s
Sesiya.ru

Системы счисления, используемые в компьютере

Информация о работе

Тема
Системы счисления, используемые в компьютере
Тип Лабораторная работа
Предмет Информатика
Количество страниц 14
Язык работы Русский язык
Дата загрузки 2015-10-18 11:42:05
Размер файла 42.04 кб
Количество скачиваний 31
Скидка 15%

Поможем подготовить работу любой сложности

Заполнение заявки не обязывает Вас к заказу


Скачать файл с работой

Помогла работа? Поделись ссылкой

Лабораторная работа №2

Тема: «Системы счисления, используемые в компьютере»

 

Основные понятия

Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемыми цифрами.

Системы счисления делятся на непозиционные и позиционные.

 

Непозиционные системы счисления

Непозиционная система счисления – система счисления, в которой значение цифры не зависит от ее позиции в записи числа. Примеры непозиционных систем счисления: унарная (единичная) система счисления, римская система счисления, алфавитная система счисления.

Унарная (единичная) система счисления характеризуется тем, что в ней для записи чисел применяется только один вид знаков – палочка. Каждое число в этой системе счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых равнялось обозначаемому числу. Неудобства такой системы счисления очевидны: это громоздкость записи больших чисел, значение числа сразу не видно, чтобы его получить, нужно сосчитать палочки.

В римской системе счисления для обозначения чисел используются заглавные латинские буквы, являющиеся «цифрами» этой системы счисления:

1

5

10

50

100

500

1000

I

V

X

L

C

D

M

Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд «цифр». Значение числа равно:

1.  сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых «цифр» (назовем их группой первого вида);

2.  разности значений большей и меньшей «цифр», если слева от большей «цифры» стоит меньшая (группа второго вида);

3.  сумме значений групп и «цифр», не вошедших в группы первого и второго видов.

Примеры.

1. Число 32 в римской системе счисления имеет вид:

XXXII = (X+X+X)+(I+I) =30+2 (две группы первого вида)

2. Число 444 в римской системе счисления имеет вид:

CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) (= 400 + 40 + 4 – три группы второго вида)

3.  Число 1974:

MCMLXXIV = M+(M-C)+L+(X++X)+(V-I) = 1000+900+50+20+4 (наряду с группами обоих видов в формировании числа участвуют отдельные «цифры»)

4.  Число 2005:

MMV = (M+M) +V = 1000+1000+5 (две группы первого вида)

 

Позиционные системы счисления

Позиционные системы счисления характеризуется тем, что количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе. Каждая позиционная система счисления имеет определенный алфавит цифр и основание, равное количеству цифр (знаков в ее алфавите).

Наиболее распространенными позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная.

Десятичная система счисления имеет алфавит из десяти цифр: 0,1,…,9.

Двоичная система счисления имеет алфавит из двух цифр: 0,1.

Например, в числе 198710 цифра «1» обозначает одну тысячу (1*103),

цифра «9» обозначает девять сотен (9*102),

цифра «8» обозначает восемь десятков (8*101),

цифра «7» обозначает семь единиц (7*100).

В общем виде, если запись числа в системе счисления с основанием n>1 выглядит как abcd, то само число равно значению выражения an3+bn2+cn1+dn0.

 

Перевод целого числа из двоичной системы счисления в десятичную

Пример.

1012 = 1*22 + 0*21 + 1*20  = 1*4 + 0 +1 = 510

 

Перевод целого числа из десятичной системы счисления в двоичную.

Алгоритм

1. Последовательно выполнить деление исходного целого десятичного числа и получаемых целых частных на основание системы (на 2) до тех пор, пока не получится частное, меньшее делителя (т.е. меньшее 2).

2. Записать полученные остатки в обратной последовательности.

 

Пример.                       Решение.

 

32510 = 1010001012

325

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-324

162

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

-162

81

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

-80

40

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

-40

20

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

-20

10

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

-10

5

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

-4

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

-2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

Перевод дробного числа из двоичной системы счисления в десятичную.

Пример.

111,012  = 1*22 + 1*21 + 1*20  + 1*2-1 + 1*2-2  = 1*4 + 1*2 +1+ 0*+1* =

 = 4+2+1+0,5+0,25 = 7,7510

 

Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную.

Алгоритм.

1.  Последовательно умножать (в исходной системе счисления) данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы (на 2) до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или будет достигнута требуемая точность представления данного числа.

2.  Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами в числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

3.  Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

Пример.

0,562510  = 0,10012.

Решение.

0,

5625

 

х

2

1

1250

 

х

2

0

2500

 

х

2

0

5000

 

х

2

1

0000

       

 

Арифметические операции в двоичной и кратных ей системах счисления.

Арифметические операции в позиционных системах счисления производится по единому алгоритму. Так, сложение двоичных чисел происходит по классическому алгоритму «столбиком» с переносом числа, кратного двум, единицей в следующий разряд.

Рассмотрим этот алгоритм на примере двух двоичных чисел 10101012 и 1101112:

Дописывание единицы

1

1

1

 

1

1

1

 

Первое слагаемое

 

1

0

1

0

1

0

1

Второе слагаемое

 

0

1

1

0

1

1

1

Сумма

1

0

0

0

1

1

0

0

Результат сложения выглядит как 100011002. Проверим результат сложения, для чего переведем все числа в десятичную систему счисления:

10101012=8510, 1101112=5510, 100011002=14010, 8510+5510=14010.

Двоичная система, являющаяся основой компьютерной арифметики, весьма громоздка и неудобна для использования человеком. Поэтому используют две кратные двоичной системы счисления: восьмеричную и шестнадцатеричную. В случае шестнадцатеричной системы арабских цифр не хватает, и в качестве цифр используются первые шесть заглавных букв латинского алфавита. Примеры записи натуральных чисел от 1 до 16 в четырех системах счисления помещены в Таблице 1.

 

Таблица 2. Примеры записи натуральных чисел от 1 до 16 в четырех системах счисления

10-чная

2-чная

8-чная

16-ичная

0

0

0

0

1

1

1

1

2

10

2

2

3

11

3

3

4

100

4

4

5

101

5

5

6

110

6

6

7

111

7

7

8

1000

10

8

9

1001

11

9

10

1010

12

А

11

1011

13

В

12

1100

14

С

13

1101

15

D

14

1110

16

E

15

1111

17

F

16

10000

20

10

Из Таблицы 1 видно, что в двоичной системе запись чисел второй восьмерки (от 8 до 15) отличается от записи первой восьмерки (от 0 до 7) наличием единицы в четвертом (справа) разряде. На этом основан алгоритм перевода двоичных чисел в восьмеричные «по триадам». Для применения этого алгоритма надо разбить двоичное число на тройки цифр (считая справа) и записать вместо каждой из троек восьмеричную цифру:

101011012 → 10 101 101 → 2558.

2    5    5

Крайняя левая тройка может быть неполной (как в примере), для получения полных троек можно приписать слева недостающие нули.

Убедимся в правильности алгоритма:

101011012  → 1*27+1*25+1*23+2*21+1*20=17310;

2558 →2*26+5*23+5*20=17310.

Для перевода чисел из восьмеричной системы в двоичную используется обратный алгоритм: восьмеричные цифры заменяются на тройки двоичных цифр (при необходимости слева дописываются недостающие нули):

3258 → 3    2    5 → 11 010 101 → 110101012.

 011 010 101

Для перевода чисел из двоичной системы в шестнадцатеричную используется алгоритм «по тетрадам». Строка двоичных цифр разбивается на четверки и вместо них записываются шестнадцатеричные цифры:

101011012 → 1010 1101 → AD16.

 А       D

Аналогично работает и обратный алгоритм: вместо шестнадцатеричных цифр подставляются четверки двоичных цифр.

Из восьмеричной системы в шестнадцатеричную и обратно проще переводить через двоичную систему:

D516→ D 5 →1101 0101 → 110101012 → 11 010 101 → 3258.

D       5                                  3       2     5

Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же правилам. Для проведения арифметических операций над числами, представленными в различных системах счисления, необходимо предварительно преобразовать их в одну систему счисления и учесть то, что перенос в следующий разряд при операции сложения и заем из старшего разряда при операции вычитания определяется величиной основания системы счисления. Лучше всего пользоваться той системой, в которой должен быть представлен результат.

Арифметические операции в двоичной системе счисления основаны на таблицах сложения, вычитания и умножения одноразрядных двоичных чисел.

При сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос единицы в старший разряд, при вычитании 0–1 производится заем из старшего разряда, в таблице «Вычитание» этот заем обозначен 1 с чертой над цифрой.

Сложение

 

Вычитание

 

Умножение

0+0

=

0

 

0-0

=

0

 

0·0

=

0

0+1

=

1

 

0-1

=

1

 

0·1

=

0

1+0

=

1

 

1-0

=

1

 

1·0

=

0

1+1

=

10

 

1-1

=

0

 

1·1

=

1

Пример. Сложить числа:

а) 10000000100(2)+ 111000010(2)= 10111000110(2);

б) 223,2(8)+ 427,54(8) = 652,74(8);

в) 3В3,6(16)+38В,4(16)=73Е,А(16).

 

10000000100

+

 

223,2

+

 

3В3,6

+

111000010

 

457,54

 

38В,4

10111000110

 

652,74

 

73Е,А

 

Пример. Выполнить вычитание:

а) 1100000011,011(2) - 101010111,1(2) = 110101011,111(2);

б) 1510,2(8) - 1230,54(8) = 257,44(8);

в) 27D,D8(16) - 191,2(16) = ЕС,В8(16).

1100000011,011

-

 

1510,20

-

 

27D,D8

-

101010111,100

 

1230,54

 

191,20

110101011,111

 

257,44

 

ЕС,В8

 

Пример. Выполнить умножение:

а) 100111(2)·1000111(2) = 101011010001(2);

б) 1170,64(8)·46,3(8) = 57334,134(8);

в) 61,А(16)·40,D(16) = 18В7,52(16).

100111

·

 

1170,64

·

 

61,А

·

1000111

 

46,30

 

40,D

              100111

            100111

          100111

100111

 

        3.55234

       732470

     474320

 

  4F52

  1868

101011010001

 

     57334,134

 

18В7,52

 

Задания.

Задание 1. Переведите числа в 2-ую систему счисления.

Вариант

число1

число2

число3

1

40010

5508

40A16

2

68910

3178

6B916

3

81510

5558

8A516

4

71110

1748

C1116

5

29010

4268

29D16

6

66810

5458

6F816

7

19010

7308

A9016

8

20310

5778

2B316

9

12010

4408

D2016

10

16710

6778

16A16

11

60510

5668

6C516

12

25710

2568

E5716

13

15710

3758

A5716

14

41510

2468

4B516

15

80610

4768

52816

16

52810

2358

80616

17

21910

1128

2D916

18

92210

3148

92216

19

17110

4438

DA116

20

26010

3518

D6016

21

11110

6238

1C116

22

61410

7778

61416

23

50710

2408

5B716

24

16210

3338

C6216

25

59110

2128

59D16

26

64410

2378

6F416

27

38010

1048

38E16

28

11010

7438

C1A16

29

32010

1028

32E16

30

44910

1328

B4916

 

Задание 2. Переведите числа в 8-ую систему счисления.

Вариант

число1

число2

число3

1

11101111012

38910

A2816

2

11010101102

58710

6B616

3

10110110002

63610

16816

4

10110000112

56010

46C16

5

10011110112

44310

D6316

6

10010110102

95010

1E416

7

10001001112

78110

13F16

8

01111110002

56810

93116

9

01111011102

82210

1A416

10

01110100012

26610

64616

11

01110011102

18810

8B516

12

01100001102

20310

23C16

13

01011100102

98610

99016

14

01010101002

51910

D3916

15

01010000102

32710

2E916

16

01001110112

23410

47F16

17

00110101002

42110

A3816

18

00110100102

10410

68B16

19

00110011012

94810

C2916

20

00101110102

37510

57D16

21

00100111102

18610

33F16

22

00100110012

15610

8E416

23

00100011002

47210

AB716

24

00100010012

55510

18C16

25

00100010002

21810

5E716

26

00100001002

44210

84A16

27

00011110112

12910

F4716

28

00011101112

13510

6D316

29

00011101012

26210

85C16

30

00011011102

95310

A2C16

 

Задание 3. Переведите числа в 10-ую систему счисления.

Вариант

число1

число2

число3

1

10110000112

1748

D6316

2

10001001112

2468

8B516

3

01110100012

5508

D3916

4

01111011102

4768

68B16

5

01100001102

5668

AB716

6

10011110112

2378

6D316

7

00011110112

4438

C2916

8

01001110112

3518

47F16

9

00100011002

7438

A2816

10

00110011012

3148

A3816

11

00011011102

5558

1E416

12

01111110002

7778

85C16

13

00110100102

3338

33F16

14

00011101012

6778

F4716

15

00100010002

5458

18C16

16

00100111102

1048

16816

17

01010101002

6238

A2C16

18

01010000102

2568

6B616

19

10010110102

3178

1A416

20

01011100102

4268

84A16

21

00101110102

1028

93116

22

00100010012

1128

5E716

23

10110110002

7308

64616

24

00100001002

5778

46C16

25

01110011102

1328

13F16

26

00110101002

4408

23C16

27

00100110012

3758

8E416

28

11010101102

2358

99016

29

11101111012

2128

2E916

30

00011101112

2408

57D16

Задание 4. Переведите числа в 16-ую систему счисления.

Вариант

число1

число2

число3

1

00100000012

7778

43310

2

00111100112

1358

16610

3

00011111112

1408

12510

4

01010111002

1148

28710

5

11101011102

1178

14710

6

00101011112

1658

11910

7

00011110102

5368

18910

8

01100100102

7178

33810

9

00101011012

6568

32710

10

00011101012

3148

17410

11

00011010102

1068

18710

12

00111101102

1208

72510

13

00100111102

2768

58910

14

00011101112

2218

28310

15

10110011112

1508

13710

16

01001111002

1468

11310

17

01111100112

1618

10610

18

00011001012

5748

45910

19

10001001002

1568

59610

20

01000001002

1028

83310

21

00100100002

6368

29410

22

10010001012

7238

33710

23

00110110002

7228

71410

24

01000000102

2028

16210

25

00100011012

2178

69210

26

00101010102

2748

85710

27

01010001012

1058

25410

28

00011011102

6218

15910

29

10011011002

1758

14110

30

00100001112

6678

57110

 

Задание 5. Записать результат сложения двух чисел в 2-ой системе счисления.

Вариант

число1

число2

1

981,1910

140,638

2

688,4810

344,048

3

339,4710

323,068

4

909,2410

177,338

5

412,8510

227,368

6

506,1610

675,638

7

169,7410

636,758

8

480,9010

102,618

9

181,0510

145,628

10

112,5110

154,038

11

135,6710

371,548

12

937,4510

275,208

13

635,0610

137,248

14

125,9410

171,848

15

213,5310

542,028

16

198,9310

134,128

17

307,4910

125,228

18

572,3210

230,768

19

977,6410

671,638

20

446,8010

507,078

21

182,0910

456,358

22

372,6410

265,508

23

229,2810

624,358

24

266,6210

104,348

25

701,6710

155,678

26

487,5910

434,438

27

182,4710

171,148

28

116,8510

465,648

29

227,5610

274,358

30

669,8810

634,548

 

Задание 6. Записать результат сложения двух чисел в 10-ой системе счисления.

Вариант

число1

число2

1

0101011001002

140,9316

2

0101001001112

3A8,0816

3

0011100011102

39B,0616

4

1001000000102

177,C316

5

0110111111002

2D7,8616

6

0001100001102

68E,6316

7

0000000101002

F36,7916

8

0001100101102

10C,6116

9

0101111111112

185,D216

10

0000110111012

15A,0316

11

0101010111112

B71,5416

12

0011010010002

279,C016

13

0000110100012

1D7,2816

14

0010111100112

179,E416

15

0001011101112

54F,0216

16

0101010000102

134,A916

17

0101110010012

82B,2216

18

0000001000002

230,7C16

19

0111010011102

6D1,6316

20

0100101110012

508,E816

21

0011000011112

8F6,3516

22

0011000000002

268,5D16

23

0000011011002

624,9816

24

0011110100102

1A4,3416

25

0011110001002

155,B716

26

1001010011002

4C4,4316

27

0011010001112

191,1D16

28

0001000000012

4E9,9416

29

0000101110002

274,F516

30

0000101010002

A38,5416

 

Задание 7. Записать разность двух чисел в 8-ой системе счисления.

Вариант

число1

число2

1

0011100011102

169,7410

2

0011000011112

480,9010

3

0101011001002

181,0510

4

0000000101002

112,5110

5

0111010011102

135,6710

6

0100101110012

937,4510

7

0101001001112

182,0910

8

0000110100012

981,1910

9

0010111100112

688,4810

10

0001011101112

339,4710

11

0101010000102

909,2410

12

0101110010012

412,8510

13

0000001000002

506,1610

14

0011110001002

372,6410

15

1001010011002

229,2810

16

0001100101102

266,6210

17

0101111111112

446,8010

18

1001000000102

116,8510

19

0011000000002

227,5610

20

0000011011002

669,8810

21

0011110100102

701,6710

22

0000110111012

487,5910

23

0101010111112

182,4710

24

0011010010002

635,0610

25

0110111111002

125,9410

26

0001100001102

213,5310

27

0000101110002

198,9310

28

0000101010002

307,4910

29

0011010001112

572,3210

30

0001000000012

977,6410

 

Задание 8. Записать разность двух чисел в 16-ой системе счисления.

Вариант

число1

число2

1

0000011101012

434,438

2

0000101010002

171,148

3

0001111101102

140,638

4

0010110000102

344,048

5

0001111111002

323,068

6

0001101001012

177,338

7

0000111001012

227,368

8

0011110000002

675,638

9

0000100100112

636,758

10

0010111010002

137,248

11

0011011110112

171,848

12

0000100010112

542,028

13

0000111011012

134,128

14

0000010011002

125,228

15

0001011001112

634,548

16

1000000111102

102,618

17

0000100100002

145,628

18

0101011100012

154,038

19

0010100010112

371,548

20

0001011110102

275,208

21

0010100101102

230,768

22

0000111110002

671,638

23

0001100000002

507,078

24

0010000100012

456,358

25

0000001101112

265,508

26

0100111001012

624,358

27

1001110110012

104,348

28

0010010010002

155,678

29

0011111100012

465,648

30

0011101100002

274,358

 

Задание 9. Записать результат умножения двух чисел в 2-ой системе счисления.

Вариант

число1

число2

1

242,9610

F36,7916

2

223,8310

10C,6116

3

581,0710

185,D216

4

424,6110

15A,0316

5

202,9210

140,9316

6

113,0810

3A8,0816

7

126,3510

39B,0616

8

815,2510

82B,2216

9

366,6110

230,7C16

10

586,1110

6D1,6316

11

153,4110

508,E816

12

140,0710

8F6,3516

13

186,7710

268,5D16

14

454,1910

155,B716

15

652,0710

4C4,4316

16

103,3210

177,C316

17

220,6310

2D7,8616

18

279,0410

68E,6316

19

733,6610

191,1D16

20

364,5310

4E9,9416

21

144,0010

274,F516

22

612,3410

A38,5416

23

323,5010

B71,5416

24

661,5810

279,C016

25

146,1110

1D7,2816

26

248,0910

179,E416

27

761,6310

624,9816

28

178,1710

1A4,3416

29

162,9710

54F,0216

30

626,4410

134,A916

 

 

Задание 10. Записать результат умножения двух чисел в 10-ой системе счисления.

Вариант

число1

число2

1

103,328

14A,0716

2

113,058

186,B716

3

126,358

454,1916

4

136,778

364,5316

5

140,078

144,DD16

6

144,558

6C2,3416

7

146,118

242,9616

8

153,418

223,E316

9

162,778

581,0716

10

173,178

761,6316

11

202,728

178,F716

12

220,638

652,0716

13

223,338

163,3216

14

242,768

4A4,6116

15

243,048

202,9216

16

277,048

113,B816

17

315,418

323,5C16

18

323,508

661,5816

19

364,538

146,1116

20

366,618

248,D916

21

424,618

126,3516

22

454,178

8E5,2516

23

531,078

366,6116

24

536,118

162,F716

25

612,348

626,4416

26

626,448

5F6,1116

27

652,078

153,B116

28

661,548

220,6316

29

733,668

279,C416

30

761,638

7A3,6616

 

Контрольные вопросы.

1. Какие системы счисления называют позиционными, а какие — непозиционными? Приведите примеры.

2. Что называется основанием системы счисления?

3. Почему для вычислительной техники особенно важна система счисления по основанию 2?

4. Почему произошел переход от двоичных к шестнадцатеричным обозначениям в архитектуре ЭВМ?

5. Какие способы перевода целых десятичных чисел в двоичные и обратно Вы знаете?

6. Каковы правила выполнения арифметических операций над числами в двоичном представлении?

7. Как переводить целые числа из двоичного представления в восьмеричное и шестнадцатеричное представления и обратно?

8. Какое двоичное представление отрицательных целых чисел используется в вычислительной технике?

9. Дайте определение системы счисления. Назовите и охарактеризуйте свойства системы счисления.

10. Какие символы используются для записи чисел в двоичной системе счисления, восьмеричной, шестнадцатеричной?