Вариант 45 (Провести полное исследование двух функции и построить их графики)

Вариант 45
Задание 1
Провести полное исследование двух функции и построить их графики
а) y=(x^2-x-1)/(x^2-2x)
Исследуем функцию по плану:
ОДЗ: x^2-2x ≠0=>x≠0,x≠2=>x∈(-∞;0)∪(0;2)∪(2;+∞)
y(-x)=(x^2+x-1)/(x^2+2x)≠y(x)≠-y(x)=>функция общего вида
Нули функции: x^2-x-1=0=> x=1/2(1± √5)
Промежутки возрастания убывания. Найдем критические точки из условия
y^ (x)=0
y^ (x)=((x^2-x-1)/(x^2-2x))^=((2x-1)(x^2-2x)-(2x-2)(x^2-x-1))/(x^2-2x)^2 =-(x^2-2x+2)/(x^2-2x)^2
y^ (x)не обращается в ноль=>функция не имеет экстремумов


Функция убывает на всей области определения
Точки перегиба.
Найдем из условия y^ (x)=0
y^ (x)=(-(x^2-2x+2)/(x^2-2x)^2 )^=(2(x-1)(x^2-2x+4))/((x-2)^3 x^3 )=0=>x=1



x∈(-∞;0)∪(1;2) функция выпукла вверх
x∈(0;1)∪(2;+∞) функция выпукла вниз
Асимптоты графика функции
Вертикальные асимптоты x=0,x=1 (точки разрыва второго рода)
Наклонные асимптоты вида y=kx+b
k=lim┬(x→∞)⁡〖y(x)/x〗=lim┬(x→∞)⁡〖((x^2-x-1)/(x^2-2x))/x〗=0
b=lim┬(x→∞)⁡〖(y(x)-kx)〗=lim┬(x→∞)⁡〖(x^2-x-1)/(x^2-2x)〗=1
y=1 горизонтальная асимптота функции
Строим график функции:


б) y=-ln⁡〖(1+x)/(1-x)〗
Исследуем функцию по плану:
ОДЗ: {█(1-x ≠0@(1+x)/(1-x)>0)┤=>x≠1,x∈(-1;1)
y(-x)=-ln⁡〖(1-x)/(1+x)〗=y(x)=>функция четная,симметрична относительно начала координат
Нули функции:-ln⁡〖(1+x)/(1-x)〗=0=>(1+x)/(1-x)=1=> x=0
Промежутки возрастания убывания. Найдем критические точки из условия
y^ (x)=0
y^ (x)=(-ln⁡〖(1+x)/(1-x)〗 )^=(1-x)/(1+x)∙(1-x+1+x)/(1-x)^2 =2/(x^2-1)
y^ (x)не обращается в ноль=>функция не имеет экстремумов


Функция убывает на всей области определения
Точки перегиба.
Найдем из условия y^ (x)=0
y^ (x)=(-ln⁡〖(1+x)/(1-x)〗 )^=(-4x)/(x^2-1)^2 =0=>x=0



x∈(-1;0) функция выпукла вверх
x∈(0;1) функция выпукла вниз
Асимптоты графика функции
Вертикальные асимптоты: нет (нет точек разрыва)
Наклонные асимптоты вида y=kx+b
k=lim┬(x→∞)⁡〖y(x)/x〗=lim┬(x→∞)⁡〖(-ln⁡〖(1+x)/(1-x)〗)/x〗=0
b=lim┬(x→∞)⁡〖(y(x)-kx)〗=lim┬(x→∞)⁡〖(-ln⁡〖(1+x)/(1-x)〗)〗=∞
Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

Строим график функции:


Задача 2
Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб для подачи воды. При каком угле α наклона боковых стенок к днищу желоба, площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей?
Решение:
А





В прямоугольном треугольнике НВС НВ=аsin , НС=аcos . Н1Н=DC=а,
АВ=2НВ+ Н1Н=2а sin +а.
SАВСD= (АВ+СD)*СН.
Найдем, при каком значении достигается наибольшее значение функции.
S( )= (2а+2а sin ) аcos .
S( )=а2 cos + а2 sin2 .
Найдем критические точки функции.
S( )=-а2 sin +а2 cos2
а2(1-2 sin2 - sin )=0, а 0,
2 sin2 + sin -1=0
sin =-1,
sin = , = .
0< <
S(0)=а2; S( )=0; S( )= а2.
Наибольшего значения функция достигает внутри отрезка [0; ], а значит, и внутри интервала (0; ). Искомый угол DСВ равен DСН + НСВ=90°+30º=120°.
Ответ: 120°

Задание 3
Найти дифференциал dz данной функции: z=√(sin⁡〖(x+y)〗/xy)
Решение:
Дифференциал функции найдем по формуле: dz=∂z/∂x dx+∂z/∂y dy
∂z/∂x=1/2 (sin⁡(x+y)/xy)^(-1/2)∙(cos⁡〖(x+y)∙xy〗-y∙sin⁡(x+y))/(x^2 y^2 )=1/2 √(xy/sin⁡〖(x+y)〗 )∙(cos⁡〖(x+y)∙x〗-sin⁡〖(x+y)〗)/(x^2 y)
∂z/∂y=1/2 (sin⁡(x+y)/xy)^(-1/2)∙(cos⁡〖(x+y)∙xy〗-x∙sin⁡(x+y))/(x^2 y^2 )=1/2 √(xy/sin⁡〖(x+y)〗 )∙(cos⁡〖(x+y)∙y〗-sin⁡〖(x+y)〗)/(xy^2 )
Тогда,
dz=∂z/∂x dx+∂z/∂y dy=
=1/2 √(xy/sin⁡〖(x+y)〗 )∙(cos⁡〖(x+y)∙x〗-sin⁡〖(x+y)〗)/(x^2 y) dx+1/2 √(xy/sin⁡〖(x+y)〗 )∙(cos⁡〖(x+y)∙y〗-sin⁡〖(x+y)〗)/(xy^2 ) dy

Задание 4
Показать, что функция z=y/(y^2-4x^2 ) удовлетворяет уравнению (∂^2 z)/(∂x^2 )-4 (∂^2 z)/(∂y^2 )=0
Решение:
Найдем первые и вторые частные производные функции и подставим в уравнение:
∂z/∂x=8xy/(y^2-4x^2 )^2 ; (∂^2 z)/(∂x^2 )=(8y(y^2-4x^2 )^2+16x(y^2-4x^2))/(y^2-4x^2 )^4 =8y(12x^2+y^2 )/(y^2-4x^2 )^3
∂z/∂y=((y^2-〖4x〗^2 )-2y^2)/(y^2-4x^2 )^2 =(-y^2-4x^2)/(y^2-4x^2 )^2 ; (∂^2 z)/(∂y^2 )=(-2y(y^2-4x^2 )^2+2(y^2-4x^2 )(y^2+4x^2 ))/(y^2-4x^2 )^4 =
=(2y(y^2+12x^2))/(y^2-4x^2 )^3
(∂^2 z)/(∂x^2 )-4 (∂^2 z)/(∂y^2 )=8y(12x^2+y^2 )/(y^2-4x^2 )^3 -4∙ (2y(y^2+12x^2))/(y^2-4x^2 )^3 =0

Задание 5
а) найти указанные производные данной сложной функции
z=x^sin⁡y , y=1/ln⁡√x ; ∂z/∂x=? dz/dx=?
б) Найти dy/dx от функции y=f(x), заданной уравнением sin⁡〖x/y〗-e^xy-x^2 y^3=0
Решение:
а) ∂z/∂x=sin⁡〖y∙〗 x^sin⁡〖y-1〗
dz/dx=?
z(x)=x^(1/ln⁡√x ), ln⁡z=1/ln⁡√x ln⁡x=>z^/z=-ln⁡x/ln^2⁡√x ∙1/(2√x)+1/(x ln⁡√x )=>
dz/dx=z(1/(x ln⁡√x )-ln⁡x/(2√x))= x^(1/ln⁡√x ) (1/(x ln⁡√x )-ln⁡x/(2√x))

б) sin⁡〖x/y〗-e^xy-x^2 y^3=0 неявная функция. Продифференцируем по x обе части уравнения и выразим y:
(y-xy)/y^2 cos⁡〖x/y〗-e^xy (y+xy^ )-2xy^3-3x^2 y^2 y^=0
y^ (-x/y^2 cos⁡〖x/y〗-xe^xy-3x^2 y^2 )=-1/y cos⁡〖x/y〗+〖ye〗^xy+2xy^3=>
y^=(-1/y cos⁡〖x/y〗+〖ye〗^xy+2xy^3)/(-x/y^2 cos⁡〖x/y〗-xe^xy-3x^2 y^2 )=(1/y cos⁡〖x/y〗-〖ye〗^xy-2xy^3)/(x/y^2 cos⁡〖x/y〗+xe^xy+3x^2 y^2 )
Задание 6
Исследовать на экстремум функцию: z=x^3+y^3-3xy
Решение:
1) найдем частные производные функции, приравняем к нулю и найдем критические точки функции:
{█(∂z/∂x=3x^2-3y=0@∂z/∂y=3y^2-3x=0)┤=>{█(y=x^2@x^4-x=0)┤=>[█({█(y=x^2@x=0)┤@{█(y=x^2@x^3-1=0)┤ )┤=>[█({█(y=0@x=0)┤@{█(y=1@x=1)┤ )┤
Функция имеет две критические точки M_1 (0;0),M_2 (1;1)
2) найдем вторые производные и исследуем функцию в критических точках на экстремум:
A=(∂^2 z)/(∂x^2 )=6x,C= (∂^2 z)/(∂y^2 )=6y, B=(∂^2 z)/∂x∂y=-3
Для точки M_1: A=0,B=-3,C=0 ∆=|■(0&-3@-3&0)|=0-9=-9<0 => функция не имеет экстремума в точке M_1 (0;0)
Для точки M_2: A=6>0,B=-3,C=6 ∆=|■(6&-3@-3&6)|=36-9=25>0 => функция имеет минимум в точке M_2 (1;1)
Задание 7
Найти неопределенные интегралы. Результат проверить дифференцированием
а)
∫▒(x-x^3)/√(9-x^4 ) dx=∫▒xdx/√(9-x^4 )+∫▒(x^3 dx)/√(9-x^4 )=1/2 ∫▒(d(x^2))/√(9-(x^2 )^2 )-1/4 ∫▒(d(9-x^4))/√(9-x^4 )=1/2 arcsin (x^2/3)+1/2 √(9-x^4 )+C
Проверка:
(1/2 arcsin (x^2/3)+1/2 √(9-x^4 )+C)^=1/2∙2x/3∙1/√(1-(x^4/9)^2 )+1/2∙1/2∙(-4x^3 )∙1/√(9-x^4 )=(x-x^3)/√(9-x^4 )
б)
∫▒dx/∛(e^(x+2) )=∫▒〖〖(e〗^(x+2))〗^(-1/3) dx=-3∫▒e^((x+2)/(-3)) d((x+2)/(-3))=-3e^((x+2)/(-3))+C
Проверка:
(-3e^((x+2)/(-3))+C)^=-3∙(-1/3) e^((x+2)/(-3))=1/∛(e^(x+2) )
Задание 8
Вычислить неопределенный интеграл:
∫▒〖(x^4-x^3+x^2+x-10)/(x^2-4)(x+2) dx〗
выделим целую часть и разложим подынтегральное выражение на сумму простых дробей методом неопределенных коэффициентов:
(x^4-x^3+x^2+x-10)/(x^2-4)(x+2) =x-3+ (11x^2-3x-34)/(x^2-4)(x+2) =x-3+ A/(x-2)+B/(x+2)+C/(x+2)^2
A(x+2)^2+B(x^2-4)+C(x-2)=11x^2-3x-34=>
{█(A+B=11@4A+C=-3@4A-4B-2C=-34)=>{█(A=1/4@B=43/4@C=-4)┤ ┤
∫▒〖(x^4-x^3+x^2+x-10)/(x^2-4)(x+2) dx〗=∫▒(x-3+1/4(x-2) +43/4(x+2) -4/(x+2)^2 )dx=
=1/2 x^2-3x+1/4 ln⁡〖(x-2)〗+43/4 ln⁡〖(x+2)〗+4/(x+2)+C

Задание 9
Вычислить определенный интеграл:
а)
∫_0^(π/9)▒xdx/cos^2⁡3x =|█(u=x,du=dx@dv=dx/cos^2⁡3x v=1/3 tg(3x) )|=1/3 x∙tg(3x)|█(π/9@0)┤-1/3 ∫_0^(π/9)▒〖tg 3x〗 dx=
=1/3 x∙tg(3x)|█(π/9@0)┤-1/3 ∫_0^(π/9)▒sin⁡3x/cos⁡3x dx=1/3 x∙tg(3x)|█(π/9@0)┤-1/3 ∫_0^(π/9)▒sin⁡3x/cos⁡3x dx==1/3 x∙tg(3x)|█(π/9@0)┤+1/9 ln⁡cos⁡3x |█(π/9@0)┤=1/27(√3 π-ln⁡8)
б)
∫_0^(√2/2)▒(x^4 dx)/√((1-x^2 )^3 )=|█(x=sin⁡u,dx=cos⁡〖u du〗@(1-x^2 )^(3/2)=(cos⁡u )^3@u=arcsin⁡x )|=∫▒〖sin^2⁡u tg^2 udu〗=∫▒〖sin^2⁡u (1/cos^2⁡u -1)du〗=
=∫▒〖tg^2 udu〗-∫▒〖sin^2⁡u du〗=∫▒〖1/cos^2⁡u du〗-∫▒du-∫▒〖(1-cos⁡2u)/2 du〗=tg u-u-1/2 u+1/4 sin⁡2u=
=-3/2 u+tg u+1/4 sin⁡2u=-3/2 arcsin⁡x+tg (arcsin⁡x )+1/4 sin⁡2(arcsin⁡x )=1/2 x√(1-x^2 )+x/√(1-x^2 )-3/2 arcsin⁡x |█(√2/2@0)┤=5/4-3π/8
Задание 10
Вычислить определенный интеграл:
∫_(π/3)^(π/2)▒dx/(sin^2⁡x (1-cos⁡〖x)〗 )=|█(t=tg x/2 dx=2dt/(t^2+1)@sin⁡x=2t/(t^2+1) cos⁡x=〖1-t〗^2/(t^2+1))|=∫▒〖(t^2+1)/(2t^2 (1-〖1-t〗^2/(t^2+1)) ) dt〗=
=∫▒〖(t^2+1)^2/(4t^4 ) dt〗=1/4 (∫▒1/t^4 dt+∫▒〖2/t^2 dt〗+∫▒dt)=1/4 (-1/(3t^3 )-2/t+t)==-1/12 ctg^3 (x/2)-1/2 ctg(x/2)+1/4 tg (x/2)|█(π/2@π/3)┤=2/√3-1/3
Задание 11
Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость
а)
∫_(1/2)^∞▒16dx/(π(4x^2+4x+5))
Подынтегральная функция непрерывна на интервале (1/2;∞), несобственный интеграл найдем по формуле: ∫_a^∞▒f(x)dx=lim┬(b→∞)⁡〖F(X)〗 |█(b@a)┤, тогда:
∫_(1/2)^∞▒16dx/π(4x^2+4x+5) =16/π ∫_(1/2)^∞▒dx/((2x+1)^2+4)=8/π ∫_(1/2)^∞▒d(2x+1)/((2x+1)^2+4)=lim┬(b→∞)⁡〖4/π arctg (2x+1)/2〗 |█(b@1/2)┤=
=4/π∙π/2-4/π∙π/4=2-1=1

б)
∫_0^∞▒〖x^2 e^(x^3 ) dx〗
Подынтегральная функция непрерывна на интервале (1/2;∞), несобственный интеграл найдем по формуле: ∫_a^∞▒f(x)dx=lim┬(b→∞)⁡〖F(X)〗 |█(b@a)┤, тогда:
∫_0^∞▒〖x^2 e^(x^3 ) dx〗=1/3 ∫_0^∞▒〖e^(x^3 ) d(x^3)〗=lim┬(b→∞)⁡〖e^(x^3 ) 〗 |█(b@0)┤=∞-1=∞
Интеграл расходится.

Задание 12
Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций y=ln⁡x,x=2,y=0, вокруг оси Oy.
Решение:
объем тела найдем по формуле: V=π∫_a^b▒〖f^2 (y)dy〗
Перейдем к обратной функции: y=ln⁡x=>x=e^y
Объем тела вращения найдем как разность объемов
тел вращения
V=V_1-V_2=π∫_0^ln⁡2▒〖2^2 dy〗-π∫_0^ln⁡2▒〖e^2y dy〗=
=π(4y-1/2 e^2y )|█(ln⁡2@0)┤=π(4 ln⁡2-0-1/2 e^ln⁡4 +1/2)=π(4ln⁡2-3/2)≈4,0 куб.ед.