Вариант 45 (Провести полное исследование двух функции и построить их графики)

Контрольная работа по предмету «Математика»
Информация о работе
  • Тема: Вариант 45 (Провести полное исследование двух функции и построить их графики)
  • Количество скачиваний: 26
  • Тип: Контрольная работа
  • Предмет: Математика
  • Количество страниц: 10
  • Язык работы: Русский язык
  • Дата загрузки: 2014-12-19 23:50:56
  • Размер файла: 100.21 кб
Помогла работа? Поделись ссылкой
Ссылка на страницу (выберите нужный вариант)
  • Вариант 45 (Провести полное исследование двух функции и построить их графики) [Электронный ресурс]. – URL: https://www.sesiya.ru/kontrolnaya-rabota/matematika/variant-45-provesti-polnoe-issledovanie-dvuh-funkcii-i-postroit-ih-grafiki/ (дата обращения: 17.05.2021).
  • Вариант 45 (Провести полное исследование двух функции и построить их графики) // https://www.sesiya.ru/kontrolnaya-rabota/matematika/variant-45-provesti-polnoe-issledovanie-dvuh-funkcii-i-postroit-ih-grafiki/.
Есть ненужная работа?

Добавь её на сайт, помоги студентам и школьникам выполнять работы самостоятельно

добавить работу
Обратиться за помощью в подготовке работы

Заполнение формы не обязывает Вас к заказу

Информация о документе

Документ предоставляется как есть, мы не несем ответственности, за правильность представленной в нём информации. Используя информацию для подготовки своей работы необходимо помнить, что текст работы может быть устаревшим, работа может не пройти проверку на заимствования.

Если Вы являетесь автором текста представленного на данной странице и не хотите чтобы он был размешён на нашем сайте напишите об этом перейдя по ссылке: «Правообладателям»

Можно ли скачать документ с работой

Да, скачать документ можно бесплатно, без регистрации перейдя по ссылке:

Вариант 45
Задание 1
Провести полное исследование двух функции и построить их графики
а) y=(x^2-x-1)/(x^2-2x)
Исследуем функцию по плану:
ОДЗ: x^2-2x ≠0=>x≠0,x≠2=>x∈(-∞;0)∪(0;2)∪(2;+∞)
y(-x)=(x^2+x-1)/(x^2+2x)≠y(x)≠-y(x)=>функция общего вида
Нули функции: x^2-x-1=0=> x=1/2(1± √5)
Промежутки возрастания убывания. Найдем критические точки из условия
y^ (x)=0
y^ (x)=((x^2-x-1)/(x^2-2x))^=((2x-1)(x^2-2x)-(2x-2)(x^2-x-1))/(x^2-2x)^2 =-(x^2-2x+2)/(x^2-2x)^2
y^ (x)не обращается в ноль=>функция не имеет экстремумов


Функция убывает на всей области определения
Точки перегиба.
Найдем из условия y^ (x)=0
y^ (x)=(-(x^2-2x+2)/(x^2-2x)^2 )^=(2(x-1)(x^2-2x+4))/((x-2)^3 x^3 )=0=>x=1



x∈(-∞;0)∪(1;2) функция выпукла вверх
x∈(0;1)∪(2;+∞) функция выпукла вниз
Асимптоты графика функции
Вертикальные асимптоты x=0,x=1 (точки разрыва второго рода)
Наклонные асимптоты вида y=kx+b
k=lim┬(x→∞)⁡〖y(x)/x〗=lim┬(x→∞)⁡〖((x^2-x-1)/(x^2-2x))/x〗=0
b=lim┬(x→∞)⁡〖(y(x)-kx)〗=lim┬(x→∞)⁡〖(x^2-x-1)/(x^2-2x)〗=1
y=1 горизонтальная асимптота функции
Строим график функции:


б) y=-ln⁡〖(1+x)/(1-x)〗
Исследуем функцию по плану:
ОДЗ: {█(1-x ≠0@(1+x)/(1-x)>0)┤=>x≠1,x∈(-1;1)
y(-x)=-ln⁡〖(1-x)/(1+x)〗=y(x)=>функция четная,симметрична относительно начала координат
Нули функции:-ln⁡〖(1+x)/(1-x)〗=0=>(1+x)/(1-x)=1=> x=0
Промежутки возрастания убывания. Найдем критические точки из условия
y^ (x)=0
y^ (x)=(-ln⁡〖(1+x)/(1-x)〗 )^=(1-x)/(1+x)∙(1-x+1+x)/(1-x)^2 =2/(x^2-1)
y^ (x)не обращается в ноль=>функция не имеет экстремумов


Функция убывает на всей области определения
Точки перегиба.
Найдем из условия y^ (x)=0
y^ (x)=(-ln⁡〖(1+x)/(1-x)〗 )^=(-4x)/(x^2-1)^2 =0=>x=0



x∈(-1;0) функция выпукла вверх
x∈(0;1) функция выпукла вниз
Асимптоты графика функции
Вертикальные асимптоты: нет (нет точек разрыва)
Наклонные асимптоты вида y=kx+b
k=lim┬(x→∞)⁡〖y(x)/x〗=lim┬(x→∞)⁡〖(-ln⁡〖(1+x)/(1-x)〗)/x〗=0
b=lim┬(x→∞)⁡〖(y(x)-kx)〗=lim┬(x→∞)⁡〖(-ln⁡〖(1+x)/(1-x)〗)〗=∞
Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

Строим график функции:


Задача 2
Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб для подачи воды. При каком угле α наклона боковых стенок к днищу желоба, площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей?
Решение:
А





В прямоугольном треугольнике НВС НВ=аsin , НС=аcos . Н1Н=DC=а,
АВ=2НВ+ Н1Н=2а sin +а.
SАВСD= (АВ+СD)*СН.
Найдем, при каком значении достигается наибольшее значение функции.
S( )= (2а+2а sin ) аcos .
S( )=а2 cos + а2 sin2 .
Найдем критические точки функции.
S( )=-а2 sin +а2 cos2
а2(1-2 sin2 - sin )=0, а 0,
2 sin2 + sin -1=0
sin =-1,
sin = , = .
0< <
S(0)=а2; S( )=0; S( )= а2.
Наибольшего значения функция достигает внутри отрезка [0; ], а значит, и внутри интервала (0; ). Искомый угол DСВ равен DСН + НСВ=90°+30º=120°.
Ответ: 120°

Задание 3
Найти дифференциал dz данной функции: z=√(sin⁡〖(x+y)〗/xy)
Решение:
Дифференциал функции найдем по формуле: dz=∂z/∂x dx+∂z/∂y dy
∂z/∂x=1/2 (sin⁡(x+y)/xy)^(-1/2)∙(cos⁡〖(x+y)∙xy〗-y∙sin⁡(x+y))/(x^2 y^2 )=1/2 √(xy/sin⁡〖(x+y)〗 )∙(cos⁡〖(x+y)∙x〗-sin⁡〖(x+y)〗)/(x^2 y)
∂z/∂y=1/2 (sin⁡(x+y)/xy)^(-1/2)∙(cos⁡〖(x+y)∙xy〗-x∙sin⁡(x+y))/(x^2 y^2 )=1/2 √(xy/sin⁡〖(x+y)〗 )∙(cos⁡〖(x+y)∙y〗-sin⁡〖(x+y)〗)/(xy^2 )
Тогда,
dz=∂z/∂x dx+∂z/∂y dy=
=1/2 √(xy/sin⁡〖(x+y)〗 )∙(cos⁡〖(x+y)∙x〗-sin⁡〖(x+y)〗)/(x^2 y) dx+1/2 √(xy/sin⁡〖(x+y)〗 )∙(cos⁡〖(x+y)∙y〗-sin⁡〖(x+y)〗)/(xy^2 ) dy

Задание 4
Показать, что функция z=y/(y^2-4x^2 ) удовлетворяет уравнению (∂^2 z)/(∂x^2 )-4 (∂^2 z)/(∂y^2 )=0
Решение:
Найдем первые и вторые частные производные функции и подставим в уравнение:
∂z/∂x=8xy/(y^2-4x^2 )^2 ; (∂^2 z)/(∂x^2 )=(8y(y^2-4x^2 )^2+16x(y^2-4x^2))/(y^2-4x^2 )^4 =8y(12x^2+y^2 )/(y^2-4x^2 )^3
∂z/∂y=((y^2-〖4x〗^2 )-2y^2)/(y^2-4x^2 )^2 =(-y^2-4x^2)/(y^2-4x^2 )^2 ; (∂^2 z)/(∂y^2 )=(-2y(y^2-4x^2 )^2+2(y^2-4x^2 )(y^2+4x^2 ))/(y^2-4x^2 )^4 =
=(2y(y^2+12x^2))/(y^2-4x^2 )^3
(∂^2 z)/(∂x^2 )-4 (∂^2 z)/(∂y^2 )=8y(12x^2+y^2 )/(y^2-4x^2 )^3 -4∙ (2y(y^2+12x^2))/(y^2-4x^2 )^3 =0

Задание 5
а) найти указанные производные данной сложной функции
z=x^sin⁡y , y=1/ln⁡√x ; ∂z/∂x=? dz/dx=?
б) Найти dy/dx от функции y=f(x), заданной уравнением sin⁡〖x/y〗-e^xy-x^2 y^3=0
Решение:
а) ∂z/∂x=sin⁡〖y∙〗 x^sin⁡〖y-1〗
dz/dx=?
z(x)=x^(1/ln⁡√x ), ln⁡z=1/ln⁡√x ln⁡x=>z^/z=-ln⁡x/ln^2⁡√x ∙1/(2√x)+1/(x ln⁡√x )=>
dz/dx=z(1/(x ln⁡√x )-ln⁡x/(2√x))= x^(1/ln⁡√x ) (1/(x ln⁡√x )-ln⁡x/(2√x))

б) sin⁡〖x/y〗-e^xy-x^2 y^3=0 неявная функция. Продифференцируем по x обе части уравнения и выразим y:
(y-xy)/y^2 cos⁡〖x/y〗-e^xy (y+xy^ )-2xy^3-3x^2 y^2 y^=0
y^ (-x/y^2 cos⁡〖x/y〗-xe^xy-3x^2 y^2 )=-1/y cos⁡〖x/y〗+〖ye〗^xy+2xy^3=>
y^=(-1/y cos⁡〖x/y〗+〖ye〗^xy+2xy^3)/(-x/y^2 cos⁡〖x/y〗-xe^xy-3x^2 y^2 )=(1/y cos⁡〖x/y〗-〖ye〗^xy-2xy^3)/(x/y^2 cos⁡〖x/y〗+xe^xy+3x^2 y^2 )
Задание 6
Исследовать на экстремум функцию: z=x^3+y^3-3xy
Решение:
1) найдем частные производные функции, приравняем к нулю и найдем критические точки функции:
{█(∂z/∂x=3x^2-3y=0@∂z/∂y=3y^2-3x=0)┤=>{█(y=x^2@x^4-x=0)┤=>[█({█(y=x^2@x=0)┤@{█(y=x^2@x^3-1=0)┤ )┤=>[█({█(y=0@x=0)┤@{█(y=1@x=1)┤ )┤
Функция имеет две критические точки M_1 (0;0),M_2 (1;1)
2) найдем вторые производные и исследуем функцию в критических точках на экстремум:
A=(∂^2 z)/(∂x^2 )=6x,C= (∂^2 z)/(∂y^2 )=6y, B=(∂^2 z)/∂x∂y=-3
Для точки M_1: A=0,B=-3,C=0 ∆=|■(0&-3@-3&0)|=0-9=-9<0 => функция не имеет экстремума в точке M_1 (0;0)
Для точки M_2: A=6>0,B=-3,C=6 ∆=|■(6&-3@-3&6)|=36-9=25>0 => функция имеет минимум в точке M_2 (1;1)
Задание 7
Найти неопределенные интегралы. Результат проверить дифференцированием
а)
∫▒(x-x^3)/√(9-x^4 ) dx=∫▒xdx/√(9-x^4 )+∫▒(x^3 dx)/√(9-x^4 )=1/2 ∫▒(d(x^2))/√(9-(x^2 )^2 )-1/4 ∫▒(d(9-x^4))/√(9-x^4 )=1/2 arcsin (x^2/3)+1/2 √(9-x^4 )+C
Проверка:
(1/2 arcsin (x^2/3)+1/2 √(9-x^4 )+C)^=1/2∙2x/3∙1/√(1-(x^4/9)^2 )+1/2∙1/2∙(-4x^3 )∙1/√(9-x^4 )=(x-x^3)/√(9-x^4 )
б)
∫▒dx/∛(e^(x+2) )=∫▒〖〖(e〗^(x+2))〗^(-1/3) dx=-3∫▒e^((x+2)/(-3)) d((x+2)/(-3))=-3e^((x+2)/(-3))+C
Проверка:
(-3e^((x+2)/(-3))+C)^=-3∙(-1/3) e^((x+2)/(-3))=1/∛(e^(x+2) )
Задание 8
Вычислить неопределенный интеграл:
∫▒〖(x^4-x^3+x^2+x-10)/(x^2-4)(x+2) dx〗
выделим целую часть и разложим подынтегральное выражение на сумму простых дробей методом неопределенных коэффициентов:
(x^4-x^3+x^2+x-10)/(x^2-4)(x+2) =x-3+ (11x^2-3x-34)/(x^2-4)(x+2) =x-3+ A/(x-2)+B/(x+2)+C/(x+2)^2
A(x+2)^2+B(x^2-4)+C(x-2)=11x^2-3x-34=>
{█(A+B=11@4A+C=-3@4A-4B-2C=-34)=>{█(A=1/4@B=43/4@C=-4)┤ ┤
∫▒〖(x^4-x^3+x^2+x-10)/(x^2-4)(x+2) dx〗=∫▒(x-3+1/4(x-2) +43/4(x+2) -4/(x+2)^2 )dx=
=1/2 x^2-3x+1/4 ln⁡〖(x-2)〗+43/4 ln⁡〖(x+2)〗+4/(x+2)+C

Задание 9
Вычислить определенный интеграл:
а)
∫_0^(π/9)▒xdx/cos^2⁡3x =|█(u=x,du=dx@dv=dx/cos^2⁡3x v=1/3 tg(3x) )|=1/3 x∙tg(3x)|█(π/9@0)┤-1/3 ∫_0^(π/9)▒〖tg 3x〗 dx=
=1/3 x∙tg(3x)|█(π/9@0)┤-1/3 ∫_0^(π/9)▒sin⁡3x/cos⁡3x dx=1/3 x∙tg(3x)|█(π/9@0)┤-1/3 ∫_0^(π/9)▒sin⁡3x/cos⁡3x dx==1/3 x∙tg(3x)|█(π/9@0)┤+1/9 ln⁡cos⁡3x |█(π/9@0)┤=1/27(√3 π-ln⁡8)
б)
∫_0^(√2/2)▒(x^4 dx)/√((1-x^2 )^3 )=|█(x=sin⁡u,dx=cos⁡〖u du〗@(1-x^2 )^(3/2)=(cos⁡u )^3@u=arcsin⁡x )|=∫▒〖sin^2⁡u tg^2 udu〗=∫▒〖sin^2⁡u (1/cos^2⁡u -1)du〗=
=∫▒〖tg^2 udu〗-∫▒〖sin^2⁡u du〗=∫▒〖1/cos^2⁡u du〗-∫▒du-∫▒〖(1-cos⁡2u)/2 du〗=tg u-u-1/2 u+1/4 sin⁡2u=
=-3/2 u+tg u+1/4 sin⁡2u=-3/2 arcsin⁡x+tg (arcsin⁡x )+1/4 sin⁡2(arcsin⁡x )=1/2 x√(1-x^2 )+x/√(1-x^2 )-3/2 arcsin⁡x |█(√2/2@0)┤=5/4-3π/8
Задание 10
Вычислить определенный интеграл:
∫_(π/3)^(π/2)▒dx/(sin^2⁡x (1-cos⁡〖x)〗 )=|█(t=tg x/2 dx=2dt/(t^2+1)@sin⁡x=2t/(t^2+1) cos⁡x=〖1-t〗^2/(t^2+1))|=∫▒〖(t^2+1)/(2t^2 (1-〖1-t〗^2/(t^2+1)) ) dt〗=
=∫▒〖(t^2+1)^2/(4t^4 ) dt〗=1/4 (∫▒1/t^4 dt+∫▒〖2/t^2 dt〗+∫▒dt)=1/4 (-1/(3t^3 )-2/t+t)==-1/12 ctg^3 (x/2)-1/2 ctg(x/2)+1/4 tg (x/2)|█(π/2@π/3)┤=2/√3-1/3
Задание 11
Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость
а)
∫_(1/2)^∞▒16dx/(π(4x^2+4x+5))
Подынтегральная функция непрерывна на интервале (1/2;∞), несобственный интеграл найдем по формуле: ∫_a^∞▒f(x)dx=lim┬(b→∞)⁡〖F(X)〗 |█(b@a)┤, тогда:
∫_(1/2)^∞▒16dx/π(4x^2+4x+5) =16/π ∫_(1/2)^∞▒dx/((2x+1)^2+4)=8/π ∫_(1/2)^∞▒d(2x+1)/((2x+1)^2+4)=lim┬(b→∞)⁡〖4/π arctg (2x+1)/2〗 |█(b@1/2)┤=
=4/π∙π/2-4/π∙π/4=2-1=1

б)
∫_0^∞▒〖x^2 e^(x^3 ) dx〗
Подынтегральная функция непрерывна на интервале (1/2;∞), несобственный интеграл найдем по формуле: ∫_a^∞▒f(x)dx=lim┬(b→∞)⁡〖F(X)〗 |█(b@a)┤, тогда:
∫_0^∞▒〖x^2 e^(x^3 ) dx〗=1/3 ∫_0^∞▒〖e^(x^3 ) d(x^3)〗=lim┬(b→∞)⁡〖e^(x^3 ) 〗 |█(b@0)┤=∞-1=∞
Интеграл расходится.

Задание 12
Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций y=ln⁡x,x=2,y=0, вокруг оси Oy.
Решение:
объем тела найдем по формуле: V=π∫_a^b▒〖f^2 (y)dy〗
Перейдем к обратной функции: y=ln⁡x=>x=e^y
Объем тела вращения найдем как разность объемов
тел вращения
V=V_1-V_2=π∫_0^ln⁡2▒〖2^2 dy〗-π∫_0^ln⁡2▒〖e^2y dy〗=
=π(4y-1/2 e^2y )|█(ln⁡2@0)┤=π(4 ln⁡2-0-1/2 e^ln⁡4 +1/2)=π(4ln⁡2-3/2)≈4,0 куб.ед.