Векторы и действия над ними

Статьи по предмету «Математика»
Информация о работе
  • Тема: Векторы и действия над ними
  • Количество скачиваний: 2
  • Тип: Статьи
  • Предмет: Математика
  • Количество страниц: 4
  • Язык работы: Русский язык
  • Дата загрузки: 2014-06-22 18:30:12
  • Размер файла: 19.95 кб
Помогла работа? Поделись ссылкой
Ссылка на страницу (выберите нужный вариант)
  • Векторы и действия над ними [Электронный ресурс]. – URL: https://www.sesiya.ru/staty/matematika/790-vektory-i-deystviya-nad-nimi/ (дата обращения: 25.06.2021).
  • Векторы и действия над ними // https://www.sesiya.ru/staty/matematika/790-vektory-i-deystviya-nad-nimi/.
Есть ненужная работа?

Добавь её на сайт, помоги студентам и школьникам выполнять работы самостоятельно

добавить работу
Обратиться за помощью в подготовке работы

Заполнение формы не обязывает Вас к заказу

Информация о документе

Документ предоставляется как есть, мы не несем ответственности, за правильность представленной в нём информации. Используя информацию для подготовки своей работы необходимо помнить, что текст работы может быть устаревшим, работа может не пройти проверку на заимствования.

Если Вы являетесь автором текста представленного на данной странице и не хотите чтобы он был размешён на нашем сайте напишите об этом перейдя по ссылке: «Правообладателям»

Можно ли скачать документ с работой

Да, скачать документ можно бесплатно, без регистрации перейдя по ссылке:

Раздел1: 1.Векторы и действия над ними.

Величины, которые полностью определяются своим числовым значением, такие как масса, объем, площадь, длинна и т.д. называются скалярными величинами.
Другие величины, такие как сила, скорость и ускорение определяются не только числовыми значениями, но и направлением, называются векторами.
Вектором будем называть направленный отрезок, т.е. отрезок имеющий определённую длину и направление. Если точкаА начало, а точка В конец, то его изображают отрезком с направлением и обозначают А̅В с чертой. Вектор, длина которого равна 0, называют нулевым вектором и обозначают 0̅ . Считается что 0̅ не имеет направления. Вектор длина которого равна 1 называется единичным вектором. Векторы а и b называются коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой или на параллельных прямых.
Нулевой вектор считают коллинеарным, любому вектору. Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково и противоположно. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины. Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.
Действие над векторами:
1) Сложение векторов (правило треугольника). Суммой нескольких векторов называется вектор, соединяющий начало первого вектора и конец последнего, если каждый последующий вектор, начиная со второго отложен из конца предыдущего. Свойства:
1) Сложение векторов коммутативно, т.е. a+b=b+a.
2) Сложение векторов ассоциативно, т.е. (a+b)+c=a+(b+c).
3) Есликвекторуa+o=a=o+a.
2)Произведение вектора на число.
Произведением вектора а на число α называют вектор αa, который удовлетворяет след.условие:
1) Длина вектора |αa|=|α|*|a|.
2) αa||a.
3) Векторы αa и a одинаково направлены, если α>0 и противоположно направлены если α<0.
Вектор (-1)а=-а называется противоположным а.
Отметим так же ещё некоторые свойства:
1) 1*a=a.
2) (α*β)*a=α*(β*a).
3) (α+β)*a=α*a+β*a.
4) α*(a+b)=α*a+α*b.
Свойства:
1. 2 вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда а=tв.
2. 3 вектора коллинеарны когда а=qb+wc.
3)Разность векторов.
Разностью векторов a,b будем назыв. такой вектор с, который в сумме с вектором b даёт вектор a.



2.Координаты вектора, разложение вектора по ортам координатных осей.
Пусть в пространстве или на плоскости задана ось L и вектор A,B. Пусть проекция точки А на ось L есть точка A1, а проекция точки B это точка B1. Проекция вектора AB на ось L называется число длина вектора |AB| взятая со знаком +, если вектор АВ и ось L направленно одинаково и со знаком – если вектор АВ направлена противоположно.
Координаты вектора в пространстве удовлетворяют след, св-вам:
1)Если a=(Ax, Ay, Az) b=(Bx, By, Bz), то a+b=(Ax+Bx, Ay+By, Az+Bz).
2)a-b=(Ax-Bx, Ay-By, Az-Bz).
3)αa=(αAx,αAy,αAz).
Теорема Если точка A(x₁,y₁,z₁) B(x₂,y₂,z₂) являются началом и концом вектора АВ, то вектор АВ=(x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁).
i,j,k- называются ортами координатных осей. На координатных осях изобразим единичные вектора, совпадающие по направлению с координатными осями и имеющими начало в точке 0. Пусть задан а=(ах,ау,аz). Изобразим вектор а исходящий из начала координат. Нетрудно заметить, что ов=аyj, oc=axi, oo1=azk. Надо выразить 0А1 через орты. Такое разложение а называется разложением по ортам координатных осей.




3.Скалярное произведение векторов.
Определение Скалярное произведение двух ненулевых векторов a,bназывают число равное произведению длин этих векторов на Cos угла между ними т.еa*b=|a|*|b|*Cosα, где α угол между a,b.
Свойства:
1)Скалярное произведение коммутативно a*b=b*a.
2)Ненулевые векторы a и b перпендикулярны (ортогональны) друг к другу  их скалярное произведение = 0.
3)(a+b)*c=a*c+b*c
4)(k*a)*b=k*(a*b)=a*(k*b)
5)Скалярное произведение вектора а т.е. a*a=a²=|a|*|a|*Cos0 = |a|² =>|a|=sqrt(a*a).
ТеоремаЕсли a=(Ax,Ay,Az) b=(Bx,By,Bz) то a*b=Ax*Bx+Ay*By+Az*Bz.
Д. заменить разложением по ортам.
Следствие 1 a=(Ax,Ay,Az) b=(Bx,By,Bz) то соsа между ними вычисляется по формуле соsа=(ахвх+анвн+фзвз)/(sqrt(ax^2+ay^2+az^2)sqrt(bx^2+by^2+bz^2)).










4.Векторное произведение векторов.
Определение три некомпланарных вектора a,b,c взятые в указанном порядке правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от перового вектора а ко второму вектору b виден совершающейся против часовой стрелки, если же указанный поворот осуществляется против часовой стрелки, то тройка векторов называется левой тройкой.
Определение векторным произведением называется вектор с, который удовлетворяет следующим 3 условиям:
1)c ортогонален a, c ортогонален b.
2)a,b,c правая тройка.
3)|c|=|a|*|b|*Sinα, α-угол между a и b.
Свойства векторного пространства:
1)a*a=0.
2)a||ba*b=0.
3)a*b=-(b*a).
4)(a+b)*c=a*c+b*c.
i j k
Ax Ay Az
Bx By Bz
5)(k*a)*b=k*(a*b)=a*(k*b).
Ay Az
By Bz
ТеоремаЕсли a=(Ax,Ay,Az) b=(Bx,By,Bz) => a*b= =i* -

Ax Az
Bx Bz
Ax Ay
Bx By
-j* + k*


Д. Заменим разложение векторов а и в по ортам координатных осей.


5.Смешаное произведение векторов.
Рассмотрим произведение 3 векторов a,b,cсоставленная следующим образом (a*b)*c. Очевидно что такое произведение является числом и называется смешанным произведением векторов a,b,c.
Геометрический смысл смешанного произведения состоит в том, что произведение (a*b)*c=V параллелепипеда построенному на векторах a,b,c и взято со знаком + если 3 вектора правая тройка и со знаком – если 3 вектора левая тройка. Объем треугольной пирамиды равен 1/6 * |abc|.
Свойства смешанного пространства:
1) Смешанное произведение не меняется при циклической перестановки сомножителей т.е. (a*b)*c=a→b→c=(c*a)*b=(b*c)*a.
2) Смешанное произведение не меняется, если поменять знаки произведения т.е. (aхb)*c=a*(bхc).
3) Смешанное произведение меняет знак при перемене мест любых двух векторов сомножителей т.е. a*b*c=-b*a*c=-c*b*a.
4) Смешанное произведение ненулевых векторов равно 0  они компланарны.
Ax Ay Az
Bx By Bz
Cx Cy Cz
ТеоремаЕсли a=(Ax,Ay,Az) b=(Bx,By,Bz) c=(Cx,Cy,Cz) => a*b*c=