Метод конечных элементов

Лабораторная работа по предмету «Информатика»
Информация о работе
  • Тема: Метод конечных элементов
  • Количество скачиваний: 19
  • Тип: Лабораторная работа
  • Предмет: Информатика
  • Количество страниц: 22
  • Язык работы: Русский язык
  • Дата загрузки: 2015-02-25 01:43:31
  • Размер файла: 364.71 кб
Помогла работа? Поделись ссылкой
Ссылка на страницу (выберите нужный вариант)
  • Метод конечных элементов [Электронный ресурс]. – URL: https://www.sesiya.ru/laboratornaya-rabota/informatika/1383-metod-konechnyh-elementov/ (дата обращения: 16.04.2021).
  • Метод конечных элементов // https://www.sesiya.ru/laboratornaya-rabota/informatika/1383-metod-konechnyh-elementov/.
Есть ненужная работа?

Добавь её на сайт, помоги студентам и школьникам выполнять работы самостоятельно

добавить работу
Обратиться за помощью в подготовке работы

Заполнение формы не обязывает Вас к заказу

Информация о документе

Документ предоставляется как есть, мы не несем ответственности, за правильность представленной в нём информации. Используя информацию для подготовки своей работы необходимо помнить, что текст работы может быть устаревшим, работа может не пройти проверку на заимствования.

Если Вы являетесь автором текста представленного на данной странице и не хотите чтобы он был размешён на нашем сайте напишите об этом перейдя по ссылке: «Правообладателям»

Можно ли скачать документ с работой

Да, скачать документ можно бесплатно, без регистрации перейдя по ссылке:

Московский Государственный Технический Университет
имени Н.Э. Баумана
Факультет «Робототехника и комплексная автоматизация»
Кафедра «Системы автоматизированного проектирования»





Лабораторная работа №2
«Метод конечных элементов»
по курсу
«Модели и методы анализа проектных решений»
Вариант 37




Выполнил: студент Каргин А.А.
группа РК6-102 (109)
Проверил: к.т.н., доцент Трудоношин В.А.





Москва, 2013 г
Оглавление
1. Задание 3
2. Получение локальной матрицы жесткости и вектора нагрузок для конечных элементов 3
2.1. Линейный конечный элемент 3
2.2. Кубический конечный элемент 7
3. Аналитический расчет 13
4. Описание интерфейса программы 15
5. Сравнение погрешностей метода при использовании линейной и кубической функций формы 16
6. Приложение. Расчет коэффициентов кубического конечного элемента в MathCAD 17


1. Задание
Методом конечных элементов решить уравнение:

при следующих граничных условиях: и
количество конечных элементов для:
• первого расчёта — 20
• второго расчёта — 40
Сравнить результат с аналитическим решением, оценить максимальную погрешность.
2. Получение локальной матрицы жесткости и вектора нагрузок для конечных элементов
2.1. Линейный конечный элемент
В качестве функции формы возьмем функцию вида
Из граничных условий (x = 0, x = L) для данной функции получим следующую систему уравнений с двумя неизвестными и :

Откуда , а
или же , где , .
Далее решение сводится к общему решению следующего уравнения:
, где — весовые функции.
Для их выбора используем метод Петрова-Бубнова-Галеркина, где в качестве весовых функций берутся глобальные базисные функции. Ими являются коэффициенты перед узловыми значениями в выражении аппроксимации решения. В соответствии с вышесказанным приходим к следующему уравнению:
Разобьем исходный интеграл на три и решим их по отдельности.
1. 1-й интеграл

2. 2-й интеграл

3. 3-й интеграл

Просуммировав полученные результаты, получим следующий вид данного уравнения:

или

В результате, при разбиении объекта на n конечных элементов и при подстановке граничных условий мы будем иметь систему из n уравнений с n неизвестными:

Нам известны граничные условия для U(0) и U(12), поэтому мы можем перенести их из матрицы жесткости в вектор нагрузок (удаляем соответствующие столбцы из матрицы жесткости и переносим их в вектор нагрузок). Значения производных и нам не известны, поэтому перенесем их в вектор неизвестных, дополнив матрицу жесткости соответствующими столбцами. Модифицированная СЛАУ примет вид:

2.2. Кубический конечный элемент

В качестве функции формы возьмем функцию вида:

Из граничных условий (x = 0, x = , x = , x = L) для данной функции получим следующую систему уравнений с четырьмя неизвестными , , , .
Далее большинство расчетов будет проводиться в MathCAD.

Решаем систему:
,
,
,
.
Приводим подобные слагаемые:
, где
,
,
,
.
Иными словами , где , .
Далее решение сводится к общему решению следующего уравнения:

Разобьем исходный интеграл на три и решим их по отдельности.

1. 1-й интеграл


2. 2-й интеграл


3. 3-й интеграл

Просуммировав полученные результаты, получим следующий вид данного уравнения:

В ансамблировании участвуют только крайние узлы, поэтому с помощью прямого хода метода Гаусса обнуляем в уравнениях этих узлов коэффициенты перед и .
























Таким образом, переменные и можно исключить. Получим:

Видно, что по структуре наша СЛАУ ничем не отличается от СЛАУ линейного конечного элемента, полученной выше, поэтому при разбиении объекта на n конечных элементов мы получим следующую итоговую СЛАУ:

Чтобы найти и , решим следующую систему:










,
.
3. Аналитический расчет
; граничные условия: , .
1) Решим ОДУ

Характеристическое уравнение:

2) Найдем частное решение НДУ
ЧР НДУ будем искать в виде
Найдем A, подставив в исходное ДУ

3) Найдем общее решение НДУ

4) Определение констант
Используя граничные условия, получаем следующую СЛАУ:





5) Решение НДУ

4. Описание интерфейса программы
Окно программы включает в себя:
• поле визуализации решений, в котором горизонтальная черта указывает на минимальное значение на данном интервале, а вертикальная – на левую границу интервала.
• область опций, в которой можно указать количество конечных элементов, функцию формы (линейная или квадратичная), отметить, что следует отображать (численное, аналитическое решения).
• поле вывода, которое будет показывать максимальное отклонение численного решения от аналитического.
Для работы программы необходимо выбрать функцию формы конечного элемент, указать их количество и нажать кнопку «Расчет». По завершении расчета будут отображены желаемые графики. По вертикальной оси будут зафиксированы максимальное и минимальное значения, по горизонтальной – границы рассматриваемой области.

5. Сравнение погрешностей метода при использовании линейной и кубической функций формы



Как оказывается, полученная зависимость практически линейна, хотя можно заметить даже слабый экспоненциальный эффект. В любом случае, уже первый шаг показал, что количество линейных КЭ более чем в 10 раз превышает количество кубических КЭ, а значит, использование последних для решения данной задачи значительно повышает эффективность вычислений.


6. Приложение. Расчет коэффициентов кубического конечного элемента в MathCAD




















































А н с а м б л и р о в а н и е








A(L) - м а т р и ц а ж е с т к о с т и

2 и т е р а ц и и п р я м о г о х о д а м е т о д а Г а у с с а



G(L) - м а т р и ц а ж е с т к о с т и р а з м е р н о с т ь ю N x N+1.
С п р а в а д о б а в и л и с т о л б е ц с в о б о д н ы х п е р е м е н н ы х














k - с ч е т ч и к и т е р а ц и й
Gauss(M) - п о л ь з о в а т е л ь с к а я ф у н к ц и я д л я в ы п о л н е н и я и т е р а ц и й п р я м о г о х о д а Г а у с с а
M - м а т р и ц а , н а д к о т о р о й н е о б х о д и м о п р о в е с т и k и т е р а ц и й п р я м о г о х о д а м е т о д а Г а у с с а
A - в с п о м о г а т е л ь н а я м а т р и ц а д л я п р е д о т в р а щ е н и я в о з н и к н о в е н и я о ш и б о к с н е д о п у с т и м ы м и н д е к с о м м а с с и в а

















С р а в н е н и е п о г р е ш н о с т е й м е т о д а
x - к о л -в о к у б и ч е с к и х К Э


y - к о л -в о л и н е й н ы х К Э