1. Представление целых чисел и символов в ЭВМ

Лекции по предмету «Информатика»
Информация о работе
  • Тема: 1. Представление целых чисел и символов в ЭВМ
  • Количество скачиваний: 5
  • Тип: Лекции
  • Предмет: Информатика
  • Количество страниц: 10
  • Язык работы: Русский язык
  • Дата загрузки: 2014-11-16 21:00:56
  • Размер файла: 50.99 кб
Помогла работа? Поделись ссылкой
Ссылка на страницу (выберите нужный вариант)
  • 1. Представление целых чисел и символов в ЭВМ [Электронный ресурс]. – URL: https://www.sesiya.ru/lekcii/informatika/1-predstavlenie-celyh-chisel-i-simvolov-v-evm/ (дата обращения: 15.05.2021).
  • 1. Представление целых чисел и символов в ЭВМ // https://www.sesiya.ru/lekcii/informatika/1-predstavlenie-celyh-chisel-i-simvolov-v-evm/.
Есть ненужная работа?

Добавь её на сайт, помоги студентам и школьникам выполнять работы самостоятельно

добавить работу
Обратиться за помощью в подготовке работы

Заполнение формы не обязывает Вас к заказу

Информация о документе

Документ предоставляется как есть, мы не несем ответственности, за правильность представленной в нём информации. Используя информацию для подготовки своей работы необходимо помнить, что текст работы может быть устаревшим, работа может не пройти проверку на заимствования.

Если Вы являетесь автором текста представленного на данной странице и не хотите чтобы он был размешён на нашем сайте напишите об этом перейдя по ссылке: «Правообладателям»

Можно ли скачать документ с работой

Да, скачать документ можно бесплатно, без регистрации перейдя по ссылке:

1. Представление целых чисел и символов в ЭВМ.

1.1. Структура ячейки памяти.
Наименьшая единица информации — бит (bit — сокращение от английско-го BInary digiT — двоичная цифра). Бит принимает два значения, которые ко-дируются нулем и единицей. Тем самым описываются два уровня сигнала, два состояния элемента и т.д. Если значение бита равно 1, то говорят, что он "уста-новлен", если 0 — то "сброшен".
Ссылаться на каждый бит памяти сложно, поэтому их объединяют в груп-пы и рассматривают это объединение как единое целое. Наименьшей группой бит, к которым можно обращаться, является байт (byte — кусок). Его состав-ляют 8 бит. Биты нумеруют так, как показано на рисунке 1.1: справа налево, начиная с нулевого бита.
7 6 5 4 3 2 1 0

Рис. 1.1.

Части байта имеют свои названия: биты с 0-го по 3-й называют младшим полубайтом, а биты с 4-го по 7-й — старшим полубайтом. Полубайт также на-зывают тетрадой. (Интересные сведения о происхождении терминов бит, байт и т.д. приведены в [Новый словарь хакера / Под ред. Э.С.Реймонда. — М.: Цен-трКом, 1996. — 584 с.].)
Вводят и более крупные единицы. Слово (word) составляют два байта (рис. 1.2).
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0


старший байт младший байт
Рис. 1.2.
Двойное слово (doubleword) составляют два слова, или четыре байта (рис. 1.3).
31 30 29 … 16 15 … 2 1 0
… …

старшее слово младшее слово
Рис. 1.3.

Для байта, слова, двойного слова будем использовать обобщенный термин "ячейка".
Странная на первый взгляд нумерация битов (слева направо, начиная с ну-ля) имеет объяснение. Если в ячейке записано двоичное число, то номер бита k является показателем в весовом коэффициенте bk позиционного представления числа. Пусть, например, в байте установлены 5-й и 2-й бит, а остальные сбро-шены. Это означает, что в нем записано число 1*25 + 1*22 = 32 + 4 = 36 = 24h = 00100100b.
0-й бит ячейки называют также младшим битом. "Самый левый" бит носит название старший бит. Нельзя его называть первым: первым является бит "вто-рой справа".
Для записи содержимого байта требуется две 16-ричные цифры, содержи-мого слова — четыре цифры, содержимого двойного слова — восемь цифр. При этом по 16-ричному представлению слова легко выделить содержимое старшего и младшего байта. Например, в слове записано C7FB. Тогда в стар-шем байте записано C7, а в младшем FB.
Упражнение. В слове записано число 1756318. Какие числа в восьмеричном представлении записаны в старшем и младшем байтах? (Это упражнение убедит вас, что 16-ричное представление удобнее, чем 8-ричное.)
Итак, в ЭВМ для представления любой информации используются цепочки нулей и единиц. В одни и те же цепочки можно вкладывать разный смысл. Мы должны изучить кодирование информации: как, например, записать в память ЭВМ отрицательное число –5, букву "A".

1.2. Представление целых чисел.
Представление целых чисел будем рассматривать на примере гипотетиче-ской ЭВМ, память которой — совокупность четырехбитовых ячеек. Это изба-вит нас от необходимости работать с большим числом разрядов одновременно. ("Нужно изучать задачу, которая заключала бы основную трудность и одновре-менно была бы свободной от второстепенных затруднений."(А.Пуанкаре)) .

3 2 1 0

Рис. 1.4.

В эти 4 бита можно записать 24 = 16 комбинаций нулей и единиц (эти ком-бинации перечислены в таблице 1.1). Будем записывать их так: a = [a3a2a1a0]. Сначала рассмотрим беззнаковые целые числа. Интерпретируем содержимое слова следующим образом:
a = a3*23 + a2*22 + a1*21 + a0 .
Тогда наименьшее представимое число [0000] есть 0, наибольшее число [1111] есть 23 + 22 + 21 + 20 = 15 = 24 – 1.
Однако удобно иметь в распоряжении не только неотрицательные, но и от-рицательные числа. Введем в рассмотрение знаковые целые числа.
Теперь мы должны часть комбинаций четырех нулей и единиц интерпрети-ровать как положительные, а часть как отрицательные числа. Для этой цели могут быть использованы различные способы кодирования: прямой, обратный и дополнительный коды. В настоящее время в подавляющем большинстве ЭВМ используется дополнительный код. Мы не будем проводить сравнения различ-ных систем кодирования, а ограничимся изучением дополнительного кода.
Сначала попытаемся наглядно представить, как он получается. Поделим окружность на 16 частей и перенумеруем все отметки по часовой стрелке четы-рехбитовыми беззнаковыми числами в порядке возрастания. Проставим неот-рицательные числа от 0 до 7 возле соответствующих кодов — и остановимся. Если теперь двигаться в правой части окружности по часовой стрелке от от-метки к отметке — это соответствует увеличению на единицу. Движение в про-тивоположном направлении соответствует вычитанию единицы. Продолжая это движение за нулевую отметку, естественно приписать коду [1111] значение –1, коду [1110] значение –2 и т.д. Так в левой части окружности появляются числа от –1 до –8.

Рис. 1.5.

Итак, мы получили числа в диапазоне [ –8 ; 7] = [–24–1 ; 24–1 – 1].
Обратите внимание: если в третьем (старшем) бите записан 0, то число не-отрицательное, если 1 — отрицательное. Поэтому старший бит называется зна-ковым.
Легко доказать, что a = [a3a2a1a0] в дополнительном коде интерпретируется так: a = – a3*23 + a2*22 + a1*21 + a0 (для доказательства достаточно заметить, что [1000] соответствует –8, а остальные коды получаются последовательным прибавлением единицы).
Определим дополнительный код для общего случая произвольного n-разрядного слова [an–1 an–2... a1 a0]:
a = –an–12n–1 + an–22n–2 + ... + a12 + a0.
Легко убедиться, что код [11...1] соответствует числу –1.
Приведем еще одно определение дополнительного кода

где n — разрядность слова, . Например, код числа –5 вычис-ляется так: .
Именно это определение служит обоснованием названия кода: дополни-тельный (до двух) — twos complement representation.
Полезно знать правило, позволяющее получить код числа –a по коду числа a. Для вывода этого правила достаточно заметить, что
– a = (–1– a) + 1 = ([11...1] – [an–1an–2 ... a0]) + 1 = [ an–1 an–2 ...  a0] + 1 ,
где  a = 1 – a — инвертирование бита a (т.е. бит 0 заменяется битом 1, а бит 1 — битом 0).
П р а в и л о 1. Для получения дополнительного кода числа –а нужно ин-вертировать биты кода а (т.е. получить так называемый обратный код числа а) и прибавить к нему 1.
Пример. Получим дополнительный код –5 ( разрядность n = 4).
5 = [0101] ,  [0101] = [1010] , –5 = 1010 + 1 = [1011].
По кодам, нанесенным на "обод колеса", легко убедиться, что ответ правиль-ный.
Теперь по коду –5 получим код 5: –5 = 1011, 0100 + 1 = 0101 = 5
Сформулируем еще одно правило.
П р а в и л о 2. Для получения дополнительного кода числа –а нужно запи-сать код а. Затем просматривать число справа налево, сохранить все младшие нули и первую встретившуюся единицу. Остальные биты инвертировать.
Задача. Обосновать это правило. Привести примеры.
Нетрудно видеть, что множества беззнаковых и знаковых чисел, предста-вимых описанными способами в четырехбитовой ячейке суть два изоморфных представления кольца вычетов по модулю 24 = 16: . Это сразу гарантирует нам, что код результата сложения двух слов в этом кольце вычетов определяет-ся однозначно по кодам слагаемых и не зависит от выбранного представления. Представление несимметрично: для числа –8 нет положительного «оппонента». Можно было выбрать и другое представление — с диапазоном [–7; 8]. Но тогда было бы неприменимо простое правило: старший бит отрицательного числа установлен.
Подведем итоги. Пусть n — разрядность ячейки. Тогда диапазон представ-ления чисел:
• беззнаковых [ 0; 2n – 1];
• знаковых [ – 2n–1 ; 2n–1 – 1].
Старший бит является знаковым: 1 соответствует отрицательному числу, 0 — неотрицательному.
Полезно запомнить величину диапазонов для нескольких важных частных случаев.

Таблица 1.1.
размер
(биты) размер
(байты) вид диапазон
8 1 беззнаковый [ 0; 255]
знаковый [–128; 127]
16 2 беззнаковый [ 0; 65535]
знаковый [–32768; 32767]
32 4 беззнаковый [0; 232–1]
знаковый [–231; 231–1]

Упражнение. В байте записано число 11001000. Переведите его в 16-ричное и десятичное представление, интерпретируя его как а) знаковое, б) без-знаковое.
Поясним теперь, в чем преимущества дополнительного кода.
1) При сложении дополнительных кодов слагаемых как беззнаковых целых получается дополнительный код суммы (если результат лежит в допустимом диапазоне) xд.к.+ yд.к.= (x+y)д.к. (примеры мы увидим ниже).
2) Число в дополнительном коде можно расширить до произвольного числа разрядов, копируя содержимое знакового бита влево (эта операция носит название "расширение знака"). Пусть, например, в байте записано число 1010 0000 = A0h. Число отрицательное, т.к. знаковый разряд равен 1. Расширим его до слова: 1111 1111 1010 0000 = FFA0h. Нетрудно убедиться, что получи-лось то же самое отрицательное число (какое?).
Упражнение. С каких 16-ричных цифр могут начинаться отрицательные числа, записанные в ячейки памяти ЭВМ?

1.3. Сложение и вычитание целых чисел
Из-за ограниченности диапазона целых чисел при их сложении может по-лучиться результат, который не помещается в ячейку. Такая ситуация называет-ся переполнением (overflow).
Наша гипотетическая четырехразрядная машина оперирует с беззнаковыми числами в диапазоне от 0 до 15 и со знаковыми — от –8 до 7. Для того чтобы фиксировать переполнения, дополним машину ячейкой из двух бит: OF и CF.

OF CF
Рис. 1.6.

Здесь OF — Overflow Flag — флаг переполнения (знакового!), CF — Carry Flag — флаг переноса. Процессор устанавливает эти биты по результату опера-ции. Разберемся, как он это делает.
При выполнении сложения процессор анализирует:
• был ли перенос единицы в знаковый разряд;
• был ли перенос единицы из знакового разряда (он попадает в CF).
После этого определяется переполнение по следующему правилу:
• для беззнаковых чисел: если есть перенос из знакового разряда, то произош-ло переполнение (CF = 1), иначе — переполнения нет (CF = 0).
• для знаковых чисел: если имел место только один из переносов, то про-изошло переполнение (OF = 1), иначе (два или ни одного переноса) пере-полнения нет (OF = 0).
(Для беззнаковых чисел правило очевидно, для знаковых — доказывается пере-бором возможных случаев).
Еще раз напомним, что 1 соответствует ДА, а 0 — НЕТ. (То есть OF = 1 оз-начает, что: "да, знаковое переполнение есть"; 1 кодирует слово ДА).
Рассмотрим три примера:
1)

бит 2  бит 3
CF = 0
OF = 1 беззнаковые: переполнения нет знаковые:
переполнение (11>7) (сложили два положи-тельных числа, полу-чили отрицательное число)
2)

бит 2  бит 3
бит 3  CF
CF = 1
OF = 0 беззнаковые: переполнение
(17 > 15) знаковые:
переполнения нет
3)

бит 3  CF
CF = 1
OF = 1 беззнаковые: переполнение
(21 > 15) знаковые:
переполнение
(–11 < –8)

При сложении знаковых чисел переполнение возникает, когда складывают числа одного знака, а получают результат противоположного знака (как в пер-вом и третьем примерах). Если складывают числа разных знаков, переполнение никогда не возникает.
Вычитание реализовано в процессоре следующим образом: a – b = a + (–b). Процессор вычисляет дополнительный код (–b) и выполняет сложение, напри-мер: 6 – 5 = 6 + (–5) = 0110 + 1011 = 1 0001. Тогда CF = 0 (!), OF = 0.
При сложении появился перенос из знакового разряда. Однако CF = 0, т.к. при вычитании заем (borrow) единицы за пределами ячейки не требуется. Дру-гими словами, выполнение вычитания заменяется в процессоре сложением, но от переноса из знакового разряда берется логическое отрицание и результат этого отрицания помещается в CF. Флаг OF выставляется, как и при сложении: если результат знакового вычитания находится в допустимом диапазоне, то OF = 0, иначе OF = 1.
Задача. Проанализируйте вышеприведенные три примера, заменив сложе-ние вычитанием.

1.4. Кодирование символов
Буквы алфавита, цифры, скобки, запятые и т.д. нужно кодировать цепочка-ми нулей и единиц, так же как и целые числа, как и любую другую информа-цию. Нужно только условиться о том, какому символу какая цепочка соответ-ствует. Тогда, по коду буквы A на экране дисплея будет нарисована картинка с изображением буквы A, принтер напечатает изображение буквы A. Эти изо-бражения берутся из кодовых таблиц (по-английски это кодовые страницы — code page). Международным стандартом кодирования символов стал ASCII (произносится "аски") — American Standard Code for Information Interchange — Американский стандартный код для обмена информацией.
Код символа занимает один байт, т.е. всего можно закодировать 256 сим-волов. ASCII фиксирует только коды от 0 до 127 (0h – 7Fh). Коды 128 – 255 (80h – 0FFh) составляют расширение ASCII.
Изучим таблицу кодов (ее нижнюю половину) подробнее. Сначала объяс-ним, как она построена. Шапка таблицы соответствует единицам, а боковик — десяткам (в 16-ричной системе счисления). Поэтому код буквы z, например, есть 70h + 0Ah = 7Ah.

00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 0a 0b 0c 0d 0e 0f
00 управляющие
10 символы
20 ! " # $ % & ( ) * + , - . /
30 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 : ; < = > ?
40 @ A B C D E F G H I J K L M N O
50 P Q R S T U V W X Y Z [ ] ^ _
60 ` a b c d e f g h i j k l m n o
70 p q r s t u v w x y z { | } ~
Рис. 1.7 .

Символы делятся на два больших класса: изображаемые (символ может быть выведен на экран или напечатан) и управляющие (им соответствуют спе-циальные сигналы и функции устройств).
Изображаемые символы. Эти символы разбиваются на несколько классов.
Прописные латинские буквы. A – 41h, B – 42h, C – 43h,…, Z – 5Ah. Код сле-дующей по алфавиту буквы возрастает на единицу. Это позволяет организовать в программах лексикографическое упорядочение строк: сравниваются коды символов на "больше-меньше". В дальнейшем мы увидим, что такую проверку легко запрограммировать.
Строчные латинские буквы. a – 61h, b – 62h, c – 63h, ... z – 7Ah. Код строч-ной буквы получается прибавлением 20h к коду прописной буквы.
Цифры. 0 – 30h, 1 – 31h, ... , 9 – 39h. Чтобы получить код цифры надо при-бавить к цифре код цифры 0, т.е. 30h. Отметим, что, благодаря такому кодиро-ванию, цепочки цифр можно сортировать, как и цепочки букв. (Сортировка будет осуществляться правильно и для чисел в шестнадцатеричном представле-нии).
Символы пунктуации: ^&#(){} и т.д. Отметим код пробела 20h. Начинаю-щие ошибочно полагают, что пробел кодируется нулем.
Управляющие символы. Эти символы при вводе с клавиатуры или при пе-редаче периферийному устройству вызывают выполнение определенной функ-ции или посылку сигнала. Коды этих символов 0 … 1Fh и FFh. Они имеют спе-циальные обозначения. Приведем таблицу этих обозначений (чисто формаль-но), но прокомментируем лишь немногие из них. В полном объеме управляю-щие символы используются при передаче сообщений по линиям связи.

Таблица 1.2.
Dec Hex Ctrl Имя Назначение
0 00 ^@ NUL null (end string) — пусто (конец строки)
1 01 ^A SOH start of heading — начало заголовка
2 02 ^B STX start of text — начало текста
3 03 ^C ETX end of text — конец текста
4 04 ^D EOT end of transmission — конец передачи
5 05 ^E ENQ enquiry — запрос
6 06 ^F ACK acknowledge — подтверждение
7 07 ^G BEL bell — звонок
8 08 ^H BS backspace — шаг назад
9 09 ^I HT TAB horizontal tab — ТАБ горизонтальная табуляция
10 0A ^J LF line feed — перевод строки
11 0B ^K VT vertical tab — вертикальная табуляция
12 0C ^L FF form feed — перевод страницы
13 0D ^M CR carriage return — возврат каретки
14 0E ^N SO shift out — переключение на стандартный регистр
15 0F ^O SI shift in — переключение на дополнительный регистр
16 10 ^P DLE data line escape — авторегистр 1
17 11 ^Q DC1 device ctrl 1 (X—ON) — управление устройством 1
18 12 ^R DC2 device ctrl 2 — управление устройством 2
19 13 ^S DC3 device ctrl 3 (X—OFF) — управление устройством 3
20 14 ^T DC4 device ctrl 4 — управление устройством 4
21 15 ^U NAK negative acknowledge — отрицательное подтвержде-ние
22 16 ^V SYN synchronous idle — синхронизация
23 17 ^W ETB end transmit block — конец блока передачи
24 18 ^X CAN cancel — снять (отменить)
25 19 ^Y EM end of medium — конец носителя
26 1A ^Z SUB substitute — подстановка
27 1B ^[ ESC escape — авторегистр 2
28 1C ^ FS file separator — разделитель файлов
29 1D ^] GS group separator — разделитель групп
30 1E ^^ RS record separator — разделитель записей
31 1F ^_ US unit separator — разделитель полей

Поясним заголовок этой таблицы: Dec — десятичный код, Hex — шестна-дцатеричный код, Имя — условное наименование сигнала, Назначение — анг-лийское и русское наименование сигнала. Остановимся на столбце Ctrl. Для управляющих символов на клавиатуре терминала клавиш, как правило, нет. Но можно получить управляющий символ, или сигнал, нажимая одновременно клавишу Ctrl и буквенную клавишу, например, нажатие Ctrl+I вызовет переме-щение курсора на следующую позицию табуляции, что эквивалентно нажатию клавиши Tab. Следует заметить, что многие прикладные программы переопре-деляют эти комбинации клавиш для своих нужд, например, в редакторе Word нажатие Ctrl+I вызовет переход к курсивному (italic) шрифту в выделенном фрагменте.
В основном, управляющие символы и сигналы используются в сетях ЭВМ, например, сигнал ACK выдается в качестве подтверждения успешного приема сообщения. Прокомментируем еще некоторые символы.
CR — перемещает каретку, печатающую головку или курсор на экране тер-минала к началу текущей строки. Обычно клавиша Enter вызывает и возврат каретки (CR), и перевод строки (LF).
LF — перемещает каретку, печатающую головку или курсор вниз на одну строку.
FF — перемещает каретку, печатающую головку или курсор к началу сле-дующей страницы.
BEL — активизирует звонок, гудок или другой звуковой сигнал на том уст-ройстве, на которое он был послан.

1.5. Расширение ASCII
Коды 128–255 могут быть определены по-разному.
Для различных языков используются разные кодовые таблицы. Коды 0–7F в них одинаковы. Это ASCII. Верхняя часть таблицы зависит от языка. Полная таблица кодов носит название кодовой страницы (code page, сокращенно — cp).
Нас, разумеется, интересует, как кодируются русские буквы (кириллица).
Для MS DOS используется кодировка cp866. Помимо кириллицы и симво-лов для рисования таблиц в текстовом режиме (псевдографика), сюда входят некоторые математические знаки.
Таблица 1.3.

Между кодами букв "п" и "р" имеется разрыв, хотя это и не препятствует, например, корректной сортировке. Хуже, что буква ё", введенная в русский алфавит Н.М.Карамзиным, оказалась вне привычного алфавитного расположе-ния.
В операционной системе Windows используется другая кодировка кирилли-цы: cp1251. В кодировку для Windows не входят символы псевдографики. В системе с графической оболочкой они просто не нужны. Здесь буквы русского алфавита располагаются без разрывов, но буквы Ё и ё по-прежнему "на отши-бе".
Для некоторых восточных языков используется так называемая многобайт-ная кодировка (MBCS — Multi-byte Character Set). В этом наборе символ может быть представлен одним или двумя байтами. Если первый байт заключен в оп-ределенном диапазоне, то это означает, что следующий байт надо рассматри-вать совместно с ним для кодирования одного символа. Такую кодировку ино-гда называют двухбайтовой (DBCS — Double-byte Character Set), хотя это и не-верно, ведь это смесь одно- и двухбайтовых символов. Такая кодировка не-удобна, т.к. по количеству байтов, занимаемых текстом, нельзя сразу сказать, сколько символов содержит текст.
Конечно, лучше было бы иметь коды для всех распространенных языков в одной таблице. Для этого введена двухбайтовая кодировка каждого символа Unicode. Здесь возможное количество комбинаций 65536. Сюда записаны и китайские, японские и корейские иероглифы, арабская вязь, изображения шах-матных фигур, … Начальные 127 кодов — это ASCII.
Приведем сводную таблицу кодов для кириллицы (табл. 1.4). Промежуточ-ные коды легко вычислить.

Таблица 1.4.
cp 866 cp 1251 Unicode
А 80h А C0h А 410h
Я 9Fh Я DFh Я 42Fh
а A0h а E0h а 430h
п AFh
р E0h
я EFh я FFh я 44Fh
Ё F0h Ё A8h Ё 401h
ё F1h ё B8h ё 451h

Заметим еще, что кодировка для MS DOS именуется также кодировкой OEM (Original Equipment Manufacturer), а кодировка для Windows — кодировка ANSI.
Освоим полезный способ получения символа по его коду. Нажмите и удерживайте клавишу Alt. Наберите на малой цифровой клавиатуре (не на ос-новной клавиатуре!) десятичный код символа. Отпустите клавишу Alt. На экра-не появится изображение символа.

Задание A1.
1. Вручную преобразовать десятичное число в 16-ричную и двоичную сис-темы счисления (пример: 4020).
2. В байте записано число. Перевести его в десятичную систему счисления, рассматривая как беззнаковое и как знаковое. Какому символу кодовой табли-цы соответствует число? Ответ — с обоснованием — должен быть представлен в виде таблицы
Беззнаковое Знаковое Символ
54h
D6h