Множества и операции над ними

Лабораторная работа №1

Множества и операции над ними

Цель работы: Ознакомиться с понятием множества, с видами множеств и основными операциями над множествами.
Теоретические основы

Одно из основных понятий дискретной математики – множество.

Определение. Множеством называется совокупность, набор предметов, объектов или элементов, объединенных по какому-либо признаку.

Множества обозначают: M, N; элементы множества – a, b, c; а  M – обозначает принадлежность элемента а к множеству М; а  М – непринадлежность элемента а к множеству М.

Примеры числовых множеств:
1, 2, 3,… множество натуральных чисел N;
…, -2, -1, 0, 1, 2, … - множество целых чисел Z.

Множество можно задать:
1) Списком элементов {a, b, c, d, e};
2) Интервалом 1<x<5;
3) Порождающей процедурой: sin xk , xk=(k)/2, k=1,2,…

Определение. Множество, не содержащее элементов, называется пустым.
M =  означает: множество М – пустое.
Пример:
1) множество действительных корней уравнения x2+1=0 пустое;
2) множество треугольников, сумма углов которого  1800 пустое.

Определение. Множество, содержащее только один элемент, называется синглетоном.
Пример: множество прямых, проведенных из данной точки перпендикулярно к данной прямой, является синглетоном.

Определение. Множество А называется подмножеством множества В, если всякий элемент множества А является элементом множества В.
А  В – А подмножество В (нестрогое включение).

Определение. Множества А и В равны (A=B), если одновременно выполняются следующие включения: А  В и В  А
Если А  В и А  В то А  В (строгое включение).
Подмножества множества делятся на 2 вида: собственные и несобственные. К несобственным подмножествам относятся пустое множество и само множество, к собственным подмножествам относятся все остальные подмножества.

Определение. Мощностью или кардинальным числом множества называется число его элементов. Кардинальное число множества А обозначается card(A) или |A|.

Определение. Множество всех подмножеств множества М называется булеаном множества М и обозначается В(М).

Утверждение. Если множество М состоит из n элементов, то число подмножеств равно 2n.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество С, состоящие из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.
Обозначение: С=А  В
Пример:
A = {a, b, d}, B = {b, d, e, h}, A U B = {a, b, c, d, e, h}

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящие из элементов принадлежащих одновременно множествам А и В.
Обозначение: A B

Определение. Разностью 2-х множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов А, не входящих в В.
Обозначение: С = А В
Пример: A = {a,b,d}; B = {b,c,d,h}, C = A B={a}.

Отношение множеств наглядно иллюстрируется с помощью диаграмм Венна.
Диаграмма Венна – это замкнутая линия, внутри которой расположены элементы множества.
Примеры:





X  Y X  Y = 







X  Y X  Y







X Y Y X.






X ∆ Y = (X Y) (X Y)

Задания к работе
Вариант выбирается по последней цифре зачётной книжки. Если стоит «0», то выбирается 10 вариант.

1. Задать множество А случайным образом из k элементов, каждый из элементов взять из диапазона [0, m] (повторяющиеся элементы удалить). Задать случайным образом элемент из диапазона [0, m+n], проверить, входит ли этот элемент во множество А. Найти кардинальное число множества А, найти кардинальное число булеана множества А.
Варианты заданий:
№ варианта 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
k 10 11 12 13 14 14 13 12 11 10
m 20 18 16 14 14 16 18 20 22 24
n 2 3 4 5 4 3 2 1 2 3

2. Составить множество А из букв фамилии, множество В – из букв имени, множество С – из букв отчества (повторяющиеся элементы удалить). Найти: объединение множеств А, В и С, пересечение множеств А, В и С, разность АВ, разность ВА, симметрическую разность множеств А и В.

3. Задать множества А и В случайным образом из k элементов, каждый из элементов взять из диапазона [0, m] (повторяющиеся элементы удалить). Проверить, какое из утверждений будет верным:
А) АВ
Б) ВА
В) А=В
Г) АВ=С, где С≠
Д) АВ=
Варианты заданий:
№ варианта 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
k 10 11 12 13 14 14 13 12 11 10
m 20 18 16 14 14 16 18 20 22 24

4. Изобразить объединение и пересечение следующих множеств:
Варианты заданий:
№ варианта 1 2 3 4 5
А {(x,y): x2+y2≤36} {(x,y): x2+y2≥16} {(x,y): x2+y2≥36} {(x,y): x2+y2≤36} {(x,y): x2+y2≥25}
В {(x,y): x2+y2≥16} {(x,y): x2+y2≥36} {(x,y): x2+y2≤16} {(x,y): x2+y2≤16} {(x,y): x2+y2≥16}

№ варианта 6 7 8 9 10
А {(x,y): xy≤4} {(x,y): x2+y2≤16} {(x,y): xy≥4} {(x,y): xy≥5} {(x,y): x2+y2≥25}
В {(x,y): x2+y2≥36} {(x,y): xy≥5} {(x,y): x2+y2≤36} {(x,y): x2+y2≤16} {(x,y): xy≥4}


Контрольные вопросы

1. Что называется множеством, подмножеством множества?
2. Перечислите операции над множествами.
3. Что такое булеан множества?
4. Сколько элементов содержит булеан множеста?
5. Для чего используются диаграммы Эйлера-Венна?

Содержание отчета
1. Постановка задачи.
2. Листинг программы.
3. Результат работы программы.
4. Ответы на контрольные вопросы.
5. Краткое резюме о проделанной работе.