Построение эпюр продольных сил

Задача №1. Построение эпюр продольных сил, нормальных напряжений и перемещения поперечных сечений. Невесомый стержень переменного сечения и площадями А1,А2,А3 и длиной участков a, b, c , жестко закрепленный поконцам , находится под действием сил Р1 иР2. Модуль упругости Е =2∙〖10〗^5 МПа.
Дано:
А1=2,0 см2;
А2=2,1 см2;
А3=2,3 см2;
Р1=11кН;
Р2=12кН;
a=0,8 м ;
b=0,5м;
c=0,6м.
 
Решение
Для составления уравнения перемещений, отбросим одну из заделок и заменим ее действие на брус соответствующей силой. Этот статически определимый груз эквивалентен данному, так как сечение E фактически заделано, то есть ∆lE=0. Применяя принцип независимости действия силполучим:
∆lE =∆lE(P1) +∆l E(P2) +∆l E(X) =0
∆lДЕ(X)= (-X∙l"ЕД" )/(E∙A"1" ) =(-X∙0,56)/(2∙〖10〗^11∙2∙〖10〗^(-2) ) ="-X∙" 0.56/(4∙〖10〗^9 )=-X∙0,14∙〖10〗^(-9)(м)
∆lСД(P1) =(-(P"1+X" )l"СД" )/(E∙A"1" )=(-(P"1+X" )0,24)/(2∙〖10〗^9 )=(-(11000+X)∙0,24)/(4∙〖10〗^9 )=
=-(11000+X)∙0,12∙〖10〗^(-9)(м)
∆lВС(P1)=(-(P"1+X" )l"ВС" )/(E∙A"2" )=(-(P"1+X" )0,5)/(2∙〖10〗^9∙2,1)=(-(11000+X)∙0,5)/(4∙〖10〗^9 )=
= -(11000+X)∙0,12∙〖10〗^(-9) (м)
∆lАВ(P2) =((P"2" -P"1+X" )l"АВ" )/(E∙A"3" )=((P"2" -P"1+X" )0,6)/(4,6∙〖10〗^9 )=(1000+X)∙0,13∙〖10〗^(-9) (м)
∑_(E=1)^n▒∆l"k=0"
-X∙0,14∙〖10〗^(-9)-(11000+X)∙0,12∙〖10〗^(-9)-(11000+X)∙0,12∙〖10〗^(-9)
+(1000+X)∙0,13∙〖10〗^(-9)=0
X=("(22∙0,12-0,13)" 〖"10" 〗^"-6" )/("(0,13-0,14-0,12∙2)∙" 〖"10" 〗^"-9" )=2,77/(-0,25) "∙" 〖"10" 〗^"3" =-10,04 (кН)
Строим эпюру продольных сил
NED=X=10,04 кH
NDC=NCB=Х–P1 =10,04 -11=-0,96 кH
NBA=X +P2- P1=10=10+10,04-11=11,04кH
 
Масштабный коэффициент µ=11,04/50=0,22(кН/мм);
Строим эпюру нормальных напряжений σ:
σED= N_ED/A_1 = (10,04∙〖10〗^3)/(2∙〖10〗^(-4) ) = 502∙〖10〗^3 (МПа);
σDС= N_DС/A_2 = (-0,96∙〖10〗^3)/(2∙〖10〗^(-4) ) = -48∙〖10〗^3(МПа);
σCB= N_CB/A_2 = (-0,96∙〖10〗^3)/(2,1∙〖10〗^(-4) ) = -45,7∙〖10〗^3 (МПа);
σBA= N_AB/A_3 = (11,04∙〖10〗^3)/(2,3∙〖10〗^(-4) ) = 480∙〖10〗^3 (МПа);
Масштабный коэффициент µ=502/50=10,04(МПа/мм);
σ max= σCB =502∙〖10〗^3 (МПа) >σдоп =160(МПа) Условие прочности не выполняется.
Строим эпюру перемещений поперечных сечений l:
Δl=σl/E
ΔlE= 0 т.к. точка А заделана
ΔlD=ΔlE+ΔlED=0+(10,04∙0,56)/(4∙〖10〗^9 )= 1405,6∙10-9(м)
ΔlС=ΔlD+ΔlDC="1405,6∙" 〖"10" 〗^"9" +(-6137,6)/(4∙〖10〗^9 )= -1534,4∙10-9(м)
ΔlB=ΔlC+ΔlCB=-1534,4∙10-9 +6137,6/(4,2∙〖10〗^11 )= -1378,6∙10-9(м)
ΔlA=ΔlA+ΔlBA=-1378,6∙10-9 +(18137∙0,6)/(4,6∙〖10〗^9 )= 3873,09∙10-9(м)≈0
Масштабный коэффициент µ=3873,09/50=77,46(нм/мм).