Численное решение задачи Коши

Лабораторная работа по предмету «Алгебра»
Информация о работе
  • Тема: Численное решение задачи Коши
  • Количество скачиваний: 37
  • Тип: Лабораторная работа
  • Предмет: Алгебра
  • Количество страниц: 9
  • Язык работы: Русский язык
  • Дата загрузки: 2014-12-06 19:34:15
  • Размер файла: 67.53 кб
Помогла работа? Поделись ссылкой
Узнать стоимость учебной работы online!
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Решение задач
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Экзамен на сайте
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в ВАК
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Копирайтинг
  • Другое
Узнать стоимость
Информация о документе

Документ предоставляется как есть, мы не несем ответственности, за правильность представленной в нём информации. Используя информацию для подготовки своей работы необходимо помнить, что текст работы может быть устаревшим, работа может не пройти проверку на заимствования.

Если Вы являетесь автором текста представленного на данной странице и не хотите чтобы он был размешён на нашем сайте напишите об этом перейдя по ссылке: «Правообладателям»

Можно ли скачать документ с работой

Да, скачать документ можно бесплатно, без регистрации перейдя по ссылке:

Лабораторная работа № 6.

Численное решение задачи Коши.


Основные понятия.

Уравнения первого порядка имеют вид , где f(x,y) – непрерывная функция в области D от x,y.
Пусть точка M0(x0,y0) принадлежит области D.

Задача Коши:

Найти такое решение y=y(x) этого уравнения, которое удовлетворяет условию y(x0)= y0, т.е. найти ту интегральную кривую, которая проходит через точку M0.


Постановка задачи Коши при численном решении дифференциальных уравнений.

Пусть дано и . Требуется найти приближённое решение поставленной задачи на отрезке [a,b], где a=x0.
y

| | | | | | x
a=x0 b
Разбиваем отрезок [a,b] равноотстоящими точками , где – шаг разбиения.
Ищем приближённое значение решения задачи Коши в точках .
Если найдено, то следующие значение получаем по формуле . в каждом методе находится по формулам, соответствующим выбранному методу.









… …



Решение получаем в виде таблицы









Метод Эйлера.


В методе Эйлера:
Рассмотрим метод Эйлера:
Пусть – точное решение задачи Коши.
В точке .
Известно, что - угловой коэффициент касательной к интегральной кривой y(x) в точке .
y



y(x)

h





x



С другой стороны:
Тогда:
Таким образом, вместо искомой интегральной кривой на отрезке , рассмотрим отрезок касательной к в точке .В случае небольшого шага график функции и график касательной не успевают существенно разойтись друг от друга и можно в качестве значения решения в принять значение касательной вместо значения неизвестного точного решения. В результате многократного повторения этого действия на каждом отрезке , получаем ломанную (см. рис.).


Метод Эйлера является простейшим методом и даёт грубое приближение. Более того, этот метод даёт систематическое отклонение искомого решения при переходе от одного шага к следующему. Наиболее приемлемым для практики методом оценки точности является в данном случае способ двойного счета – с шагом и с шагом .



ПРИМЕР 1.
Изучить работу метода Эйлера на отрезке [0,2] на примере задачи Коши вида

С этой целью найти точное решение задачи средствами Maple и приближенное решение с шагом 0.1, 0.02, 0.01.
Результаты сравнить графически. Сделать выводы.
Решение.
> restart:with(plots):
1. Зададим массивы для численного решения
> y1:=array(1..200,[]);x1:=array(1..200,[]);


Зададим правую часть дифференциального уравнения.
> f:=(x,u)->2*x*u;

Зададим дифференциальное уравнение.
> ode:=diff(y(x),x)=f(x,y(x));

Зададим начальное условие.
> iq:=y(0)=1;

Найдем точное решение дифференциального уравнения.
> dsolve({ode,iq},y(x));

Зададим выражение для построения графика.
> f1:=plot(exp(x^2),x=0..2,y=0..20):
Найдем приближенное решение с шагом 0.1 по формулам

и

> h:=.1;y1[1]:=1:x1[1]:=0:

> for i from 1 to 20 do y1[i+1]:=y1[i]+h*f(x1[i],y1[i]):x1[i+1]:=x1[i]+h:end do:
Зададим выражение для построения графика решения
> l := [[ x1[m], y1[m]] $m=1..20]:f2:=plot(l,x=0..2,y=0..20,style=point,symbol=circle,color=black):
Найдем приближенное решение с шагом 0.02 и получим выражение для построения графика.
> h:=.02;y1[1]:=1:x1[1]:=0: for i from 1 to 100 do y1[i+1]:=y1[i]+h*f(x1[i],y1[i]):x1[i+1]:=x1[i]+h:end do: l := [[ x1[m1], y1[m1]] $m1=1..100]:
f3:=plot(l,x=0..2,y=0..20,style=point,symbol=circle,color=blue):

Найдем приближенное решение с шагом 0.01 и получим выражение для построения графика.
> h:=.01;y1[1]:=1:x1[1]:=0: for i from 1 to 199 do y1[i+1]:=y1[i]+h*f(x1[i],y1[i]):x1[i+1]:=x1[i]+h:end do: l := [[ x1[m1], y1[m1]] $m1=1..200]:
f4:=plot(l,x=0..2,y=0..20,style=point,symbol=circle,color=green):

Построим графики всех решений.
> plots[display]({f1,f2,f3,f4});


Выводы:
1. Решение с большим шагом может приводить к большим погрешностям;
2. Уменьшение шага на порядок приводит к резкому уменьшению погрешности результатов.
3. Для достаточно малого шага отличие точного и приближенного решений незначительное.

Модифицированный метод Эйлера

Существует несколько модификаций метода Эйлера, которые дают более точные приближения искомого решения. Рассмотрим один из них.

Пусть дано и отрезок , , – шаг разбиения.
Вычисления проводят по схеме

Рассмотрим геометрический смысл



Сначала с шагом находим yi+h/2 т.е. точку (xi+h/2 , y i+h/2) (как в методе Эйлера). Определяем в этой точке новое направление . Затем проводим отрезок из точки Mi именно в этом новом направлении в точку Mi+1
Точность полученного метода примерно в 3 раза выше обычного метода Эйлера.



ПРИМЕР 2.

На примере предыдущего задания изучить работу модифицированного метода Эйлера, сравнивая точное решение задачи с приближенным, подсчитанным соответственно с шагом h=0.2, 0.1, 0.05.
Решение.
> restart: with(plots):

Зададим массивы для численного решения
> y1:=array(1..200,[]);x1:=array(1..200,[]);


Зададим правую часть дифференциального уравнения.
> f:=(x,u)->2*x*u;

Зададим дифференциальное уравнение.
> ode:=diff(y(x),x)=f(x,y(x));

Зададим начальное условие.
> iq:=y(0)=1;

Найдем точное решение дифференциального уравнения.
> dsolve({ode,iq},y(x));
f1:=plot(exp(x^2),x=0..2,y=0..20):

Найдем приближенное решение с шагом 0.2, по формулам

и

> h:=.2;y1[1]:=1:x1[1]:=0:

> for i from 1 to 20 do y1[i+1]:=y1[i]+h*f(x1[i]+h/2,y1[i]+f(x1[i],y1[i])*h/2):x1[i+1]:=x1[i]+h:end do:
Зададим выражение для построения графика решения
> l := [[ x1[m], y1[m]] $m=1..20]:
f2:=plot(l,x=0..2,y=0..20,style=point,symbol=circle,color=black):
Аналогично найдем приближенное решение с шагом 0.1и получим выражение для построения графика.
> h:=.1;y1[1]:=1:x1[1]:=0: for i from 1 to 100 do y1[i+1]:=y1[i]+h*f(x1[i]+h/2,y1[i]+f(x1[i],y1[i])*h/2):x1[i+1]:=x1[i]+h:end do: l := [[ x1[m1], y1[m1]] $m1=1..100]:
f3:=plot(l,x=0..2,y=0..20,style=point,symbol=circle,color=blue):

Найдем приближенное решение с шагом 0.05 и получим выражение для построения графика.
> h:=.05;y1[1]:=1:x1[1]:=0: for i from 1 to 199 do y1[i+1]:=y1[i]+h*f(x1[i]+h/2,y1[i]+f(x1[i],y1[i])*h/2):x1[i+1]:=x1[i]+h:end do: l := [[ x1[m1], y1[m1]] $m1=1..200]:
f4:=plot(l,x=0..2,y=0..20,style=point,symbol=circle,color=green):

Построим графики всех решений.
> plots[display]({f1,f2,f3,f4});





Метод Рунге-Кутта.

Метод Рунге – Кутта четвертого порядка является одним из самых широко используемых методов решения задачи Коши.

Пусть дано и отрезок , , – шаг разбиения.

Вычисления проводят по схеме:

Для оценки погрешности решения при переходе от точки xi к точке xi+1 выбирают значение шага h и дважды рассчитывают решение в точке xi+1 : один раз с шагом h, другой раз – с шагом 2h . Рассчитывается величина
и сравнивается с заданной погрешностью . Если , то можно продолжить вычисления с тем же шагом, в противном случае необходимо вернуться к решению в точке xi,уменьшив шаг и повторить вычисления.
В Maple 6 реализован метод Рунге – Кутта 4 порядка method=rkf45 (установлен по умолчанию). Для того, чтобы найти численное решение задачи Коши или краевой задачи в команде dsolve следует указать параметр numeric . Тогда команда решения дифференциального уравнения будет иметь вид
ode:= dsolve(eq,vars, type=numeric, method=rkf45): где eq - уравнения, vars - список неизвестных функций. График численного решения можно построить с помощью команды odeplot(ode,[x,y(x)],x1..x2);
ПРИМЕР 3.

на отрезке [0,2]
Решение.

> restart:with(plots):
Warning, the name changecoords has been redefined

 ode:=dsolve({diff(y(x),x)=2*x*y(x),y(0)=1},y(x),numeric);

В строке вывода появилось сообщение о том, что при решении использован метод Рунге – Кутта (rkf45) . Если требуется получить решение при фиксированном значении x, например, при x=0,1, то следует набрать:

> ode(.1);

Построим график численного решения

 odeplot(ode,[x,y(x)],0..2);




КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ 1.
Решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка методом Эйлера и модифицированным методом Эйлера на отрезке[0,2;1,2] с шагом 0,1 при начальном условии y(0,2)=0,25. Построить графики решений.
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ 2.
Решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка методом Рунге-Кутта четвертого порядка на отрезке[0,2;1,2] при начальном условии y(0,2)=0,25
1) используя в Maple 6 method=rkf45. Построить график решения.
2) Оценить погрешность решения в точке х=1,2.
Замечание.
Условие вашего задания получить у преподавателя.