Вектор
Вектор
- це величина, яка характеризується
числовим значенням і напрямком. Під
направленим відрізком
розуміють
впорядковану пару точок, перша з яких
- точка A
- називається його початком,
а друга - B
- його кінцем.
В геометрії розглядають вектори, що не
залежать від точки прикладання (вільні
вектори).
Вектори позначають двома способами:
малими буквами латинського алфавіту (наприклад,
);
двома великими буквами латинського алфавіту (наприклад,
), де перша буква - початок вектора, а друга - кінець.
Графічно
вектори зображають у вигляді направлених
відрізків певної довжини
.
Рис.1. Вектор AB з початком в A і кінцем в B.
Примітка. Поняття вектора з'явилося в роботах німецького математика XIX ст. Г. Грассмана та ірландського математика У. Гамільтона. Згодом воно було охоче сприйняте багатьма математиками і фізиками. В сучасній математиці це поняття відіграє дуже важливу роль.
Чисельне
значення вектора
називається
модулем
чи довжиною
і позначається |
|.
Довжина вектора - це довжина відрізка,
що зображає цей вектор.
Вектори
і
називають
протилежно
напрямленими,
якщо протилежно напрямлені півпрямі
і
.
Вектори
і
називають
співнапрямленими,
якщо співнапрямлені півпрямі
і
.
Рис.2. Протилежно напрямлені вектори.
Рис.3. Співнапрямлені вектори.
Вектор,
початок і кінець якого збігаються,
називається нульовим
і позначається
.
Нульовий вектор має довжину 0. Напрям
нульового вектора не визначений. Нульовий
вектор прийнято рахувати співнапрямленим
з будь-яким вектором. Вважається, що
нульовий вектор одночасно паралельний
і перпендикулярний будь-якому вектору.
Колінеарними називаються вектори, які зображаються відрізками, що лежать на одній прямій чи на паралельних прямих.
Два вектора називаються рівними, якщо вони однієї довжини і їх напрямки збігаються.
Одиничний вектор (орт) - вектор, довжина якого рівна одиниці.
Вектори на площині
Числа
,
називаються
координатами
вектора
з
початком
і
кінцем
.
Примітка. Всі координати нульового вектора дорівнюють нулю.
Примітка. Вектори рівні, коли їх відповідні координати рівні.
Вектор
з координатами
і
позначається
.
Вектор
з
координатами
і
позначається
.
Використовуючи означення координат вектора довжину можна записати формулою
.
Дії над векторами на площині
Сумою
векторів
і
називають
вектор
.
Геометрично суму двох векторів можна знайти за:
правилом трикутника;
правилом паралелограма.
Правило трикутника
Для
складання двох векторів
і
за
правилом трикутника обидва ці вектора
переносяться паралельно самим собі
так, щоб початок одного з них збігався
з кінцем іншого. Тоді вектор суми
задається третьою стороною трикутника,
що утворився, причому його початок
збігається з початком першого вектора.
Рис.4. Правило трикутника.
Правило паралелограма
Для
складання двох векторів
і
за
правилом паралелограма обидва ці вектора
переносяться паралельно самим собі
так, щоб їх початки збігалися. Тоді
вектор суми задається діагоналлю
побудованого на них паралелограма, яка
виходить з їх спільного початку.
Рис.5. Правило паралелограма.
Різницею
векторів
і
називають
такий вектор
,
який в сумі з
дає
.
Рис.6. Різниця векторів.
Добуток вектора
на
число
називається
вектор
.
Два
вектори
і
колінеарні
тоді і лише тоді, коли їх відповідні
координати пропорційні
.
Скалярним
добутком векторів
і
називається
число, яке рівне сумі добутків відповідних
координат, тобто
.
Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними, тобто
,
де
-
кут між векторами
і
.