентой. Т. о спектре обратного оператора. Спектральная теорема для операторов с компакт.резольвентой.
Замкнутый оператор A:D(A)⊂X→X назыв. оператором с компактной резольвентой, если его резольвентноемн-во непусто и найдется такое λ_0∈ρ(A), что оператор R(λ_0,A)компактен.
Л1. Если A – опер.с компакт. резольвентой, то для любого μ_0∈ρ(A) оператор R(μ_0,A) компактен.
Док-во: пусть λ_0∈ρ(A) – число из опред. оператора скомпактной резольвентой. Тогда из тождества Гильберта получаем
R(μ_0,A)=R(λ_0,A)+(μ_0-λ_0)R(μ_0,A)R(λ_0,A).
Оператор R(λ_0,A) компактен, значит компактен
(μ_0-λ_0)R(μ_0,A)R(λ_0,A),
но тогда и R(μ_0,A)компактен как сумма компактных операторов.
Т. Пусть замкнутый оператор A:D(A)⊂X→X обратим. Тогда, если D(A)≠X, то σ(A^(-1) )={1/λ:λ∈σ(A) }∪{0}. Если же D(A)=X (оператор A тогда ограничен), то σ(A^(-1) )={1/λ:λ∈σ(A) }.
Док-во: Пусть D(A)≠X. Тогда 0∈σ(A^(-1) ), по¬скольку A^(-1) необратим (его образ не совпадает со всем X). Возь¬мем A_0∈ρ(A) и покажем, чтоλ_0^(-1)∈ρ(A^(-1)). Обратным для A^(-1)-λ_0^(-1) I является оператор —λ_0 A〖(A-λ_0 I)〗^(-1), это проверяется непо¬средственно. Аналогично, если λ_0∈ρ(A^(-1)), то λ_0^(-1)∈ρ(A), причем обратный для A-λ_0^(-1) I есть —λ_0 A^(-1) 〖(A^(-1)-λ_0 I)〗^(-1).
Лемма.ЕслиA:D(A)⊂X→X — обратимый линей¬ный замкнутый оператор,аx∈D(A)— собственный вектор, отвечающий собственному значениюλ∈σ_d (A),λ≠0,то x явля¬ется собственным вектором оператора A^(-1), соответствующим собственному значениюλ^(-1). Иначе утверждение леммы можно записать в виде
Ker(A-λI)=Ker(A^(-1)-λI).
Док-во: ЕслиAx=λx, то x= λA^(-1) x.Дальнейшее очевидно.
Т. Пусть A:D(A)⊂X→X – оператор с компактной резольвентой, тогда
1.Его спектр состоит только из не более чем счетного числа собственных значений с единственной возможной предельной точкой равной∞.
2. Ядра Ker(A-λI) конечномерны для всех λ∈σ(A).
Док-во: Пусть λ_0∈ρ(A). Тогда 〖(A-λ_0 I)〗^(-1) компактен, значит его спектр σ(〖(A-λ_0 I)〗^(-1)) счетен и единственной возможной предельной точкой явл-ся точка 0. Из спектральной теоремы для замкнутых операторов следует, σ((A-λ_0 I)^(-1) )={1/(λ-λ_0 ):λ∈σ(A) }∪{0}, откуда получаем σ(A)={1/μ+λ_0:μ∈σ((A-λ_0 I)^(-1) ),μ≠0}.
Отсюда следует, что оператор А не более чем счетный спектр с единственной возможной предельной точкой равной бесконечности.
Покажем, что точки спектра Аявл-ся собственными значениями. Если λ∈σ(A), то λ=μ^(-1)+λ_0, где μ∈σ((A-λ_0 I)^(-1) ). Т.к. оператор 〖(A-λ_0 I)〗^(-1) компактен и μ≠0, μ явл-ся собственным значением этого оператора, а значит найдется такой ненулевой x∈X, что 〖(A-λ_0 I)〗^(-1) x=μx.
Из предыдущей Леммы, следует, что xявл-ся собственным вектором оператора A-λ_0 I, соотв. собств. значению μ^(-1)=λ-λ_0, т.е. как легко видеть, x есть собств. вектор А, соотв. собств. знач. λ. Из леммы так же получаем, что Ker((A-λ_0 I)^(-1)-(λ-λ_0 )^(-1) I)=Ker(A-λI), откуда сразу след-ет второе утв. теоремы.