5. Определение переходной и импульсной характеристик

Задача по предмету «Физика»
Информация о работе
  • Тема: 5. Определение переходной и импульсной характеристик
  • Количество скачиваний: 11
  • Тип: Задача
  • Предмет: Физика
  • Количество страниц: 18
  • Язык работы: Русский язык
  • Дата загрузки: 2014-05-05 22:22:36
  • Размер файла: 316.59 кб
Помогла работа? Поделись ссылкой
Ссылка на страницу (выберите нужный вариант)
  • 5. Определение переходной и импульсной характеристик [Электронный ресурс]. – URL: https://www.sesiya.ru/zadacha/fizika/5-opredelenie-perehodnoy-i-impulsnoy-harakteristik/ (дата обращения: 23.06.2021).
  • 5. Определение переходной и импульсной характеристик // https://www.sesiya.ru/zadacha/fizika/5-opredelenie-perehodnoy-i-impulsnoy-harakteristik/.
Есть ненужная работа?

Добавь её на сайт, помоги студентам и школьникам выполнять работы самостоятельно

добавить работу
Обратиться за помощью в подготовке работы

Заполнение формы не обязывает Вас к заказу

Информация о документе

Документ предоставляется как есть, мы не несем ответственности, за правильность представленной в нём информации. Используя информацию для подготовки своей работы необходимо помнить, что текст работы может быть устаревшим, работа может не пройти проверку на заимствования.

Если Вы являетесь автором текста представленного на данной странице и не хотите чтобы он был размешён на нашем сайте напишите об этом перейдя по ссылке: «Правообладателям»

Можно ли скачать документ с работой

Да, скачать документ можно бесплатно, без регистрации перейдя по ссылке:

5. Определение переходной и импульсной характеристик:

1. Аналитический метод:
Для аналитического расчета переходной и импульсной характеристик используем операторный метод. Применим теорему разложения:
H(s)=(1,1s^2+2,5)/(s^3+4,25s^2+4,5s+5)=(1,1s^2+2,5)/(s+3,332)(s+0,446-1,14j)(s+0,446+1,14j) =
=A_1/(s+3,332)+A_2/(s+0,446-1,14j)+A_3/(s+0,446+1,14j)
Находим коэффициенты разложения A_k:
A_1=├ (1,1s^2+2,5)/(s+0,446-1,14j)(s+0,446+1,14j) ┤|_(s=-3,332)=1,528
A_2=├ (1,1s^2+2,5)/(s+3,332)(s+0,446+1,14j) ┤|_(s=-0,446+1,14j)=-0,214-0,111j=0,241∙e^(-2,663j)
A_3=A_2^*=-0,214+0,111j
Импульсная характеристика:
h(t)=(1,528e^(-3,332t)+0,482e^(-0,446t)∙cos⁡(1,14t-2,663))∙δ_1 (t)
Найдём переходную характеристику:
H_1 (s)=H(s)/s=(1,1s^2+2,5)/s(s+3,332)(s+0,446-1,14j)(s+0,446+1,14j) =
=A_1/s+A_2/(s+3,332)+A_3/(s+0,446-1,14j)+A_4/(s+0,446+1,14j)
Находим коэффициенты разложения A_k:
A_1=├ (1,1s^2+2,5)/(s+3,332)(s+0,446-1,14j)(s+0,446+1,14j) ┤|_(s=0)=0,5
A_2=├ (1,1s^2+2,5)/s(s+0,446-1,14j)(s+0,446+1,14j) ┤|_(s=-3,332)=-0,459
A_3=├ (1,1s^2+2,5)/s(s+3,332)(s+0,446+1,14j) ┤|_(s=-0,446+1,14j)=-0,021+0,196j=0,197∙e^1,678j
A_4=A_3^*=-0,021-0,196j
Переходная характеристика:
h_1 (t)=(0,5-0,459e^(-3,332t)+0,394e^(-0,446t)∙cos⁡(1,14t+1,678))∙δ_1 (t)
Значения h_1 (0+)=0 и h_1 (∞)=0,5, полученные по этому выражению и по схемам замещения цепи совпадают.
Графики переходной и импульсной характеристик:


2) Численный метод:
Уравнения состояния в матричной форме:
[■(i_L1^@u_C1^@u_C2^ )]=[■(0&1,125&0@-2&-2&-2@0&-1,111&-2,222)][■(i_L1@u_C1@u_C2 )]+[■(0@2@1,111)]∙u_вх
Входное воздействие u_вх=δ_1 (t), начальные условия – нулевые.
Для нахождения переходной характеристики используем явную форму алгоритма Эйлера:
[f_2k ]=[f_(2(k-1)) ]+∆t[A][f_(2(k-1)) ]+∆t[B][f_(1(k-1)) ]
Шаг расчёта выбирается из условия:
∆t≤1/5 min{τ_min; T_min/4}
τ_min=1/max⁡{|Re s_1 |;|Re s_2 |;|Re s_3 | } =1/3,332=0,3; T_min/4=1/4∙2π/w=1/4∙2π/1,14=1,38
∆t≤0,3/5=0,06
Выбираем ∆t=0,01


Оценка точности численного расчёта: для переходной характеристики:
1) k=100; ∆t∙k=1;h_(1_аналитически )=0,244462; h_(1_числ )=0,245087;ошибка: 0,000624
2) k=400; ∆t∙k=4;h_(1_аналитически )=0,56611; h_(1_числ )=0,567413;ошибка: 0,001303
3) k=700; ∆t∙k=7;h_(1_аналитически )=0,483107; h_(1_числ )=0,482638;ошибка: 0,000469
Точность численного метода высока. Точность численного метода повышается с уменьшением ∆t.
6. Вычисление реакции цепи при воздействии одиночного импульса на входе:

Для упрощения записи примем, что t_и=15,7≈5π
1) Аналитический метод:
Для нахождения изображения по Лапласу U_1 (s) входного одиночного сигнала представим u_1 (t) в виде разности двух синусоидальных функций, смещённых по оси времени на интервал t_и:

u_1 (t)=sin⁡(w_o t)⁡〖δ_1 (t)〗-sin⁡(w_o (t-t_и ) ) δ_1 (t-t_и ),где w_o=2π/t_и =2π/5π=2/5=0,4
Тогда получим изображение входного сигнала:
U_1 (s)=w_0/(s^2+w_o^2 ) (1-e^(-t_и s) )=0,4/(s^2+(0,4)^2 ) (1-e^(-5πs) )
Изображение реакции:
U_2 (s)=H(s)∙U_1 (s)=(1,1s^2+2,5)/(s^3+4,25s^2+4,5s+5)∙0,4/(s^2+(0,4)^2 ) (1-e^(-5πs) )=
=(0,44s^2+1)/(s-0,4j)(s+0,4j)(s+3,332)(s+0,446-1,14j)(s+0,446+1,14j) ∙(1-e^(-5πs) )^
(U_2 ) ̃(s)=(0,44s^2+1)/(s-0,4j)(s+0,4j)(s+3,332)(s+0,446-1,14j)(s+0,446+1,14j) =
=A_1/(s-0,4j)+A_2/(s+0,4j)+A_3/(s+3,332)+A_4/(s+0,446-1,14j)+A_5/(s+0,446+1,14j)
Найдём коэффициенты разложения A_k:
A_1=├ (0,44s^2+1)/(s+0,4j)(s+3,332)(s+0,446-1,14j)(s+0,446+1,14j) ┤|_(s=0,4j)=-0,093-0,232j=0,25e^(-1,952j)
A_2=A_1^*=-0,093+0,232j
A_3=├ (0,44s^2+1)/(s-0,4j)(s+0,4j)(s+0,446-1,14j)(s+0,446+1,14j) ┤|_(s=-3,332)=0,054
A_4=├ (0,44s^2+1)/(s-0,4j)(s+0,4j)(s+3,332)(s+0,446+1,14j) ┤|_(s=-0,446+1,14j)=0,066-0,024j=0,07∙e^(-0,349j)
A_5=A_4^*=0,066+0,024j
(u_2 ) ̃(t)=(0,5∙cos⁡(0,4t-1,952)+0,054e^(-3,332t)+0,14e^(-0,446t)∙cos⁡(1,14t-0,349))∙δ_1 (t)
Сигнал на выходе цепи:
u_2 (t)=(u_2 ) ̃(t)∙δ_1 (t)-(u_2 ) ̃(t-5π)∙δ_1 (t-5π)
u_2 (t)=(0,5∙cos⁡(0,4t-1,952)+0,054e^(-3,332t)+0,14e^(-0,446t)∙cos⁡(1,14t-0,349))∙δ_1 (t)-
-[0,5∙cos⁡(0,4(t-5π)-1,952)+0,054e^(-3,332(t-5π) )+0,14e^(-0,446(t-5π) )∙cos⁡(1,14(t-5π)-0,349)]∙δ_1 (t-5π)
График реакции u_2 (t) и изменённого в A(0) раз воздействия u_1 (t):

2) Численный метод:
Воспользуемся явной формой алгоритма Эйлера, аналогично п.5:


Графики реакции, полученные численным и аналитическим методами, в выбранном масштабе практически совпадают. Амплитуда выходного сигнала примерно равна половине амплитуды входного сигнала. Время задержки равно 0,93.
Площадь выходного сигнала: S_вых=∫_0^∞▒〖u_2 (t) 〗 dt≅0= 1/2 S_вх=0, сигнал на выходе непрерывен. Оценки, сделанные в п.3. корректны.

7. Определение спектральных характеристик одиночного импульса воздействия:

Спектральная плотность входного одиночного сигнала:
U_1 (jw)=├ U_1 (s) ┤|_(s=jw)=0,4/(0,16-w^2 ) (e^2,5πjw/e^2,5πjw -e^(-2,5πjw)/e^2,5πjw )^ =0,8j/(0,16-w^2 ) sin⁡(2,5πw)e^(-2,5πjw)=
=0,8/(0,16-w^2 ) sin⁡(2,5πw)e^j(π/2-2,5πw)
Амплитудный спектр: A(w)=|U_1 (jw)|=|0,8/(0,16-w^2 ) sin⁡(2,5πw)|
Фазовый спектр: Ф_1 (w)=π/2-2,5πw+arg⁡((sin⁡(2,5πw))/(0,16-w^2 ))
,где arg⁡((sin⁡(2,5πw))/(0,16-w^2 ))={█(0,если w∈[0;4/5]∪[6/5;8/5]∪[2;12/5]∪…@π,если w∈[4/5;6/5]∪[8/5;2]∪[12/5;14/5]∪…)┤
Найдём узлы амплитудного спектра: sin⁡(2,5πw)=0 □(⇒┴ ) w_УК=2k/5 ; k=0;±1;±2;±3…
При k=1, т.е. при w_ =0,4 получается неопределённость вида [0/0]. Для определения значения A(0,4) используем правило Лопиталя:
A(0,4)=[0/0]=lim┬(w→0,4)⁡〖(0,8∙sin⁡(2,5πw))/(0,16-w^2 )〗=lim┬(w→0,4)⁡〖(〖2π∙cos〗⁡〖(2,5πw)〗⁡)/(-2w^ )=5π/2=2,5π〗
Значение A(0) равно площади входного сигнала: S_вх=0
Графики амплитудного и фазового спектров:


Ширину спектра входного одиночного сигнала определяем по 10% критерию: 〖∆w〗_СП=[0 ; 1,042]
├ ■(Полоса пропускания: 〖∆w〗_ПП=[0 ;1]@Ширина спектра: 〖∆w〗_СП=[0 ;1,042] )┤| □(⇒┴ ) спектр сигнала попадает в полосу пропускания цепи. Сигнал на выходе цепи будет с небольшими искажениями. Т.к. значение АЧХ при w→∞ равно нулю, то сигнал на выходе цепи будет непрерывным. Так как значение АЧХ на нулевой частоте равно 0,5, а площадь входного сигнала равна нулю, то и площадь выходного сигнала будет равна нулю. Это подтверждает график выходного сигнала из п.6.
8. Вычисление спектра реакции при одиночном импульсе на входе:

Спектр реакции можно найти как:
U_2 (jw)=H(jw)∙U_1 (jw)
Амплитудный спектр реакции:
|U_2 (jw)|=|H(jw)|∙|U_1 (jw)|=|2-0,88w^2 |/√((4-3,4w^2 )^2+(3,6w-0,8w^3 )^2 )∙|0,8/(0,16-w^2 ) sin⁡(2,5πw)|
Фазовый спектр:
Ф_2 (w)=Ф_H (w)+Ф_1 (w)=arg⁡(2-0,88w^2 )-arctg⁡〖w/3,332-〗 arctg⁡〖(w-1,14)/0,446-〗 arctg⁡〖(w+1,14)/0,446〗+
+π/2-2,5πw+arg⁡((sin⁡(2,5πw))/(0,16-w^2 ))
Графики амплитудного и фазового спектров реакции:

9. Приближённый расчёт реакции по спектру при одиночном импульсе воздействия:

Будем искать реакцию по амплитудному и фазовому спектру. Для этого используем формулы связи спектра одиночного импульса u_2 с дискретным спектром периодического сигнала u_2п, составленного из периодической последовательности импульсов u_2 (t):
U_2mk=2/T∙├ |U_2 (jw)| ┤|_(w=k∙w_1 )=2/T∙|2-0,88(kw_1 )^2 |/√((4-3,4(kw_1 )^2 )^2+(3,6kw_1-0,8(kw_1 )^3 )^2 )∙|0,8/(0,16-(kw_1 )^2 ) sin⁡(2,5πkw_1)|
Ф_2k=├ Ф_2 (w)┤|_(w=k∙w_1 )=arg⁡(2-0,88(kw_1 )^2 )-arctg⁡〖(kw_1)/3,332-〗 arctg⁡〖(kw_1-1,14)/0,446-〗 arctg⁡〖(kw_1+1,14)/0,446〗+
+π/2-2,5πkw_1+arg⁡((sin⁡(2,5πkw_1))/(0,16-(kw_1 )^2 ))
Для более точного расчёта, период T=2π/w_1 надо выбрать достаточно большим: возьмём T=17π.
Запишем ряд Фурье для сигнала u_2п:
u_2п (t)=U_20/2+∑_(k=1)^50▒〖U_2mk cos⁡(kw_1 t+Ф_2k ) 〗=0,082∙cos⁡(0,118t+0,541)+
+0,138∙ cos⁡(0,235t-0,491)+0,153∙cos⁡(0,353t-1,529)+0,128∙cos⁡(0,471t-2,579)+
+0,079∙cos⁡(0,588t-3,646)+...
Строим график суммы ряда Фурье в пределах периода – это приближённый график u_2 (t) и график реакции, рассчитанной операторным методом в п.6.:
u2(t) – реакция, рассчитанная операторным методом в п.6; u2pr(t) – приближённый расчёт реакции

Из графика видно, что приближённый расчёт реакции по спектру достаточно точен. Точность увеличивается при увеличении числа гармоник и увеличении периода.
10. Определение спектра периодического входного сигнала:

Для получения спектральных характеристик входного периодического сигнала используем связь спектральных характеристик одиночного и периодического сигналов:
Амплитудный спектр: U_1mk=2/T∙├ |U_1 (jw)| ┤|_(w=k∙w_1 )=|(1⁄π)/(1-0,25k^2 ) sin⁡(πk/2) |
Фазовый спектр: Ф_1k=├ Ф_1 (w)┤|_(w=k∙w_1 )=π/2-πk/2+arg⁡((sin⁡(0,5πk))/(1-0,25k^2 )) , где k=0,1,…K_ф ; K_ф – число гармоник ряда Фурье, определяется по ширине спектра: K_ф=⌈w_сп/w_1 ⌉=⌈1,042/0,2⌉=6; w_1=2π/T=2π/10π=0,2 – частота основной гармоники.
Запишем отрезок ряда Фурье для входного периодического сигнала:
u_1 (t)≈U_10/2+∑_(k=1)^6▒〖U_1mk∙cos⁡(kw_1 t+Ф_1k )=〗 0,424 cos⁡〖(0,2t)+0,5 cos⁡〖(0,4t-π/2)+〗 〗 0,255 cos⁡(0,6t-π)+
+0,061cos⁡(t-π)
Амплитудный и фазовый дискретные спектры воздействия:


Графики исходного входного периодического сигнала (u1(t)) и после аппроксимации его отрезком ряда Фурье (u1k(t)), а также графики некоторых отдельных составляющих:

11. Приближённый расчёт реакции при периодическом воздействии:

Выходной сигнал u_2 (t) представляем в виде отрезка ряда Фурье:
u_2 (t)=U_20/2+∑_(k=1)^6▒〖U_2mk cos⁡(kw_1 t+Ф_2k ) 〗; w_1=2π/T=0,2
Амплитудный дискретный спектр реакции:
U_2mk=|H(jkw_1)|∙U_1mk=|2-0,88(0,2k)^2 |/√((4-3,4(0,2k)^2 )^2+(3,6∙0,2k-0,8(0,2k)^3 )^2 )∙|(1⁄π)/(1-0,25k^2 ) sin⁡(πk/2) |
Фазовый дискретный спектр реакции:
Ф_2k=Ф_H (kw_1 )+Ф_1k=arg⁡(2-0,88(0,2k)^2 )-arctg⁡〖0,2k/3,332-〗 arctg⁡〖(0,2k-1,14)/0,446-〗 arctg⁡〖(0,2k+1,14)/0,446〗+
+π/2-πk/2+arg⁡((sin⁡(0,5πk))/(1-0,25k^2 ))
Отрезок ряда Фурье реакции имеет вид:
u_2 (t)=U_20/2+∑_(k=1)^6▒〖U_2mk cos⁡(kw_1 t+Ф_2k ) 〗=0,212 cos⁡〖(0,2t-0,182)+0,25 cos⁡〖(0,4t-1,951)+〗 〗
+0,126cos⁡(0,6t-3,759)+0,024 cos⁡(t-4,494)
Амплитудный и фазовый дискретные спектры реакции:


График ряда Фурье реакции u_2 (t):

Из графика видно, что периодический сигнал при его прохождении через цепь искажается не значительно, что вызвано тем, что в полосу пропускания попадают первые 5 гармоник спектра, несущее основную энергию сигнала. Время задержки равно 0,911.

12. Определение в «замкнутой» форме вынужденной составляющей реакции при периодическом входном сигнале:

Для t>0 запишем изображение входного сигнала u_1 (t) в предположении что u_1=0 при t<0: U_1 (s)=(U_11 (s))/(1-e^(-10πs) ),где U_11 (s)=0,4/(s^2+0,16) (1-e^(-5πs) )÷u_1 (t) в интервале 0<t<T=10π - изображение условного первого периода входного сигнала.
Найдём изображение реакции цепи:
U_2 (s)=H(s)∙U_1 (s)=U_2св (s)+U_2вын (s)=
=((0,44s^2+1)∙(1-e^(-5πs) )^ )/(s-0,4j)(s+0,4j)(s+3,332)(s+0,446-1,14j)(s+0,446+1,14j)(1-e^(-10πs) ) =
=A_1/(s+3,332)+A_2/(s+0,446-1,14j)+A_3/(s+0,446+1,14j)+(U_21 (s))/(1-e^(-10πs) ),где U_21 (s)-
изображение условного первого периода искомой установившейся реакции. Свободная составляющая равна: U_2св (s)=A_1/(s+3,332)+A_2/(s+0,446-1,14j)+A_3/(s+0,446+1,14j) , вынужденная составляющая равна: U_2вын (s)=(U_21 (s))/(1-e^(-10πs) )
A_1≅0; A_2=(1,772-6,056j)∙〖10〗^(-5)≅0; A_3=A_2^*≅0
Отделим свободную составляющую от полной реакции и найдём U_21 (s). Слагаемые содержащие множитель e^(-10πs) в расчёт принимать не будем. По изображению U_21 (s) найдём оригинал, т.е. точное описание искомой периодической реакции в интервале 0<t<T=10π
U_21 (s)=(U_2 (s)-U_2св (s) )∙(1-e^(-10πs) )=((0,44s^2+1)∙(1-e^(-5πs) )^ )/(s-0,4j)(s+0,4j)(s+3,332)(s+0,446-1,14j)(s+0,446+1,14j) =
=(A_1/(s-0,4j)+A_2/(s+0,4j)+A_3/(s+3,332)+A_4/(s+0,446-1,14j)+A_5/(s+0,446+1,14j))(1-e^(-5πs) )
A_1=-0,093-0,232j=0,25e^(-1,952j);
A_2=-0,093+0,232j
A_3=0,054; A_4=0,066-0,024j=0,07∙e^(-0,349j); A_5=A_4^*=0,066+0,024j
Вычислим для 0<t<T=10π точное описание периодической реакции (ряд Фурье в «замкнутой» форме), т.е. всю сумму ряда Фурье:
u_2уст (t)=u_2вын (t)=u_21 (t)=(0,5∙cos⁡(0,4t-1,952)+0,054e^(-3,332t)+0,14e^(-0,446t)∙cos⁡(1,14t-0,349))∙δ_1 (t)-
-[0,5∙cos⁡(0,4(t-5π)-1,952)+0,054e^(-3,332(t-5π) )+0,14e^(-0,446(t-5π) )∙cos⁡(1,14(t-5π)-0,349)]∙δ_1 (t-5π),
для 0<t<T=10π
Этот результат можно периодически продолжить для -∞<t<+∞
Построим график реакции, продолженной на несколько периодов, и сравним его с данными п.11:

u21(t) - график реакции найденной в «замкнутой» форме
u2(t) - график реакции найденной в п.11
Графики реакции, найденные в п.11 и в замкнутой форме в выбранном масштабе практически совпадают.

Выводы:

В результате выполнения курсовой работы для заданной цепи была определена реакция при воздействиях вида:
а) сигнала вида единичной ступенчатой и импульсной функции
б) одиночного импульса
в) периодической последовательности импульсов

Собственные частоты цепи: p_1=-3,332; p_2,3=-0,446±1,14j , следовательно, переходный процесс в цепи носит затухающий колебательный характер. Время переходного процесса: t_ПП=6,73.
Значение A(0)=0,5 □(⇒┴ ) площадь реакции равна половине площади входного воздействия
Значение A(∞)=0 □(⇒┴ ) сигнал на выходе непрерывен
Результат, полученный операторным методом в п.6 совпадает с этими предположениями: площадь выходного сигнала примерно равна нулю, выходной сигнал непрерывен.
├ ■(Полоса пропускания: 〖∆w〗_ПП=[0 ;1]@Ширина спектра: 〖∆w〗_СП=[0 ;1,042] )┤| □(⇒┴ ) спектр сигнала попадает в полосу пропускания цепи.
Сигнал на выходе цепи имеет небольшие искажения. Время задержки выходного сигнала t_з=0,93. Входной периодический сигнал при его прохождении через цепь также искажается незначительно, так как в полосу пропускания цепи попадают первые 5 гармоник спектра сигнала, несущие основную энергию. Время задержки периодического сигнала t_з=0,911.

Список используемой литературы:

Учебное пособие «Курсовое проектирование по теории электрических цепей».
Ю.А. Бычков, В.М. Золотницкий, Э.П. Чернышёв «Сборник задач и практикум по основам ТЭЦ».
Ю.А. Бычков, В.М. Золотницкий, Э.П. Чернышёв «Основы теоретической электротехники».