Исследование искажений сигналов на выходе фильтра нижних частот

Курсовая работа по предмету «Электрика»
Информация о работе
  • Тема: Исследование искажений сигналов на выходе фильтра нижних частот
  • Количество скачиваний: 22
  • Тип: Курсовая работа
  • Предмет: Электрика
  • Количество страниц: 15
  • Язык работы: Русский язык
  • Дата загрузки: 2014-12-24 13:41:52
  • Размер файла: 408.09 кб
Помогла работа? Поделись ссылкой
Узнать стоимость учебной работы online!
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Решение задач
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Экзамен на сайте
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в ВАК
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Копирайтинг
  • Другое
Узнать стоимость
Информация о документе

Документ предоставляется как есть, мы не несем ответственности, за правильность представленной в нём информации. Используя информацию для подготовки своей работы необходимо помнить, что текст работы может быть устаревшим, работа может не пройти проверку на заимствования.

Если Вы являетесь автором текста представленного на данной странице и не хотите чтобы он был размешён на нашем сайте напишите об этом перейдя по ссылке: «Правообладателям»

Можно ли скачать документ с работой

Да, скачать документ можно бесплатно, без регистрации перейдя по ссылке:

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И.Ульянова (Ленина)» (СПбГЭТУ)



кафедра ТОЭ







Курсовая работа
по дисциплине
«Теоретические основы электротехники»

на тему
«Исследование искажений сигналов на выходе
фильтра нижних частот»

вариант №9







Выполнил:
Группа:
Факультет:

Проверил:







Санкт-Петербург 2014
Оглавление:

Задание к курсовой работе: 3
1. Нормирование параметров и переменных цепи: 4
2. Определение передаточной функции цепи: 4
3. Расчёт частотных характеристик цепи: 6
4. Составление уравнений состояния цепи: 8
5. Определение переходной и импульсной характеристик: 10
6. Вычисление реакции цепи при воздействии одиночного импульса на входе: 13
7. Определение спектральных характеристик одиночного импульса воздействия: 16
8. Вычисление спектра реакции при одиночном импульсе на входе: 18
9. Приближённый расчёт реакции по спектру при одиночном импульсе воздействия: 19
10. Определение спектра периодического входного сигнала: 20
11. Приближённый расчёт реакции при периодическом воздействии: 21
Выводы: 24
Список используемой литературы: 25












Задание к курсовой работе:

Цель курсовой работы: Практическое освоение и сравнение различных методов расчета цепей.
Задание: На вход электрической цепи с момента времени t=0 подается импульс напряжения u1. Реакцией цепи является напряжение u2=uR2. График импульса:
Закон изменения воздействия u1(t):
tи=31,4 мкс; T=31,4 мкс; Um=100 В;

Параметры цепи:
R1= R2=0,36 кОм; L1=0,45 мГн; L2=0,8 мГн; C1=6180 пФ;



1. Нормирование параметров и переменных цепи:

Базисные параметры: R_Б=R_2=0,36∙〖10〗^3 (Ом), w_Б=〖10〗^6 (с-1), u_б=U_m=100 (В)
R_1^*=R_1/R_Б =(0,36∙〖10〗^3)/(0,36∙〖10〗^3 )=1
R_2^*=R_2/R_Б =(0,36∙〖10〗^3)/(0,36∙〖10〗^3 )=1
L_1^*=(L_1∙w_Б)/R_Б =(0,45∙〖10〗^(-3)∙〖10〗^6)/(0,36∙〖10〗^3 )=1,25
L_2^*=(L_2∙w_Б)/R_Б =(0,8∙〖10〗^(-3)∙〖10〗^6)/(0,36∙〖10〗^3 )=20/9=2,222
C_1^*=C_1∙R_Б∙w_Б=〖6180∙10〗^(-12)∙0,36∙〖10〗^3 〖∙10〗^6=2,2248
t_и^* 〖=T〗^*=t_и∙w_Б=31,4∙〖10〗^(-6) 〖∙10〗^6=31,4
U_m^*=U_m/u_Б =1
Для простоты записи знак нормировки "*" в дальнейшем опускается
2. Определение передаточной функции цепи:


Передаточная функция по напряжению: H_U (s)=(U_2 (s))/(U_вх (s)) . Используем операторную схему замещения цепи при нулевых начальных условиях;
R_2=R_1=1; z_L1=sL_1=1,25s; z_L2=sL_2=2,222s; z_C1=1/(sC_1 )=1/2,2248s
Для нахождения H(s) используем метод пропорциональных величин:
Пусть, I_R2^ (s)=1 □(⇒┴ ) U_R2^ (s)=1 □(⇒┴ ) I_L2^ (s)=1 □(⇒┴ ) U_L2^ (s)=2,222s □(⇒┴ ) U_L1^+U_C1^=U_L2^+U_R2^ ⇒┴
□(⇒┴ ) I_L1^∙(z_L1+z_C1 )=U_L2^+U_R2^ □(⇒┴ ) I_L1^=(U_L2^+U_R2^)/(z_L1+z_C1 )=(2,222s+1)/(1,25s+1⁄2,2248s)=(4,944s^2+2,2248s)/(2,781s^2+1)=I_C1^ □(⇒┴ )
□(⇒┴ ) I_R1^=I_L2^+I_L1^=1+(4,944s^2+2,2248s)/(2,781s^2+1)=(7,725s^2+2,2248s+1)/(2,781s^2+1)=(U_R1^)/R_1 =U_R1^ □(⇒┴ )
U_вх^=U_R1^+U_L2^+U_R2^=(7,725s^2+2,2248s+1)/(2,781s^2+1)+2,222s+1=(6,179s^3+10,506s^2+4,4468s+2)/(2,781s^2+1)
H_U (s)=(U_R2^ (s))/(U_вх^ (s) )=(2,781s^2+1)/(6,179s^3+10,506s^2+4,4468s+2)=(0,45s^2+0,162)/(s^3+1,7s^2+0,72s+0,324)
Проверка:
1) H(0)=0,5; Схема замещения цепи при w=0:

u_R2=(u_вх R_2)/(R_1+R_2 )=0,5
2) H(∞)=0; Схема замещения цепи при w→∞:

u_R2=0
3) Нули функции: s_1,2^0=±0,6j и при s→∞. Напряжение u_R2=0 когда L_2≡ХХ, т.е когда s→∞; также напряжение на нагрузке u_R2=0 когда в последовательном соединении L_1 С_1 при s_1,2^ =±0,6j наблюдается резонанс напряжений (КЗ участка L_1 С_1).
Полюсы H(s): s_1=-1,34; s_2,3=-0,178±0,457j
Изобразим нули и полюсы на плоскости комплексной частоты s:
Практическая длительность переходного процесса:
t_пп≈3τ_max=3/min⁡{|Re s_1 |;|Re s_2 |;|Re s_3 | } =3/0,178=16,85
3. Расчёт частотных характеристик цепи:

Амплитудно-фазовая характеристика:
H(jw)=├ H(s)┤|_(s=jw)^ =(0,45(jw)^2+0,162)/((jw)^3+1,7(jw)^2+0,72(jw)+0,324)=(0,162-0,45w^2)/((0,324-1,7w^2 )+j(0,72w-w^3))
АЧХ:
A(w)=|H(jw) |=|0,162-0,45w^2 |/√((0,324-1,7w^2 )^2+(0,72w-w^3 )^2 )
ФЧХ:
Ф_H (w)=arg (H(jw) )=arg⁡(0,162-0,45w^2)-arctg⁡〖w/1,34-〗 arctg⁡〖(w-0,457)/0,178-arctg⁡〖(w+0,457)/0,178〗 〗, где
arg⁡(0,162-0,45w^2 )={■(0,если w<0,6@π,если w>0,6)┤
Полосу пропускания определяем на уровне 0,707∙|H(jw)|_max=0,707∙0,5=0,354
Частота среза: w_(〖ср〗_ )=0,423
Полоса пропускания: ∆w_ПП=[0; 0,423], что соответствует фильтру нижних частот
Графики АЧХ, ФЧХ и АФХ:



Оценка ожидаемых изменений амплитуды, времени запаздывания сигналов в предположении, что спектр входного сигнала попадёт в полосу пропускания:
Амплитуда выходного сигнала будет примерно равна половине амплитуды входного сигнала. ФЧХ в полосе пропускания близка к линейной, следовательно, искажение сигнала будет не существенным.
Время запаздывания определяется по наклону ФЧХ в области низких частот:
t_з=|∆Ф|/∆w=|-0,227-0|/(0,1-0)=2,27
Значение A(0)=0,5 □(⇒┴ ) площадь выходного сигнала равна половине площади входного сигнала
Значение A(∞)=0 □(⇒┴ ) сигнал на выходе будет непрерывным
4. Составление уравнений состояния цепи:

Используем метод вспомогательных источников: L≡ИТ;C≡ИН

1) i_C1=i_L1
2) i_R1=i_L1+i_L2=u_R1/R_1 =u_R1
i_R2=i_L2=u_R2/R_2 =u_R2
u_L2=u_вх-u_R1-u_R2=u_вх-i_L1-i_L2-i_L2=u_вх-i_L1-〖2i〗_L2
3) u_L1=u_вх-u_R1-u_C1=u_вх-i_L1-i_L2-u_c1
Используя соотношения u_L=Li_L^,i_C=Cu_C^ , получаем уравнения состояния:
{■(i_L1^=〖0,8u〗_вх-〖0,8i〗_L1-0,8i_L2-0,8u_c1@i_L2^=〖0,45u〗_вх-0,45i_L1-0,9i_L2@u_C1^=0,449i_L1 )┤
Для расчёта реакции u_R2 напишем уравнение связи: u_R2 (t)=i_R2 (t)=i_L2 (t)
Уравнения состояния в матричной форме:
[■(i_L1^@i_L2^@u_C1^ )]=[■(-0,8&-0,8&-0,8@-0,45&-0,9&0@0,449&0&0)][■(i_L1@i_L2@u_C1 )]+[■(0,8@0,45@0)]∙u_вх (1)
Проверка:
Для контроля уравнений (1) рассмотрим схемы замещения цепи при единичном ступенчатом воздействии u_вх=δ_1 (t):
1) При t=0+: L≡ХХ; C≡КЗ Получаем схему замещения цепи:

Схема 1
{■(u_L1 (0+)=1@u_L2 (0+)=1@i_C1 (0+)=0) □(⇒┴ ) {■(i_L1^ (0+)=(u_L1 (0+))/L_1 =0,8@i_L2^ (0+)=(u_L2 (0+))/L_2 =0,45@u_C1^ (0+)=(i_C1 (0+))/C_1 =0)┤ ┤ Из (1) при t=0+ : {■(i_L1^ (0+)=0,8@i_L2^ (0+)=0,45@u_C1^ (0+)=0)┤
2) При t→∞: C≡ХХ; L≡КЗ Получаем схему замещения цепи:

Схема 2
{■(i_L1 (∞)=0@i_L2 (∞)=0,5@u_C1 (∞)=0,5)┤ По уравнениям (1) приравняв их левую часть к 0 получаем: {■(i_L1 (∞)=0@i_L2 (∞)=0,5@u_C1 (∞)=0,5)┤
Находим характеристический полином:
det[(A)-p∙(E) ]=|■(-0,8-p&-0,8&-0,8@-0,45&-0,9-p&0@0,449&0&-p)|=〖-p〗^3-〖1,7p〗^2-0,719p-0,323=0
Корни характеристического полинома: p_1=-1,344; p_2,3=-0,178±0,457j
Корни характеристического полинома совпали с полюсами передаточной функции.
5. Определение переходной и импульсной характеристик:

1. Аналитический метод:
Входное воздействие u_вх=δ_1 (t), начальные условия – нулевые. Рассчитаем по уравнениям состояния ток i_L2, а затем, зная его, найдём переходную характеристику.
Общий вид решения: i_L2 (t)=i_(〖L2〗_СВ ) (t)+i_(〖L2〗_ВЫН ) (t)
Вынужденную составляющую решения находим из системы (1), приравняв левую часть к нулю:
{■(0=-〖0,8i〗_(〖L1〗_ВЫН )-0,8i_(〖L2〗_ВЫН )-0,8u_(〖C1〗_ВЫН )+0,8@0=-0,45i_(〖L1〗_ВЫН )-0,9i_(〖L2〗_ВЫН )+0,45@0=0,449i_(〖L1〗_ВЫН ) ) □(⇒┴ ) i_(〖L2〗_ВЫН ) (t)=0,5┤
Свободная составляющая решения: i_(〖L2〗_СВ ) (t)=〖A_1∙e〗^(p_1 t)+A_2∙e^(p_2 t)+A_3∙e^(p_3 t)
Для нахождения постоянных интегрирования A_k определим начальные значения i_L2 (0+),i_L2^ (0+) и
i_L2^ (0+).
Начальное значение тока i_L2 (0+)=i_L2 (0-)=0
Начальное значение первой производной i_L2^ (0+) находим по второму уравнению системы (1): i_L2^ (0+)=0,45-0,9i_L2 (0+)-0,45i_L1 (0+)=0,45
Начальное значение второй производной i_L2^ (0+) находим, продифференцировав второе уравнение системы (1): i_L2^ (0+)=-0,45i_L1^ (0+)-0,9i_L2^ (0+)=-0,45(0,8-0,8i_L1 (0+)-
-0,8i_L2 (0+)-0,8u_C1 (0+))-0,9∙0,45=-0,45∙0,8-0,9∙0,45=-0,765
Получаем систему для определения постоянных интегрирования A_k:
{■(i_L2 (0+)=A_1+A_2+A_3+i_(〖L2〗_ВЫН )@i_L2^ (0+)=p_1 A_1+p_2 A_2+p_3 A_3@i_L2^ (0+)=p_1^2 A_1+p_2^2 A_2+p_3^2 A_3 )┤или{■(0=A_1+A_2+A_3+0,5@0,45=-1,34A_1+(-0,178+0,457j) A_2+(-0,178-0,457j) A_3@-0,765=(-1,34)^2 A_1+(-0,178+0,457j)^2 A_2+(-0,178-0,457j)^2 A_3 )┤
Решая систему, получаем: A_1=-0,462; A_2,3=-0,0188±0,195j=0,196〖∙e〗^(±j∙1,667)
Реакцию u_R2 (t) найдём по уравнению связи:
h_1 (t)=u_2 (t)=i_L2 (t)=[0,5-0,462∙e^(-1,344t)+0,392∙e^(-0,178t) cos⁡〖(0,457t+1,667)〗 ]∙δ_1 (t)
Значения h_1 (0+)≅0 и h_1 (∞)=0,5, полученные по этому выражению и по схемам замещения цепи (см. прошлый пункт, схема 1 и схема 2) совпадают.
Находим импульсную характеристику h(t):
h(t)=h_1^ (t)=[0,621∙e^(-1,344t)-0,069∙e^(-0,178t) cos⁡(0,457t+1,667)-0,179∙e^(-0,178t)∙
∙sin⁡(0,457t+1,667)]δ_1 (t)=[0,621∙e^(-1,344t)+0,192∙e^(-0,178t) cos⁡(0,457t+3,605) ] δ_1 (t)
Графики переходной и импульсной характеристик:


2) Численный метод:
Уравнения состояния в матричной форме:
[■(i_L1^@i_L2^@u_C1^ )]=[■(-0,8&-0,8&-0,8@-0,45&-0,9&0@0,449&0&0)][■(i_L1@i_L2@u_C1 )]+[■(0,8@0,45@0)]∙u_вх
Входное воздействие u_вх=δ_1 (t), начальные условия – нулевые.
Для нахождения переходной характеристики используем явную форму алгоритма Эйлера:
[f_2k ]=[f_(2(k-1)) ]+∆t[A][f_(2(k-1)) ]+∆t[B][f_(1(k-1)) ]
Шаг расчёта: ∆t≤1/5 min{τ_min; T_min/4}
τ_min=1/min⁡{|Re s_1 |;|Re s_2 |;|Re s_3 | } =1/1,344=0,744 ; T_min/4=1/4∙2π/w=1/4∙2π/0,457=3,437
∆t≤0,744/5=0,1488; Выбираем ∆t=1/50=0,02

Оценка точности численного расчёта: для переходной характеристики:
1) k=50; ∆t∙k=1;h_(1_аналитически )=0,206107; h_(1_числ )=0,208679;ошибка:0,002572
2) k=200; ∆t∙k=4;h_(1_аналитически )=0,316374; h_(1_числ )=0,317278;ошибка:0,000904
3) k=500; ∆t∙k=10;h_(1_аналитически )=0,566386; h_(1_числ )=0,56703;ошибка:0,000643
Точность численного метода высока. Точность численного метода повышается с уменьшением ∆t.
6. Вычисление реакции цепи при воздействии одиночного импульса на входе:

Для упрощения записи примем, что t_и=T=31,4≈10π
1) Аналитический метод:
Для нахождения изображения по Лапласу U_1 (s) входного одиночного сигнала используем метод двойного дифференцирования:





Вторая производная входного сигнала:
u_1^ (t)=1/5π δ(t)-2/5π δ(t-5π)+1/5π δ(t-10π)
Изображение второй производной входного сигнала:
U_1^ (s)=1/5π-2/5π e^(-5πs)+1/5π e^(-10πs)
Изображение входного сигнала:
U_1 (s)=1/(5πs^2 )-2/(5πs^2 ) e^(-5πs)+1/(5πs^2 ) e^(-10πs)=
=1/(5πs^2 ) (1-e^(-5πs) )^2

Изображение реакции:
U_2 (s)=H(s)∙U_1 (s)=(0,45s^2+0,126)/(s^3+1,7s^2+0,72s+0,324)∙1/(5πs^2 ) (1-2e^(-5πs)+e^(-10πs) )^ =
=((0,45s^2+0,126)∙1⁄5π)/(s^2 (s+1,344)(s+0,178-0,457j)(s+0,178+0,457j))∙(1-2e^(-5πs)+e^(-10πs) )^
(U_2 ) ̃(s)=((0,45s^2+0,126)∙1⁄5π)/(s^2 (s+1,344)(s+0,178-0,457j)(s+0,178+0,457j))=A_1/s^2 +A_2/s+A_3/(s+1,344)+
+A_4/(s+0,178-0,457j)+A_5/(s+0,178+0,457j)
Находим коэффициенты разложения A_k:
A_1=├ ((0,45s^2+0,126)∙1⁄5π)/((s+1,344)(s+0,178-0,457j)(s+0,178+0,457j))┤|_(s=0)=0,032
A_2=├ (((0,45s^2+0,126)∙1⁄5π)/((s+1,344)(s+0,178-0,457j)(s+0,178+0,457j)))^ ┤|_(s=0)=-0,071
A_3=├ ((0,45s^2+0,126)∙1⁄5π)/(s^2 (s+0,178-0,457j)(s+0,178+0,457j))┤|_(s=-1,344)=0,022
A_4=├ ((0,45s^2+0,126)∙1⁄5π)/(s^2 (s+1,344)(s+0,178+0,457j))┤|_(s=-0,178+0,457j)=0,025-0,007j=0,026∙e^(-j∙0,273)
A_5=A_4^*=0,025+0,007j
(u_2 ) ̃(t)=(0,032t-0,071+0,022e^(-1,344t)+0,052e^(-0,178t)∙cos⁡(0,457t-0,273))∙δ_1 (t)
Выходной сигнал:
u_2 (t)=(u_2 ) ̃(t)∙δ_1 (t)-2(u_2 ) ̃(t-5π)∙δ_1 (t-5π)+(u_2 ) ̃(t-10π)∙δ_1 (t-10π)
u_2 (t)=(0,032t-0,071+0,022e^(-1,344t)+0,052e^(-0,178t)∙cos⁡(0,457t-0,273))∙δ_1 (t)-
-2∙[0,032(t-5π)-0,071+0,022e^(-1,344(t-5π))+0,052e^(-0,178(t-5π))∙cos⁡(0,457(t-5π)-0,273)]∙
∙δ_1 (t-5π)+[0,032(t-10π)-0,071+0,022e^(-1,344(t-10π))+┤
├ +0,052e^(-0,178(t-10π))∙cos⁡(0,457(t-10π)-0,273)]∙δ_1 (t-10π)
График реакции и изменённого в A(0) раз воздействия:

2) Численный метод:
Для нахождения реакции численным методом найдём сначала аналитическое выражение для входного воздействия:
u_1 (t)=1/5π t∙δ_1 (t)-2/5π (t-5π)∙δ_1 (t-5π)+1/5π(t-10π)∙δ_1 (t-10π)
Воспользуемся численным методом расчёта по уравнениям состояния, аналогично п.5:



Графики реакции, полученные численным и аналитическим методами, в выбранном масштабе практически совпадают.
Амплитуда выходного сигнала примерно равна половине амплитуды входного сигнала. Время задержки равно 2,5.
Площадь выходного сигнала: S_вых=∫_0^∞▒〖u_2 (t) 〗 dt=7,896≅1/2 S_вх=1/2∙1/2∙10π=7,854, сигнал на выходе непрерывен. Оценки, сделанные в п.3. корректны.

7. Определение спектральных характеристик одиночного импульса воздействия:

Спектральная плотность входного одиночного сигнала:
U_1 (jw)=├ U_1 (s) ┤|_(s=jw)=1/(5π〖(jw)〗^2 ) (1-e^(-5π(jw)) )^2=-1/(5πw^2 ) (e^2,5πjw/e^2,5πjw -e^(-2,5πjw)/e^2,5πjw )^2=
=(4∙(sin⁡2,5πw )^2)/(5πw^2 )∙e^(-5πjw)
Амплитудный спектр: A(w)=|U_1 (jw)|=(4∙(sin⁡2,5πw )^2)/(5πw^2 )
Фазовый спектр: Ф_1 (w)=-5πw
Найдём узлы амплитудного спектра: sin⁡2,5πw=0 □(⇒┴ ) w_УК=0,4k; k=±1;±2;±3…
При k=0, т.е. при w_ =0 получается неопределённость вида [0/0]. Для определения значения A(0) используем первый замечательный предел:
A(0)=[0/0]=lim┬(w→0)⁡〖(4∙(sin⁡2,5πw )^2)/(5πw^2 )〗=lim┬(w→0)⁡(sin⁡2,5πw/2,5πw┤∙├ sin⁡2,5πw/2,5πw∙5π)=5π
Значение A(0) равно площади входного сигнала: S_вх=5π=15,708
Графики амплитудного и фазового спектров:


Ширину спектра входного одиночного сигнала определяем по критерию первого лепестка: 〖∆w〗_СП=[0 ; 0,4]
├ ■(Полоса пропускания: 〖∆w〗_ПП=[0 ;0,423]@Ширина спектра: 〖∆w〗_СП=[0 ;0,4] )┤| □(⇒┴ ) первый лепесток спектра сигнала попадает в
полосу пропускания. Сигнал на выходе будет c незначительными искажениями. Т.к. значение АЧХ при w→0 равно 0,5, то площадь выходного сигнала равна половине площади входного сигнала. Т.к. значение АЧХ при w→∞ равно нулю, то сигнал на выходе непрерывен. Это подтверждает график выходного сигнала из п.6.
8. Вычисление спектра реакции при одиночном импульсе на входе:

Спектр реакции можно найти как:
U_2 (jw)=H(jw)∙U_1 (jw)
Амплитудный спектр реакции:
|U_2 (jw)|=|H(jw)|∙|U_1 (jw)|=|0,162-0,45w^2 |/√((0,324-1,7w^2 )^2+(0,72w-w^3 )^2 )∙(4∙(sin⁡2,5πw )^2)/(5πw^2 )
Фазовый спектр: Ф_2 (w)=Ф_H (w)+Ф_1 (w)=arg⁡(0,162-0,45w^2 )-arctg⁡〖w/1,344-〗 arctg⁡〖(w-0,457)/0,178〗-
-arctg⁡〖(w+0,457)/0,178〗-5πw
Графики амплитудного и фазового спектров:


9. Приближённый расчёт реакции по спектру при одиночном импульсе воздействия:

Будем искать реакцию по амплитудному и фазовому спектру. Для этого используем формулы связи спектра одиночного импульса u_2 с дискретным спектром периодического сигнала u_2п, составленного из периодической последовательности импульсов u_2:
U_2mk=2/T∙├ |U_2 (jw)| ┤|_(w=k∙w_1 )=2/T∙|0,162-0,45(kw_1 )^2 |/√((0,324-1,7(kw_1 )^2 )^2+(0,72kw_1-(kw_1 )^3 )^2 )∙(4∙(sin⁡〖2,5π∙〖kw〗_1 〗 )^2)/(5π〖(kw_1)〗^2 )
Ф_2k=├ Ф_2 (w)┤|_(w=k∙w_1 )=arg(0,162-0,45(kw_1 )^2)-arctg⁡〖(kw_1)/1,344-〗 arctg⁡〖(kw_1-0,457)/0,178〗-
-arctg⁡〖(kw_1+0,457)/0,178〗-5πkw_1
Для более точного расчёта, период T=2π/w_1 надо выбрать достаточно большим: возьмём T=40π.
Запишем ряд Фурье для сигнала u_2п:
u_2п (t)=U_20/2+∑_(k=1)^50▒〖U_2mk cos⁡(kw_1 t+Ф_2k ) 〗=0,063+0,119∙cos⁡(0,05t-0,897)+
+0,101∙ cos⁡(0,1t-1,798)+0,077∙cos⁡(0,15t-2,707)+0,05∙cos⁡(0,2t-3,63)+
+0,027∙cos⁡(0,25t-4,574)+...
Строим график суммы ряда Фурье в пределах периода – это приближённый график u_2 (t) и график реакции, рассчитанной операторным методом в п.6.:
u2 – реакция, рассчитанная операторным методом в п.6; u2pr – приближённый расчёт реакции


Из графика видно, что приближённый расчёт реакции по спектру достаточно точен. Точность увеличивается при увеличении числа гармоник и увеличении периода.
10. Определение спектра периодического входного сигнала:

Для получения спектральных характеристик входного периодического сигнала используем связь спектральных характеристик одиночного и периодического сигналов:
Амплитудный спектр: U_1mk=2/T∙├ |U_1 (jw)| ┤|_(w=k∙w_1 )=4/〖π^2 k〗^2 (sin⁡〖πk/2〗 )^2
Фазовый спектр: Ф_1k=├ Ф_1 (w)┤|_(w=k∙w_1 )=-πk , где k=0,1,…K_ф ; K_ф – число гармоник ряда Фурье, определяется по ширине спектра: K_ф=w_сп/w_1 =0,4/0,2=2; w_1=2π/T=2π/10π=0,2 – частота основной гармоники. Для увеличения точности аппроксимации возьмём три слагаемые ряда, не считая постоянной составляющей: k=0,1,…5
Запишем отрезок ряда Фурье для входного периодического сигнала:
u_1 (t)≈U_10/2+∑_(k=1)^5▒〖U_1mk∙cos⁡〖(kw_1 t+Ф_1k )=〗 〗 1/2+0,405cos⁡〖(0,2t-π)+0,045 cos⁡〖(0,6t-π)+〗 〗 0,016 cos⁡(t-π)
Амплитудный и фазовый дискретные спектры воздействия:


Графики исходного входного периодического сигнала (u1(t)) и после аппроксимации его отрезком ряда Фурье (u1k(t)), а также графики отдельных составляющих:

11. Приближённый расчёт реакции при периодическом воздействии:

Выходной сигнал u_2 (t) представляем в виде отрезка ряда Фурье:
u_2 (t)=U_20/2+∑_(k=1)^5▒〖U_2mk cos⁡(kw_1 t+Ф_2k ) 〗,где w_1=2π/T=0,2
Амплитудный дискретный спектр реакции:
U_2mk=|H(jkw_1)|∙U_1mk=|0,162-0,45(0,2k)^2 |/√((0,324-1,7(0,2k)^2 )^2+(0,72∙0,2k-(0,2k)^3 )^2 )∙4/〖π^2 k〗^2 (sin⁡〖πk/2〗 )^2
Фазовый дискретный спектр реакции:
Ф_2k=Ф_H (kw_1 )+Ф_1k=arg⁡(0,162-0,45(0,2k)^2 )-arctg⁡〖0,2k/1,34-〗 arctg⁡〖(0,2k-0,457)/0,178-〗 arctg⁡〖(0,2k+0,457)/0,178〗-πk
Отрезок ряда Фурье реакции имеет вид:
u_2 (t)=U_20/2+∑_(k=1)^5▒〖U_2mk cos⁡(kw_1 t+Ф_2k ) 〗=0,5/2+0,201cos⁡(0,2t-3,63)+2,347∙〖10〗^(-5) cos⁡〖(0,6t-2,499)+〗
+2,347∙〖10〗^(-3) cos⁡(t-3,344)
Амплитудный и фазовый дискретные спектры реакции:

График ряда Фурье реакции:

Из графика видно, что периодический сигнал при его прохождении через цепь искажается не значительно. Выходной сигнал запаздывает на t_з=2,356 по отношению к входному сигналу.

Выводы:

В результате выполнения курсовой работы для заданной цепи была определена реакция при воздействиях вида:
а) сигнала вида единичной ступенчатой и импульсной функции
б) одиночного треугольного импульса
в) периодической последовательности треугольных импульсов

Собственные частоты цепи: p_1=-1,344; p_2,3=-0,178±0,457j , следовательно переходный процесс в цепи носит затухающий колебательный характер. Время переходного процесса: t_ПП=16,85.
Значение A(0)=0,5 □(⇒┴ ) площадь реакции равна половине площади входного воздействия
Значение A(∞)=0 □(⇒┴ ) сигнал на выходе непрерывен
Результат, полученный операторным методом в п.6 совпадает с этими предположениями: площадь выходного сигнала примерно равна половине площади входного, выходной сигнал непрерывен.
├ ■(Полоса пропускания: 〖∆w〗_ПП=[0 ;423]@Ширина спектра: 〖∆w〗_СП=[0 ;0,4] )┤| □(⇒┴ ) первый лепесток спектра сигнала попадает в
полосу пропускания цепи. Сигнал на выходе цепи имеет небольшие искажения. Время задержки выходного сигнала: t_з=2,4. Периодический входной сигнал при его прохождении через цепь также искажается незначительно, так как в полосу пропускания цепи попадает первая гармоника спектра сигнала, несущая основную часть энергии сигнала. Выходной периодический сигнал запаздывает на t_з=2,356 по отношению к входному сигналу. 
Список используемой литературы:

Учебное пособие «Курсовое проектирование по теории электрических цепей».
Ю.А. Бычков, В.М. Золотницкий, Э.П. Чернышёв «Сборник задач и практикум по основам ТЭЦ».
Ю.А. Бычков, В.М. Золотницкий, Э.П. Чернышёв «Основы теоретической электротехники».