Касательное отображение. Дифференцируемое отображение

Экзаменационные билеты по предмету «Математика»
Информация о работе
  • Тема: Касательное отображение. Дифференцируемое отображение
  • Количество скачиваний: 15
  • Тип: Экзаменационные билеты
  • Предмет: Математика
  • Количество страниц: 11
  • Язык работы: Русский язык
  • Дата загрузки: 2014-06-14 20:59:39
  • Размер файла: 106.17 кб
Помогла работа? Поделись ссылкой
Ссылка на страницу (выберите нужный вариант)
  • Касательное отображение. Дифференцируемое отображение [Электронный ресурс]. – URL: https://www.sesiya.ru/ekzamenacionnye-bilety/matematika/748_kasatelnoe-otobrajenie-differenciruemoe-otobrajenie/ (дата обращения: 15.05.2021).
  • Касательное отображение. Дифференцируемое отображение // https://www.sesiya.ru/ekzamenacionnye-bilety/matematika/748_kasatelnoe-otobrajenie-differenciruemoe-otobrajenie/.
Есть ненужная работа?

Добавь её на сайт, помоги студентам и школьникам выполнять работы самостоятельно

добавить работу
Обратиться за помощью в подготовке работы

Заполнение формы не обязывает Вас к заказу

Информация о документе

Документ предоставляется как есть, мы не несем ответственности, за правильность представленной в нём информации. Используя информацию для подготовки своей работы необходимо помнить, что текст работы может быть устаревшим, работа может не пройти проверку на заимствования.

Если Вы являетесь автором текста представленного на данной странице и не хотите чтобы он был размешён на нашем сайте напишите об этом перейдя по ссылке: «Правообладателям»

Можно ли скачать документ с работой

Да, скачать документ можно бесплатно, без регистрации перейдя по ссылке:

9. Касательное отображение. Дифференцируемое отображение. Производная, свойства производной. Производная постоянного отображения, производная линейного отображения.
Всюду далее X,Y— банаховы пространства надK={C,R}, буквами Uи V обозначаются открытые множества вX и Y.
Опр. 7.1. Пустьf:U⊂X→Y,g:U⊂X→R,x_0∈R. Говорят, чтоf(x)=o(g(x))приx→x_0,
если справедливо равенство‖f(x)‖=ε(x)g(x), где ε:U⊂X→R,ε(x)→0при x→x_0.
Опр. 7.2.Пустьf,g:U⊂X→Y— отображения, определенные на открытом множестве Uиз пространстваX. Отоб¬ражение gназывается касательнымкfв точкеx_0∈U, еслиf(x)=g(x)+o(‖x-x_0 ‖), при x→x_0, то есть ‖f(x)-g(x)‖/‖x-x_0 ‖ →0, при x→x_0.
Легко видеть, что «fкасательно g» есть отношение эквивалент¬ности.
Опр. 7.3. Отображение f:U⊂X→Yназывается дифференцируемым в точке x_0, если существует такой операторA∈L(X,Y), что fкасательно gв точке x_0, где gопределено по формулеg(x)=f(x_0 )+A(x-x_0 ),x∈U.
Иначе говоря, fдифференцируемо в точке x_0еслиf(x)=f(x_0 )+A(x-x_0 )+o(‖x-x_0 ‖), при x→x_0.
Если fдифференцируемо в каждой точке U, тоfназывают дифференцируемым.
Оператор Aназывается производной отображения fв точке x_0. При этом используется привычное обозначение:f (x_0) = A.
Также пишут Df(x_0), D_(x_0 ) fи т. д.
Теорема 7.1.Определение производной корректно: линейный оператор Aопределён однозначно для каждой точкиx_0.
Доказательство. Пустьf:U⊂X→Yдифференцируемо в точке x_0. Тогда fкасательно gв точке x_0, где g(x)=f(x_0 )+A(x-x_0 ). Пусть теперь g_0 (x)=f(x_0 )+B(x-x_0 ), B∈L(X,Y),также касательно кfв точке x_0. Тогда g_0касательно gв точкеx_0:g(x)-g_0 (x)=(A-B)(x-x_0 ),причемg(x)-g_0 (x)=o(‖x-x_0 ‖ ). Примем обозначение h=x-x_0. Тогда(A-B)h=o(‖h‖).Раскрывая определение символа «о» получаем, ∀ε>0 ∃δ:‖h‖<δ, то ‖(A-B)h/‖h‖ ‖<ε, ‖h‖<δ.
Тогда〖sup〗_(‖h‖<δ) ‖(A-B)h/‖h‖ ‖=〖sup〗_(‖x‖≤1) ‖(A-B)x‖=‖A-B‖<εоткуда, в силу произвольности ε получаем, что A=B.Теорема док-на.
Теорема 7.2.Пустьf,g:U⊂X→Yдифференцируемы в точке x_0. Тогдаαf+βgтакже дифференцируемо в точке x_0, при¬чем(αf+βg)^ (x_0 )=αf^ (x_0 )+βg^ (x_0 ).
Доказательство. Отображения f, gдифференцируемы в точ¬кеx_0, значит
f(x)=f(x_0 )+f^ (x_0 )(x-x_0 )+o(‖x-x_0 ‖),
g(x)=g(x_0 )+g^ (x_0 )(x-x_0 )+o(‖x-x_0 ‖).
Домножая эти равенства наαи β соответственно и сложив, полу¬чаем, в силу свойств символа «о»:(αf+βg)(x)=(αf+βg)(x_0 )+(αf^ (x_0 )+βg^ (x_0 ) )(x-x_0 )+o(‖x-x_0 ‖),то есть, в силу корректности определения производной, (αf+βg)^ (x_0 )=αf^ (x_0 )+βg^ (x_0 ). Теорема док-на.
Теорема 7.3.Еслиf:X→Y — постоянное отображение, тоfдифференцируемо в любой точке пространстваX, причем f(x)=0в любой точкеx∈X.
Теорема 7.4. ЕслиA∈L(X,Y),то отображениеAдиффе¬ренцируемо в любой точкеx∈XиA(x)= A.

10.Билинейные и полилинейные ограниченные операторы. Производные высших порядков. Формула Тейлора (БД).
Опр.1 Пусть Xи Y–линейные пр-ва над полем K. Отоб-иеf:X^n=X×X…×X→Yназыв. полилинейным оператором (при n=2 – билинейным оператором), если оно явл-ся линейным оператором по каждой переменной, т.е. для каждого k(1≤k≤n)и любых фиксированных n-1векторов x_1^0,…,x_(k-1)^0,x_(k+1)^0,…,x_n^0из Xотоб-иеf_k:X→Y, определяемое фор-ой f_k (x)=f(x_1^0,…,x_(k-1)^0,x_(k+1)^0,…,x_n^0 ),x∈X, явл-сялин. оператором. Если Y=K, то полилинейные операторы назыв. полилинейными формами (функциями, функционалами.)
Опр. 7.4. Билинейный операторA:X×X→Y на¬зывается ограниченным, если ‖A‖=〖sup〗_(‖x_1 ‖≤1,‖x_2 ‖≤1) ‖A(x_1,x_2)‖<∞.
Символом B_2 (X,Y)будем обозначать нормированное пространство билинейных ограниченных операторов, действующих изX×Xв Y.
Аналогично определяется полилинейный ограниченный опера¬тор. Пространство n-линейных ограниченных операторов обозна¬чаетсяB_n (X,Y).
Теорема 7.6.Пространство операторовL(X,L(X,Y))и про¬странство билинейных операторовB_2 (X,Y)изометрически изо¬морфны.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть отображениеJ: L(X,L(X,Y) )→B_2 (X,Y) действует по правилу
(JA)(x_1,x_2) = (Ax_1)x_2.
Очевидно, это линейный оператор междуL(X,L(X,Y)) и B_2 (X,Y). Биективность проверяется непосредственно. Проверим изометричность:‖JA‖_(B_2 (X,Y))=〖sup〗_(‖x_1 ‖≤1,‖x_2 ‖≤1) ‖A(x_1)x_2 ‖_Y=〖sup〗_(‖x_1 ‖≤1) (〖sup〗_(‖x_2 ‖≤1) ‖A(x_1 ) x_2 ‖_Y )=〖sup〗_(‖x_1 ‖≤1) (‖A(x_1 ) ‖_L(X,Y) )=‖A‖_(L(X,L(X,Y))).
Аналогично для полилинейных операторов:
Теорема 7.7.ПространстваL(X,L(X,...,L(X,Y)))иB_n (X,Y)изометрически изоморфны.
Из этих теорем, в частности, следует, чтоB_n (X,Y)— банахово пространство, если Yбанахово.
Опр. 7.5. Пустьf:U⊂X→Y дифференцируемо в каждой точке Uи отображениеf:U⊂X→L(X,Y)дифферен¬цируемо в точке x_0. Тогда второй производной отображения fв точке x_0называется производная отображения f в точке x_0.
Таким образом, вторая производная отображения fв точке x_0есть линейный оператор f (x_0)∈ L(X,L(X,Y)),или, в силу преды¬дущей теоремы, вторую производную можно считать билинейным оператором из B_2 (X,Y).
Опр. 7.6.Отображение f:U⊂X→Y называется nраз непрерывно дифференцируемым, если для каждого k=(1,n) ̅ существует -ая производная f^((k)) (x), определенная для всех x∈Uи при этом f^((n)):U⊂X→B_n (X,Y)— непрерывное отображение.
Теорема 7.8 (Тейлора). Пусть отображениеf:U⊂X→Ynраз непрерывно дифференцируемо.Тогда для любой точкиx_0∈Uи любого вектораhтакого, чтоx_0+h∈U, имеет место формула (Тейлора):f(x_0+h)=∑_(k=0)^n▒〖(f^((k) ) (x_0)h^k)/k!+0(‖h‖^n)〗, при h→0.

11.Локальные экстремумы. Теорема Ферма.
Опр. 7.7. Точка x_0 ϵUназывается точкой локаль¬ного минимума (максимума) функции f:U⊂X→R, если су¬ществует шар B(x_0,ε)⊂Uтакой, что f(x_0 )≤f(x)(f(x_0 )≥f(x))для всехx∈B(x_0,ε).Если же выполняется строгое неравенство, то точка x_0называется точкой строгого локального минимума (мак¬симума).
Точка, являющаяся точкой (строгого) локального минимума ли¬бо максимума, также называется точкой (строгого) локального экстремума.
Теорема 7.9 (Ферма).Пусть f:U⊂X→R — дифференци¬руемая в точкеx_0функция и x_0∈U— точка локального экстре¬мума. Тогдаf(x_0 )=0, то есть f(x_0 )∈X^* — нулевой функционал.
Доказательство. Пусть x_0— точка ло¬кального минимума (случай локального максимума рассматривает¬ся аналогично), и ∀h∈X:‖h‖<ε выполняется условиеf(x_0+h)≥f(x_0).
Предположим противное: пусть f(x_0 )=0. Тогда найдется та¬кой векторh_0:‖h_0 ‖<ε, чтоα_0=f(x_0 ) h_0>0. Пустьt∈(-1,0)⊂R. Тогда ‖th_0 ‖<ε и f^ (x_0 )(th_0 )<0 . В силу диффе¬ренцируемости функции в точке x_0справедливо равенство
f(x_0+h)-f(x_0 )=f^ (x_0 ) h_0+o(h).
Тогда
0≤f(x_0+th_0 )-f(x_0 )=f^ (x_0 ) h_0+o(h)=t(α_0+(o(t))/t).
Но, поскольку α_0>0, при достаточно малых t<0справедливо
α_0+(o(t))/t>0,
откуда следует, что в правой части равенства стоит строго отрица¬тельная величина. Получили противоречие. Теорема док-на.

12.Равномерно положительные (отрицательные) формы. Достаточное условие экстремума.
Опр. 7.8.Билинейная форма ξ:X^2→Rназывает¬ся равномерно положительной (равномерно отрицательной), если существует такая константаc>0, что для всех h∈X
ξ(h,h)≥c‖h‖^2 (ξ(h,h)≤-c‖h‖^2)
Теорема. Каждая билинейная форма допускает представление вида ξ(h_1,h_2 )=(Ah_1,h_2), A – самосопряжен. оператор, σ(A)⊂[α,∞] (σ(A)⊂[-∞,α]).
Теорема 7.10(достаточное условие экстремума).
Пустьf:U⊂X→R— дважды дифференцируемая функция, f(x_0 )=0и пустьf(x_0 )— равномерно отрицательная (рав¬номерно положительная) билинейная форма. Тогдаx_0— точка строгого локального максимума (минимума).
Доказательство. Пусть f(x_0 )равно¬мерно отрицательна, то есть существует такая константа a>0:f^ (x_0 ) h^2≤-α‖h^2 ‖.
Разложим функцию по формуле Тейлора в окрестности x_0:
f(x_0+h)=f(x_0 )+f^ (x_0 )h+(f^ (x_0 ) h^2)/2+o(‖h‖^2).
Поскольку f(x_0 )=0,
f(x_0+h)-f(x_0 )=(f^ (x_0 ) h^2)/2+o(‖h‖^2).
Найдется такое δ> 0, что при‖h‖<δвыполняется неравенство
f(x_0+h)-f(x_0 )≤(f^ (x_0 ) h^2)/2+o(‖h‖^2 )≤-(α‖h‖^2)/4<0
при‖h‖<δ. А это в точности и означает, что x_0 — точка стро¬гого локального максимума. Аналогично рассматривается случай локального минимума.

13.Условия Коши-Римана. Аналитические функции.
Теорема 8.1(условия Коши-Римана). Дифференцируемое в точкеx_0=(x,y)∈U⊂R^2отображение f:U⊂R^2→R^2, f(x,y)=(u(x,y),v(x,y))дифференцируемо как отображение U⊂C→Cв том и только в том случае, если выполняются следую¬щие условия (условия Коши-Римана):
{█((∂u(x,y))/∂x=(∂v(x,y))/∂y@(∂u(x,y))/∂y=-(∂v(x,y))/∂x)┤
Опр. 8.1.Функция f:U⊂C→Cназывается ана¬литической на открытом множестве U, если она дифференцируема (как функция в комплексном про¬странстве) в каждой точке множества U.

14.Интеграл вдоль кривой. Интегральная теорема Коши (доказательство через формулу Грина).Интегральная формула Коши (БД). Теорема единственности (БД). Теорема Лиувилля (БД).
Опр. 8.2.Путёмв U⊂Cназывается непрерывное отображение γ:[a,b]→U. Если это отображение является кусочно непрерывно дифференцируемым, то его называют кусочно гладким путём.
Опр. 8.3.Интегралом от функцииf:U⊂C→Cвдоль кусочно гладкого путиγ:[a,b]→Uназывается ∫_γ▒〖f(z)dz=∫_0^1▒〖f(γ(t))γ(t)〗 dt〗.
Теорема (Коши). Если ф-ияf явл-ся аналитической в односвязной обл. U⊂C, то ее интеграл вдоль любого кусочно гладкого замкнутого контура пути γ:[a,b]→U равен нулю: ∫_γ▒〖f(z)dz=0〗.
Док-во:формула Грина: ∫_γ▒〖Pdx+Qdy=∬_D▒〖(∂Q/∂x-∂P/∂y)〗 dxdy〗.
где D— область, ограниченная путем γ. Тогда, применяя формулу Грина и условия Коши-Римана, получаем:
∫_γ▒〖f(z)dz=∫_γ▒〖u(x,y)dx〗-v(x,y)dy+i∫_γ▒v(x,y) dx+u(x,y)dy=∬_D▒〖(-∂v/∂x-∂u/∂y)+i∬_D▒〖(∂u/∂x-∂v/∂y)〗〗〗 dxdy=0.Теорема док-на.
Интегральная фор-ла Коши:
A∈L(X)–огран. оператор
U⊃σ(A), f:U→C
f(λ)=-1/2πi ∫_γ▒〖(f(z))/(λ-z) dz〗.
Теорема 8.6(единственности). Еслиf:U⊂C→Cаналитична на Uиf(z_n )=0,где{z_n} — сходящаяся последовательность, то для всех z∈Uf(z) = 0.
Опр. 8.4. Функция f:C→Cназывается целой, если она является аналитической на всей комплексной плоскости.
Всякую целую функцию можно представить в виде f(z)=∑_(n=0)^∞▒〖(f^((n) ) (0))/n! z^n 〗.
Теорема 8.7 (Лиувилля). Если f:C→C— целая ограниченная ф-ия, то она постоянная, т.е. f(z)=c∈C ,∀z∈C.

15.Обратный оператор. Алгебра . Лемма об обратимости оператора, близкого к единичному ( ). Теорема (об обратимости ).
Линейный оператор A обратим тогда и только тогда, когда его ядро KerA={x∈X:Ax=0}содержит только нулевой жл-т, то есть KerA={0}.
ПустьA:D(A)⊂X→R(A)⊂Y–лин. оператор. Оператор A назыв. обратимым, если сущ-ет единств. x∈D(A)такой, что Ax=y, т.е. оператор A отображает D(A) на R(A) взаимно однозначно. В этом случ. определено отоб-иеA^(-1):R(A)⊂Y→D(A)⊂Xтакое.что ∀y∈R(A):x=A^(-1) y∈D(A)и Ax=y.
L(X)=L(X,X) – лин. пр-во лин. операторов, где X – конечномерное лин. пр-во лин. операторов.
X — комплексное банахово пространство.
Лемма 9.1. ЕслиA∈L(X)и||A|| <1, то оператор I-Aобратим, а обратный задается формулой 〖(I-A)〗^(-1)=∑_(n=0)^∞▒A^n ,причем ряд сходится абсолютно и ‖〖(I-A)〗^(-1) ‖≤1/(1-‖A‖ ).
Теорема 9.1.ПустьA,B∈L(X),Aобратим,‖B‖‖A^(-1) ‖<1. Тогда A-Bобратим и〖(A-B)〗^(-1)=∑_(n=0)^∞▒〖〖(A^(-1) B)〗^n A^(-1) 〗, и справедлива оценка ‖〖(A-B)〗^(-1) ‖≤‖A^(-1) ‖/(1-‖B‖‖A^(-1) ‖ ).
Док-во: представим оператор A- Bв виде A-B=A(I-A^(-1) B). Оператор Aобратим, оператор I-A^(-1) Bобратим в силу леммы. Значит и A-Bобратим. Остальное прямо следует из леммы, если её применить к операторуI-A^(-1) B.Теорема док-на.


16.Замкнутые операторы. Замкнутость ограниченного оператора. Теорема Банаха о замкнутом графике (БД).
Опр. 9.1. Оператор A:D(A)⊂X→Xназывается замкнутым, если его графикГ(A)={(x,Ax):x∈D(A)}⊂X×Xявляется замкнутым подмножеством в пространстве X×X, наде¬лённом нормой‖(x_1,x_2)‖=max⁡{‖x_1 ‖,‖x_2 ‖}.
Иначе говоря, оператор замкнут, если для всякой сходящейся последовательности{x_n }⊂D(A):Ax_n→y∈X, предел xлежит вD(A)и y= Ax.
Теорема 9.2.Всякий ограниченный операторA∈L(X)за¬мкнут.
Доказательство. Пусть A∈L(X),x_n→x_0 , Ax_n→y_0. В силу непрерывности A, Ax_n→Ax_0, значит, в силу единственности предела последовательности,Ax_0=y_0.
Теорема 9.3 (Банаха о замкнутом графике).
ПустьA:X→X— замкнутый линейный оператор, опре¬деленный на всем банаховом пространствеX. Тогда операторAограничен.
ПустьA∈L(X). Рассмотрим два условия:
1.KerA= {0} — оператор Aинъективен.
2.ImA= X — оператор Aсюръективен.

17.Теорема Банаха об обратном операторе (для ограниченного и для замкнутого операторов).
Теорема 9.4 (Банаха об обратном операторе). Пусть ли¬нейный операторA∈L(X), действующий в банаховом простран¬ствеX, биективен, т.е. выполнены условия (1) и (2). ТогдаA^(-1)ограничен.
Доказательство. Поскольку Aограничен, он замкнут. Пока¬жем, что A^(-1)также замкнут.
Г(A^(-1) )={(x,A^(-1) x):x∈X}={(Ax,x):x∈X}.
Пусть Ax_n→y_0, а x_n→x_0. Поскольку Aзамкнут, y_0=Ax_0, и(y_0,x_0 )=(Ax_0,x_0)∈Г(A^(-1)), то есть множество Г(A^(-1) )замкнуто. Значит, оператор A^(-1)замкнут, а по теореме о замкнутом графике он и ограничен. Теорема док-на.
Опр. ОператорB⊂L(X)назыв. левым (правым) обратным для оператора A⊂L(X), если BA=I(AB=I).
Теорема 9.5 (Банаха об обратном операторе).
ПустьA:D(A)⊂X→X— замкнутый биективный линей¬ныйоператор, действующий в банаховом пространствеX. ТогдаA^(-1):X→X— ограниченный оператор.
Док-во:опер.обрат. замкнут и по Т. Банаха – огран.

18.Спектр замкнутого оператора. Резольвентное множество. Классификация точек спектра.Примеры.
Опр. 9.2. Пусть A:D(A)⊂X→X — замкнутый оператор. Будем называть число λ∈Cточкой спектра операто¬ра A, если оператор A-λI:D(A)⊂X→X необратим, то есть выполнено хотя бы одно из условий
1.Ker(A-λI)≠0— оператор не инъективен.
2.Im(A-λI)≠X— оператор не сюръективен.
Если же число λ∈Cне является точкой спектра, то его назы¬вают регулярной точкой оператора A.
Опр. 9.3. Множествоσ(A)точек спектра оператора A называется спектром оператора A.
Опр. 9.4. Множествоσ(A)=Cσ(A)регулярных то¬чек оператора A называется резольвентным множеством опера¬тора A.
Спектр оператора принято разбивать на три взаимно непересекающиеся части:
1.Дискретный спектрσ_d (A)— множество собственных значений оператора A, то есть такиеλ∈C, что Ker(A-λI)≠{0}.
2.Непрерывный спектрσ_c (A)— множество такихλ∈C, не яв¬ляющихся собственными значениями, чтоIm(A-λI)≠X, но (Im(A-λI)) ̅=X.
3.Остаточный спектрσ_r (A)— множество точек спектра, не во¬шедших ни в дискретный спектр, ни в непрерывный спектр.
Ясно, что σ(A)=σ_d (A)∪σ_c (A)∪σ_r (A).
Пример:A=d/dt:D(A)=C_([0,1])^1⊂C_[0,1] →C_[0,1]
Ax=x
e_(λ_0 ) (t)=e^(λ_0 t)
Ae_(λ_0 )=e_(λ_0 )=λ_0 e_(λ_0 )
σ(d/dt)=C - дискретный спектр
D(A)={x∈C_[0,1]^1:x(0)=0}
Рассм. обратим ли оператор:
1. Ker(A-λ_0 I)=0
2. Im(A-λ_0 I)=X
1) (d/dt-λ_0 I) x_0=x_0^-λ_0 x_0=0, т.е. {█(x_0^=λ_0 x_0@x_0 (0)=0)┤
Ce^(λ_0 t)=0 – реш-ие⇒ собств. ф-ии нет. Т.е. первое ус-ие обратимости вып-ся.
2) {█(x-λ_0 x_0=y@x_0 (0)=0)┤
x(t)=Ce^(λ_0 t)+∫_0^t▒〖e^(λ_0 (t-s) ) y(s)ds〗
(A^(-1) y)(t)=∫_0^1▒〖e^(λ_0 (t-s) ) y(s)ds⇒〗опер.обратим.

19.Резольвента. Тождество Гильберта.
Опр. 9.5.Отображение R(⋅,A):ρ(A)→L(X), дей¬ствующее по правилуR(λ,A)=(A-λI)^(-1), называется резольвентой оператора A.
Теорема 9.7 (тождество Гильберта). Для любого линейно¬го замкнутого оператораAи любых чиселλ,μ∈Cсправедливо равенствоR(λ,A)-R(μ,A)=(λ-μ)R(λ,A)R(μ,A).
Док-во:применяя к правой и левой частям равен¬ства A-λI справа и A-μI слева, получим одинаковые выражения:
(A-λI)(R(λ,A)-R(μ,A) )(A-μI)=A-μI-A+λI=(λ-μ)I;
(λ-μ)(A-λI)R(λ,A)R(μ,A)A-μI=(λ-μ)I,
то есть
(A-λI)(R(λ,A)-R(μ,A) )(A-μI)=(λ-μ)(A-λI)R(λ,A)R(μ,A)(A-μI).
Из биективностиA-λI и A-μI следует, что на них можно «со¬кратить» справа и слева. Тогда получаем требуемое равенство. Теорема док-на.
Следствие 1.ОператорыR(λ,A)иR(μ,A)перестановочны.

20.Спектральная теорема для ограниченных операторов (непустота и компактность спектра). Спектральны радиус ограниченного оператора. Формула Бёрлинга-Гельфанда спектрального радиуса,пример использования (оператор Вольтерра).
Теорема 9.8 (о спектре ограниченного оператора).
ПустьA∈L(X) — ограниченный оператор, действующий в банаховом пространствеX. Тогда его спектрσ(A)есть непустое компактное множество вC.
Доказательство. Сначала покажем, что σ(A)— компактное множество. Как известно из анализа, множество в евклидовом про¬странстве компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. Замкнутость спектра следует из тождества Гильберта. Докажем ограниченность.
Пусть|λ|>‖A‖≥0. ТогдаA-λI=-λ(I-λ^(-1) A). Оператор (I-λ^(-1) A) обратим, поскольку‖λ^(-1) A‖≤‖A‖/|λ| <1. Тогда и A-λIобратим. Отсюда получаем, что спектр оператора Aлежит внутри круга радиуса ‖A‖ и с центром в нуле, то есть σ(A) – ограниченное множество и, в силу замкнутости, компактное.
Покажем, что σ(A)непустое множество. Предположим против¬ное: пусть ρ(A)=C и |λ|>‖A‖. Тогда при таких λ резольвента представляется в видеR(λ,A)=-∑_(n=0)^∞▒A^n/λ^(n+1) .
При этом для нормы резольвенты справедлива оценка ‖R(λ,A) ‖≤∑_(n=0)^∞▒‖A‖^n/|λ|^(n+1) =1/|λ| 1/(1-‖A‖/|λ| )=1/(|λ|-‖A‖ )→0приλ→∞.
То есть приλ→∞норма ‖R(λ,A) ‖стремится к нулю.
При этом, резольвента является аналитической функцией на ρ(A)=C, то есть в нашем случае резольвента оказы¬вается целой ограниченной функцией (ограниченность следует из стремления к нулю на бесконечности и непрерывности). Поэтому, по теореме Лиувилля, R(λ,A)=0∈L(X) для всех λ∈C, что невозможно. Получили противоречие. Значит спектр оператора Aне пуст. Теорема док-на.
Опр. 9.6.Спектральным радиусом линейного огра¬ниченного оператораA∈L(X)называется величинаr(A)=max┬(λ∈σ(A) )⁡|λ|. Спектральный радиус корректно определен в виду компактности и не пустоты спектра A. Из доказательства теоремы о спектре огран. оператора видно, чтоr(A)≤‖A‖, поскольку, если |λ|>‖A‖, то оператор A-λI обратим.
Теорема 9.9 (формула Бёрлинга-Гельфанда). ПустьA∈L(X). Тогда для спектрального радиуса оператораAсправедлива формулаr(A)=lim┬(n→∞)⁡√(n&‖A^n ‖ ).
Пример:
A:C_([a,b])→C_([a,b])
(Ax)(t)=∫_a^t▒K(t,s)x(s)ds 〖(A-λI)〗^(-1)
(Ax)(t)=A(Ax)(t)=∫_a^t▒〖K(t,t_1)∫_a^(t_1)▒〖K(t,t_2)〗〗
(A^n x)(t)=∫_a^t▒∫_a^(t_(n-1))▒〖… K(t_2,t_1)〗 ∫_a^(t_1)▒K(t_1,s)x(s)ds
‖A^n x‖≤max|∫_a^t||∫_a^(t_(n-1))|…|┤| - таких модулей M^nшт.
‖A^n ‖≤(M^n 〖(b-a)〗^n)/n!
√(n&‖A^n ‖ )≤(M(b-a))/√(n&n!)
lim┬(n→∞)⁡√(n&‖A^n ‖ )=0
r(A)=0.
Т. Если A – Вальтеров оператор, тогда его спектр состоит из одной точки σ(A)={0}.
Следствие. Вальтеров оператор не явл-сяобратимым.

21.Элементы функционального исчисления операторов: Целое исчисление. Исчисление Данфорда. Теорема Данфорда об отображении спектра. Проектор Рисса.
Далее X – комплексное банахово пр-во. Обозначим символомF(C)алгебру целых ф-ийf:C→C. ПустьA∈L(X), f∈F(C), а f разлагается в ряд f(λ)=∑_(n=0)^∞▒〖a_n λ^n 〗.
Определим отоб-иеФ_A (f)=f(A)≔∑_(n=0)^∞▒〖a_n A^n 〗.
Можно показать, что ряд сход-ся, а отоб-иеФ_Aявл-ся гомоморфизмом алгебр.
Отоб-иеФ_A назыв. целым исчислением оператора A.
Пример: экспонентой оператора A∈L(X) назовем оператор e^A, определяемый фор-ойe^A=∑_(n=0)^∞▒A^n/n!.
Рассм. более общий вид функционального исчисления операторов.
Обозначим символом F(S)мн-во ф-ий, аналитических на некотором открытом мн-ве, содержащем компакт S⊂C. Это мн-во явл-ся алгеброй с поточечными операциями сложения и умножения: если f:U_1⊃S→C, g:U_2⊃S→C, то f+gи fgдействуют из U_1∩U_2⊃Sв C по правилу:
■((f+g)(z)=f(z)+g(z)@(fg)(z)=f(z)g(z)), z∈U_1∩U_2.
Вспомним интегральную фор-лу Коши:f(z)=-1/2πi ∫_γ▒〖(f(λ))/(z-λ) dλ〗.
Идея исчисления Данфорда (еще говорят голоморфного функционального исчисления, операторного исчсления) состоит в том, чтобы исп-тьинтегральную фор-лу Коши для определения значения ф-ии от оператора.
ПустьA∈L(X). Определим отоб-иеψ_A:F(σ(A) )→L(X)по правилу:
ψ_A (f)=f(A)≔-1/2πi ∫_γ▒〖f(λ)R(λ,A)dλ〗, где контур γ – граница открытогомн-ваV⊃σ(A), лежащего в мн-веаналитичности ф-ииf.
Отоб-иеψ_A назыв. исчислением Данфорда оператора A или просто операторным исчислением. След. Т. обосновывает корректность такого названия.
Т.ψ_Aявл-ся гомоморфизмом алгебр F(σ(A) ) иL(X), т.е. ∀f,g∈F(σ(A) )справедливо:
■((f+g)(A)=f(A)+g(A)@(fg)(A)=f(A)g(A)).
Кроме того, если f – целая ф-ия, то f(A)≔∑_(n=0)^∞▒〖a_n A^n 〗, т.е. целое исчисление и исчисление Данфорда совпадают для целых ф-ий.
Док-во: первое св-во след-ет из линейности интеграла по контуру. Докажем второе св-во. Пусть U_1и U_2 – открытые мн-ва, содержащие спектр, причем такие, что замыкание U_1 лежит в U_2, а замыкание U_2 лежит в общем мн-веаналитичности ф-ийfи g. Символами γ_1 и γ_2 обозначим контуры, обходящие границы U_1и U_2 соотв. в положительном направлении обхода (так, чтобы внутренность мн-ва осталась слева). Тогда, применяя интегральную формулу Коши и тождество Гильберта, получим:
f(A)g(A)=1/(4π^2 ) ∫_(γ_1)▒〖f(λ)R(λ,A)dλ〗 ∫_(γ_2)▒〖f(μ)R(μ,A)dμ〗=1/(4π^2 ) ∫_(γ_1)▒∫_(γ_2)▒〖f(λ)g(μ)R(λ,A)R(μ,A)dμdλ〗=1/(4π^2 ) ∫_(γ_1)▒∫_(γ_2)▒〖f(μ)R(μ,A)(λ-μ)^(-1) (R(λ,A)-R(μ,A))dμdλ〗=1/(4π^2 ) ∫_(γ_1)▒∫_(γ_2)▒〖f(μ)R(μ,A) (λ-μ)^(-1) R(λ,A)dμdλ〗-1/(4π^2 ) ∫_(γ_1)▒∫_(γ_2)▒〖f(μ)R(μ,A) (λ-μ)^(-1) R(μ,A))dμdλ〗=-1/2πi ∫_(γ_1)▒f(λ)R(λ,A)(-1/2πi ∫_(γ_2)▒g(μ)/(λ-μ) dμ)dλ-(-1/2πi) ∫_(γ_2)▒g(μ)R(μ,A)(-1/2πi ∫_(γ_1)▒f(λ)/(λ-μ) dλ)dμ=-1/2πi ∫_(γ_1)▒f(λ)R(λ,A)(-1/2πi ∫_(γ_2)▒g(μ)/(λ-μ) dμ)dλ=-1/2πi ∫_(γ_1)▒〖f(λ)g(λ)R(λ,A)dλ=(fg)(A)〗, где интеграл
∫_(γ_1)▒f(λ)/(λ-μ) dλ=0, т.к. μ лежит за пределами U_1 (на контуре γ_2 ), т.е. ф-ияh(λ)=f(λ)/(λ-μ) аналитична в обл. U_1 (знаменатель в ноль н еобращается).
Т. (Дандорфа об отоб-ие спектра). ПустьA∈L(X), f∈F(σ(A)). Тогда σ(F(A) )=f(σ(A) )={f(λ):λ∈σ(A)}.
Т.Пусть спектр оператораA∈L(X)предста¬вим в виде объединения двух непересекающихся замкнутых ча¬стей: σ(A)=σ_1∪σ_2. Тогда существует разложение X в пря¬мую сумму замкнутых подпространств X=X_1⨁X_2, причем пространстваX_1 и X_2инвариантны относительно оператора А. Более того, если A_k=A|_(X_k ),k=1,2, то σ(A_1 )=σ_1и σ(A_2 )=σ_2.
Док-во:Определим функциюf:U_1∪U_2→Cпо пра¬вилу
f(λ)={■(1,λ∈U_1@0,λ∈U_2 )┤,
где U_1и U_2— взаимно непересекающиеся открытые множества, содержащие σ_1 и σ_2 соответственно. Очевидно, что f — аналитиче¬ская функция: она дифференцируема в каждой точке U_1∪U_2, то естьf∈F(A).Значит можно определить оператор f(A):
f(A)=-1/2πi ∫_γ▒f(λ)R(λ,A)dλ=-1/2πi ∫_(γ_1)▒f(λ)R(λ,A)dλ-1/2πi ∫_(γ_2)▒f(λ)R(λ,A)dλ=-1/2πi ∫_(γ_1)▒R(λ,A)dλ.
где γ — граница U_1∪U_2, являющаяся объединением γ_k — границU_k,k=1,2.
Введем обозначениеP_1=f(A). Покажем, что P_1— проектор.
Поскольку (f∙f)(λ)=〖(f(λ))〗^2=f(λ) для всех λ∈U_1∪U_2, в силу опр. гомоморфизма алгебр, получаем:
P_1^2=f(A)f(A)=(f∙f)(A)=f(A)=P_1.
Итак, P_1 в самом деле проектор.
Пусть X_1=ImP_1, X_2=KerP_1. Из алгебры известно, что про¬странство X раскладывается в прямую сумму X_1 и X_2. Покажем, что пространства X_1 и X_2инвариантны относительно А. Для этого достаточно показать, чтоAP_1=P_1 A.
AP_1=-1/2πi ∫_(γ_1)▒AR(λ,A)dλ,
P_1 A=-1/2πi ∫_(γ_1)▒R(λ,A)Adλ.
Легко показать, что для любого оператораA∈L(X)и любогоλ∈ρ(A) справедливо равенствоAR(λ,A)=R(λ,A)A.
Отсюда получаем, что в самом деле пространства X_1 и X_2инвари¬антны относительно А. Значит можно определить сужения A|_(X_1 )=A_1∈L(X_1 ),A|_(X_2 )=A_2∈L(X_2 ).

22.Компактные операторы. Теорема (мн-во компакт.оепраторов образует идеал). Примеры (опер.с конечным рангом, интегральный оператор).
Оператор A∈L(X,Y)назыв. компактным, если образ A(M)всякого огран. мн-ваM⊂Xесть предкомпактное мн-во вY.
Мн-во компактных операторов, действующих изX в Y, будем обозначать Comp(X,Y). Если X=Y, то Comp(X).
Замечание. Из Т. Хаусдорфа следует, что оператор компактен тогда и только тогда, когда для каждой огран. посл-ти{x_n}из посл-ти{Ax_n}можно выделить сходящуюся в Yподпосл-ть.
Оператор A∈L(X,Y) назыв. оператором с конечным рангом, если ImA–конечномерно подпр-во изY.
Т. Для того, чтобы мн-во из конечномерного банахова пр-ва было предкомпактно, необх. и достат., чтобы оно было ограничено. Как следствие, такое мн-во компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.
Лемма. Каждый оператор с конечным рангом явл-ся компактным.
Док-во:т.к. A-ограничен, он вереводитограниченноемн-во Mв ограниченное. Но, т.к. ImA конечномеренм, то по предыд. Т. A(M)предкомпактно.
Св-ва компакт.операторов:
1. Линейная комбинация компакт.операторов явл-ся компакт. оператором;
2. Если A- компакт., а B- огран. оператор, то операторы ABи BAкомпактны;
3. В бесконечномерном пр-ве компакт.оператор не имеет огран. обратного;
4. Если лин. огран. опер. A:X→Y и пр-ва Xили Yконечномерны, то оператор Aявл-сякомпактным;
5. Если Y-банахово пр-во и ‖A_n-A‖→0 при n→∞, где A- лин. огран. оператор и A_n- компакт.операторы, то A- компакт. оператор.
Пример интеграл.оператора:
A:C_([a,b])→C_([a,b])– интегральный оператор с ядромK∈C([a,b]×[a,b]).
Исп-ся Т. Арцела, можно показать, что всякий интегральный оператор компактен.
Ядро K назыв. вырожденным, если его можно представить в виде
K(t,s)=∑_(i=1)^n▒〖p_i (t)q_i (s)〗, где p_i,q_i∈C_([a,b]) и p_i лин. независимы.
Оператор с вырожденным ядром явл-ся оператором с конечным рангом. В самом деле
(Ax)(t)=∑_(i=1)^n▒〖p_i (t)〗 ∫_a^b▒〖q_i (s)x(s)ds〗,
т.е. всякая ф-ияAx∈C_([a,b]) представима в виде лин. комбинации p_i, которые лин. независимы, а значит образуют базис в ImA.
Подмн-во I⊂Aалгебры Aназыв. идеалом (двусторонним идеалом), если оно явл-сяподпр-ом вAи для всех a∈Ab∈Iсправедливы рав-ваab∈I,ba∈I.
Т.Мн-воComp(X,Y)образ. замкнутое подпр-во в L(X,Y). Если X=Y, то Comp(X) – двусторонний идеал вбанаховой алгебре L(X).
Док-во: докажем, что Comp(X,Y)— подпростран¬ство в L(X,Y).ПустьA,B∈Comp(X,Y). Если {x_n}⊂X — огра¬ниченная последовательность, то из {(αA+βB)x_n} можно выде¬лить сходящуюся, выделив сходящуюся сначала из последователь¬ности {Ax_n} — {Ax_(n_k )}, а затем выделить сходящуюся из {Bx_(n_k )} - {Bx_(n_(k_1 ) )}. Тогдапоследовательность {(αA+βB)x_(n_(k_1 ) )} также будетсходящейся, то есть линейная комбинация компактных операторов также является компактным оператором.
Покажем, что Comp(X,Y) замкнуто в L(X,Y).Пусть {A_n}⊂Comp(X,Y)сходится по норме кA, то есть‖A_n-A‖→0. Пока¬жем, что A компактен. Для этого покажем, что образ единичного шара B(0,1) вполне ограничен (тогда, по теореме Хаусдорфа, он предкомиактен), то есть нужно доказать, что для каждого ε>0 множество A(B(0,1)) можно покрыть конечным числом шаров ра¬диуса ε.
Зафиксируем ε>0. Пусть m таково, что ‖A_m-A‖<ε⁄2. По¬скольку A_m (B(0,1)) вполне ограниченное множество, по ε⁄2 для него найдется конечное покрытие шарами радиуса ε⁄2с центрами в точкахy_i,i=(1,k) ̅:
A_m (B(0,1))⊂⋃_(i=1)^k▒〖B(y_i,ε⁄2)〗.
Покажем, что
A(B(0,1))⊂⋃_(i=1)^k▒〖B(y_i,ε)〗.
В самом деле, пустьx∈B(0,1) и A_m x∈B(y_i,ε⁄2). Тогда
‖A_m x-Ax‖<ε⁄2 и ‖Ax-y_i ‖≤‖Ax-A_m x‖+‖A_m x-y_i ‖<ε,
то есть Ax лежит в шаре B(y_i,ε)⊂⋃_(i=1)^k▒〖B(y_i,ε)〗.Компактность оператора A доказана, то естьComp(X,Y) — замкнутое подпро¬странство.
Осталось доказать, что Comp(X)образует двусторонний иде¬ал в L(X). ПустьA∈Comp(X),B∈L(X).Нужно показать, что AB,BA∈Comp(X). Пусть {x_n} — ограниченная последователь¬ность в X. {Bx_n} также ограничена. Поскольку оператор A ком¬пактен, из последовательности {A(Bx_n)} можно выделить сходя¬щуюся, что в точности и означает, что AB∈Comp(X). Из после-довательности {Ax_n} также можно выделить сходящуюся {Ax_(n_k )}, но тогда и {B(Ax_(n_k ))}сходится, значит BA∈Comp(X).

23.Лемма о почти перпендикуляре (БД). Теорема Риса.
Лемма.ПустьX – бесконечномерноебанахово пр-во, M⊂X–замкнут.подпр-во, не совпадающее со всем X. Тогда ∀ε>0 ∃x∈XM,‖x‖=1, что 1-〖inf〗_(m∈M) ‖x-m‖<ε.
Теорема Риса. Пусть X – бесконечномерноебанахово пр-во.ТогдаB ̅(a,r)не явл-ся компактом.
Док-во: Докажем утверждение для единичного ша¬ра. Возьмем произвольный x_0, ‖x_0 ‖=1. Определим подпространство M_1=span{x_0 }. По лемме о почти перпендикуляре для ε=1/2найдется такой x_1∈XM_1, ‖x_1 ‖=1, что ‖x_1-x_0 ‖>1/2. Для нодространства M_2=span{x_0,x_1 }так¬же справедлива лемма о почти перпендикуляре, значит найдется x_3∈XM_2, ‖x_3 ‖=1, что ‖x_2-x_0 ‖>1/2 и ‖x_2-x_1 ‖>1/2. Про¬должая аналогично, получим последовательность {x_k} единичных векторов, находящихся друг от друга на расстоянии большем 1/2. Очевидно, что из такой последовательности выделить сходящуюся нельзя, а значит множество B ̅(0,1) не предкомпактно.

24.Спектральная теорема для компактных операторов.
Т. ПустьA∈Comp(X). Тогда
1. Спектр оператораAесть не более чем счетное множество с возможной единственной предельной точкой, равной нулю. Все точки спектра, отличные от нуля, являются собственными значениями. В бесконечномерном пространстве число 0 всегда лежит, в спектреA.
2. ЯдраKer(A-λI)конечномерны для всехλ≠0,λ∈σ(A).
3. Более обще: ядраKer〖(A-λI)〗^mконечномерны для всех нену¬левыхAиз спектра, причем найдется такой номерn>0, чтоKer〖(A-λI)〗^n=Ker〖(A-λI)〗^(n+1).
ДОК-ВО:
1. Покажем только, что 0∈σ(A), если X бесконечномерно.
Предположим противное: операторА обратим, то есть суще¬ствует A^(-1)∈L(X) такой, что
AA^(-1)=I.
Но поскольку Comp(X) есть идеал вL(X), операторI должен быть также компактен, что невозможно в случае бесконечно¬мерного X (образ единичного шара не предкомпактен в силу теоремы Рисса).
Остальные утверждения данного пункта оставим без доказа¬тельства.
2.Покажем, что если λ≠0, тоX_0=Ker(A-λI) конечномерно. Ядро оператора A-λI инвариантно относительно оператора А: еслиx∈Ker(A-λI), тоAx=λx∈Ker(A-λI). Также, как нетрудно убедиться, X_0— замкнутое подпростран¬ство (значит, оно банахово). Значит можно определить суже¬ние A_0=A|_(X_0 )оператораА на это подпространство. Оно име¬ет видA_0=λI_0, где I_0 — тождественный оператор в X_0.
Сужение компактного оператора на замкнутое подпростран¬ство, очевидно, также компактно, а значит X_0 конечномерно в силу той же теоремы Рисса.
3. Без доказательства.

25.Операторы с компакт.резольвентой. Т. о спектре обратного оператора. Спектральная теорема для операторов с компакт.резольвентой.
Замкнутый оператор A:D(A)⊂X→X назыв. оператором с компактной резольвентой, если его резольвентноемн-во непусто и найдется такое λ_0∈ρ(A), что оператор R(λ_0,A)компактен.
Л1. Если A – опер.с компакт. резольвентой, то для любого μ_0∈ρ(A) оператор R(μ_0,A) компактен.
Док-во: пусть λ_0∈ρ(A) – число из опред. оператора скомпактной резольвентой. Тогда из тождества Гильберта получаем
R(μ_0,A)=R(λ_0,A)+(μ_0-λ_0)R(μ_0,A)R(λ_0,A).
Оператор R(λ_0,A) компактен, значит компактен
(μ_0-λ_0)R(μ_0,A)R(λ_0,A),
но тогда и R(μ_0,A)компактен как сумма компактных операторов.
Т. Пусть замкнутый оператор A:D(A)⊂X→X обратим. Тогда, если D(A)≠X, то σ(A^(-1) )={1/λ:λ∈σ(A) }∪{0}. Если же D(A)=X (оператор A тогда ограничен), то σ(A^(-1) )={1/λ:λ∈σ(A) }.
Док-во: Пусть D(A)≠X. Тогда 0∈σ(A^(-1) ), по¬скольку A^(-1) необратим (его образ не совпадает со всем X). Возь¬мем A_0∈ρ(A) и покажем, чтоλ_0^(-1)∈ρ(A^(-1)). Обратным для A^(-1)-λ_0^(-1) I является оператор —λ_0 A〖(A-λ_0 I)〗^(-1), это проверяется непо¬средственно. Аналогично, если λ_0∈ρ(A^(-1)), то λ_0^(-1)∈ρ(A), причем обратный для A-λ_0^(-1) I есть —λ_0 A^(-1) 〖(A^(-1)-λ_0 I)〗^(-1).
Лемма.ЕслиA:D(A)⊂X→X — обратимый линей¬ный замкнутый оператор,аx∈D(A)— собственный вектор, отвечающий собственному значениюλ∈σ_d (A),λ≠0,то x явля¬ется собственным вектором оператора A^(-1), соответствующим собственному значениюλ^(-1). Иначе утверждение леммы можно записать в виде
Ker(A-λI)=Ker(A^(-1)-λI).
Док-во: ЕслиAx=λx, то x= λA^(-1) x.Дальнейшее очевидно.
Т. Пусть A:D(A)⊂X→X – оператор с компактной резольвентой, тогда
1.Его спектр состоит только из не более чем счетного числа собственных значений с единственной возможной предельной точкой равной∞.
2. Ядра Ker(A-λI) конечномерны для всех λ∈σ(A).
Док-во: Пусть λ_0∈ρ(A). Тогда 〖(A-λ_0 I)〗^(-1) компактен, значит его спектр σ(〖(A-λ_0 I)〗^(-1)) счетен и единственной возможной предельной точкой явл-ся точка 0. Из спектральной теоремы для замкнутых операторов следует, σ((A-λ_0 I)^(-1) )={1/(λ-λ_0 ):λ∈σ(A) }∪{0}, откуда получаем σ(A)={1/μ+λ_0:μ∈σ((A-λ_0 I)^(-1) ),μ≠0}.
Отсюда следует, что оператор А не более чем счетный спектр с единственной возможной предельной точкой равной бесконечности.
Покажем, что точки спектра Аявл-ся собственными значениями. Если λ∈σ(A), то λ=μ^(-1)+λ_0, где μ∈σ((A-λ_0 I)^(-1) ). Т.к. оператор 〖(A-λ_0 I)〗^(-1) компактен и μ≠0, μ явл-ся собственным значением этого оператора, а значит найдется такой ненулевой x∈X, что 〖(A-λ_0 I)〗^(-1) x=μx.
Из предыдущей Леммы, следует, что xявл-ся собственным вектором оператора A-λ_0 I, соотв. собств. значению μ^(-1)=λ-λ_0, т.е. как легко видеть, x есть собств. вектор А, соотв. собств. знач. λ. Из леммы так же получаем, что Ker((A-λ_0 I)^(-1)-(λ-λ_0 )^(-1) I)=Ker(A-λI), откуда сразу след-ет второе утв. теоремы.