Аналитическая геометрия в пространстве

Раздел3: Аналитическая геометрия в пространстве.

1.Плоскость в пространстве.
Рассмотри вектор М0М=(х-х0,у-у0,z-z0) векторы n и N0М перпенд друг другу,поэтому их скалярное произведение n*M0M=0,A*(x-x0)+B*(y-y0)+C*(Z-Z0)=0,это уровнение плоскости проход через данную точку м0,перпенд n)Преобразуес полученок уровн: Ах+Ву+Сz+(-Ax0-By0-Cz0)=0(что в скобках обозначим за D) Ах+Ву+Сz+D это уровнение общей плоскости.В предыдущем уровнении точка м0 называлась начаьной точкой ,вектор n – нормальный вектор плоскости .Если точка М(х1 y1,z1)то расстояние от этой точки до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 определяется по формуле 1/√(A^(2+〖c^2 + B〗^2 ) ) |Ах+Ву+Сz+D|.
Пусть М(х1,у1,z1) M2(x2,y2,z2) ,m3(x3,y3,z3);посто уровн плоск проход через три эти торчки
M(x,y,z) произвоьная точка искомой плоскости.
M1M=(x-x1,y-y1,z-z1)
M1M2=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
M1M3=(x3-x1,y3-y1,z3-z1) УКАзанные векторы комплонарны ,поэтому их смешенное произведение =0. M1M* M1M2* M1M3=0
|█(x-x1,y-y1,z-z1@█(x2-x1,y2-y1,z2-z1@█(x3-x1,y3-y1,z3-z1@)))| =0 уровнение плоскости по торём точкам. Угол между плоскостями α1 и α2которые заданы общим уровнениями d1:A1x+B1y+C1Z+D1=0; d2:A2x+B2y+C2Z+D1=0;
D1:n1=(a1,b1,c1) D2:n2=(A2,B2,C2); нетрудно доказать что угол междк плоскостями α1 α2 вычисляется как угол между нормальными вектормаи N1*N2=|n1|*|n2|* cosα.

 
2.Прямая в пространстве.










Раздел4: Линейная алгебра: тема1.
1.Определение векторного пространства и его следствие.
О. Непустое множество V называется векторным пространством над полем P, а элементы этого множества – векторами, если для них выполняются следующие аксиомы:
1. Любым двум векторам x, y € V соответствует однозначно определённый элемент x+y € V и называемый их суммой, причём:
1.1.(x+y)+z=x+(y+z) ¥ x, y, z€ V;
1.2. x+y=y+x ¥ x, y € V;
1.3. Е 0 € V, ¥x € V x+0=0+x=x;
1.4. ¥x € VЕ (-x) € V, x+(-x)=(-x)+x=0;
2. Любым двум элементам ¥ α € P и ¥x € V соответствует однозначно определённый элемент αx € V называемый произведением элементов α и x:
2.1. α(βx)= (αβ)x ¥α,β €P , ¥x € V;
2.2. Если 1 – единичный элемент P, то ¥x € V 1x=x;
2.3. (α+β)x= αx+βx, ¥ αβ€ P, ¥x € V;
2.4. α(x+y)= αx+αy ¥ α€ P, ¥x, y € V;
Следуя традициям аналитической геометрии векторы будем обозначать буквой и чертой над ней.
В качестве поля P чаще всего понимают поле действительных чисел или поле комплексных чисел.
Если P=R, то V действительное векторное пространство.
Если P=C, то V – комплексное векторное пространство.
Операции сложения сложение и умножение векторов на числа называются линейными операциями. Поэтому векторные пространства часто называются линейными пространствами.
Лемма 1.1.
Пусть V – векторное пространство над полем P, тогда:
1)В пространстве V нулевой вектор единственный.
2) ¥x € V, x – единственный.
3) Если 0 – нулевой элемент поля, то ¥x € V 0*x=0.
4) ¥ α€ P, α*0=0.
5) Если αx=0, => α=0, либо x=0.
6) α€ P, x € V (-α)x= α(-x)=-( αx).
7) x+(-y)=x-y и называется разностью этих векторов.

 
2.Примеры векторного пространства.
1. Поле P является векторным пространством над полем P с оператором сложения и умножения, которые определены в поле V. В частности R- действительное векторное пространство. С – комплексное векторное пространство.
2. Множество С – является действительным векторным пространством.
3. Множество {0} состоящее из одного нулевого пространства является векторным пространством над полем P.
4. Действительными векторными пространствами являются множества V1, V2, V3 геометрических векторов на прямой, на плоскости и в пространстве соответственно с обычными операциями сложения и умножения векторов на действительное число.
5. Пусть P – поле. Множество P^n={(α1,α2,…,αn)(αi∈P)} – называется n-ой декартовой степенью множества P. Это множество является векторным пространством над полем Р, если операции определяются следующим образом:
(α1,α2,…,αn)+(β1,β2,…,βn)=(α1+β1,α2+β2,…,αn+βn)
∀ (α1,α2,…,αn)=(kα1,kα2,…,kαn) ∀k∈P – это векторное пространство называется арифметическим n-мерным пространством над полем Р.
6. Пусть Р – поле, k,m€N. Множества M_(k,m) (P) всех матриц размера k*m над полем Р относительно сложения и умножения матриц на число является векторным пространством над полем Р. В частности векторным пространством над полем Р является множество M_n (P) всех квадратных матриц порядка n над полем Р.
7. Множество P[x] всех многочленов одной независимой переменной x над полем Р явл. векторным пространством над полем Р относительно сложения и умножения многочленов на элементы поля Р. В частности множество P_n [x] всех многочленов над полем Р, степени которых не превосходят натуральные числа N также является векторным пространством над полем Р.
8. Множество всех функций f действующих из множества R в R образует действительное векторное пространство, если сложение и умножение функций на действительное число задаются следующими правилами:
(f+g)(x) = f(x) + g(x)
(kf)(x)=kf(x) ∀k∈ R, ∀x∈ R.
3.Определение линейной зависимости и независимости системы векторов. Признак линейной зависимости векторов.
Пусть задана конечная система векторов x1, x2, …, xn векторного пространства V над полем Р.
О.2.1. Система векторов x1, x2, …, xk векторного пространства V над полем Р называется линейно-зависимой, если существуют числа α1,α2,…,αk∈P, одновременно не равные 0, и также, что α1x1+α2x2+⋯+αkxk=0.
О.2.2. Система векторов x1, x2, …, xk векторного пространства V над полем Р называется линейно-независимой, если равенство α1x1+α2x2+⋯+αkxk=0 выполняется только в том случае, когда α1=α2=⋯=αk=0.
О.2.3. Если β1,β2,…,βn∈P и x1, x2, …, xn € V, то y= β1x1,β2x2,…,βnxn называются линейной комбинацией векторов x1, x2, …, xn, а коэффициенты β1,β2,…,βn – коэффициентами этой линейной комбинации.
Т.2.1. (Признак линейной зависимости векторов).
Система векторов x1, x2, …, xn (n>1) векторного пространства V над полем Р линейно-зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из этих векторов является линейной комбинацией остальных векторов.
4.Свойствто линейно зависимых векторов (Т. 2.2 и 2.3 и их следствие).
Т.2.2. Если часть системы векторов (подсистема) линейно-независима, то и вся система также линейно-зависима.
Следствие 2.2.1. Система векторов содержащая нулевой вектор - линейно-зависима. Система векторов содержащая 2 пропорциональных вектора - линейно-зависима.
Следствие 2.2.2. Любая подсистема линейно-независимая система векторов также линейно-независима.
Т.2.3. Система векторов x1≠0, x2…xn (n>1) пространства V над полем Р линейно-зависима тогда и только тогда, когда какой-либо её вектор является линейной комбинацией предыдущих векторов.
Следствие 2.3.1. Если система векторов α1,α2,…,αm векторного пространства V над полем Р линейно-независима, а система векторов α1,α2,…,αm,b - линейно-зависима, то вектор b является линейной комбинацией векторов α1,α2,…,αm.


5.Определение базиса векторного пространства (конечномерные и бесконечномерные векторные пространства и пример, теорема о линейной зависимости системы векторов, число которых больше числа векторов в базисе и Т. 3.1 и её следствие).
Опр. Пусть V, над Р системы векторов e1,e2,…,eN принадлежат V над базисом простр V, если выполняются след. 2 условия: 1. Эта система векторов линейно не зависима. 2. Любой вектор пространства V линейно выражается через вектора этой системы, т.е. явл. Линейной комбинацией этих векторов(x принадлежит V, x=a1e1+a2e2+…+aNeN)
Опр. Векторное пространство имеющее базис называется конечномерным векторным пространством. Нулевое векторное пространство также называется конечномерным.
Опр. Если для любыxn принадлежащих N в векторном пространстве V имеются n лин. Независ. Векторов, то простр. Наз. Бесконечномерным.
Пример. Рассмотрим векторное простр. Р[х] многочленов над одной переменной ч над полем Р. Это простр. явл бесконечно мерным для любых n принадлежащих N, a1=1, a2=2, an=x^n-1. Эта система векторов линейно независима. Если Alpha1*a1+ Alpha2*a2+…+ Alphan*an=0? Nj Alpha1*1+ Alpha2*x+…+ Alphan*x^n-1=0+0*x+0*x^2+…+0*x^n-1+… Следовательно Alpha1=a1, Alpha2=0 … Alphan=0;
Теорема. Если в векторном пространстве V сущ. Базис состоящий из n векторов, то для любых S, S>n, линейно зависима.

 
6.Определение и примеры размерности векторного пространства (Т. О базисе, Т.3.2 и 3.3).
Опр 3.3 Векторное пространство V в котором существует базис состоящее из n векторов называется n-мерным векторным пространством. Нулевое пространство называется нульмерным. Если пространство n-мерное, то число n называется размерностью V. (dimV=n), dim{0}=0;
Примеры:
1)dimV^1=1; dimV^2=2, dimV^3=3;
2)C, dimC=2 (Где С – множество компл. чисел)
3)Р^n={(Alpha1, Alpha2,…, Alphan) | Alpha(i-тое) принадлежит Р}, dimP^n=n;
4)M(С индексами k,n) от Р; dimM(С индексами k,n) от Р=k*n;; dimM(С индексoм n) от Р=n^2;
5)dimP[x]=бесконечности; dimP(IndexN)[x]=n+1;
ТеоремаЕсли размерн. вект. пространства известна и размерность V=n, то её принято указывать при обозначении векторного пространства вместо обозначения V. Обозначение V(Indexn)
Теорема. Любую независимую систему векторов можно дополнить до базиса векторного пространства.

7.Определение координата вектора в базисе. Однозначные координаты(Т.4.1). Свойства координат вектора (Т. 4.2 и её следствие).
Определение Пусть e₁,…en базис векторного пространства Vn над полем P, a произвольный вектор этого пространства. По определению базиса вектор а является линейной комбинацией базисных векторов т.е. существует λ₁…λn€P такие что а=λ₁е₁+…+λnen такое представление a называют разложением вектора а по базису. А число λ₁…λn называют координатам вектора а данного базиса.
Теорема координаты вектора относительно заданных базиса, определены однозначно.
Теорема справедливы следующие утверждения:
1) При сложении векторов заданных координатами водном и том же базисе векторного пространства соответственно координаты складываются.
2) При умножении вектора на число каждая координата вектора умножается на это число.
Следствие Если координатная строка (x),(y) задана в базисе е₁,…,еn векторного пространства
Vn, над полем P то:
1) (x+y)=(x)+(y)
2) (k*x)=k(x) для любого k€P

 
8.Матрица перехода от базиса к базису, её свойства (Т.5.1 и её следствие). Связь между координатными строками вектора в разных базисах (Т.5.2).
Пусть е₁…еn базис Vn, P. a₁,…an другой базис Vn, P. Первый базис будем называть старым базисом, а второй новым базисом. Т.к любой вектор пространства Vn является линейной комбинацией, то можно записать разложение векторов нового базиса по старому.
a₁=λ₁₁e₁+λ₁₂e₂+…+λ₁nen
a₂=λ₂₁e₁+λ₂₂e₂+…+λ₂nen (обозначим это (*)).
……………………………………
an=λn₁e₁+λn₂e₂+…+λnnen

А=(■(λ₁₁&⋯&λ₁n@…&…&…@λn₁&⋯&λnn))(█(〖e₁〗^ @…@en)) называется матрицей перехода от старого базиса к новому.

В матричной формуле (*) можно записать следующим образом [а]=A[e].
Формула (*) называется формулой преобразования базиса.
Теорема Матрица перехода от одного базиса к другому невырождена, причём если А матрица перехода от старого базиса к новому то матрица А⁻ˡ есть матрица перехода от нового базиса к старому.
Теорема Пусть (х) задана базисом е₁,е₂…еn и (х)ˡ задана базисом а₁,а₂,…,аnVn, P. Если матрица А есть матрица перехода е₁,е₂…еn к базису а₁,а₂…аn то:
1) (x)=(x)ˡ*A
2) (x)ˡ=(x)*A⁻ˡ

9.Изоморфизм векторного пространства и его свойства (Лемма 6.1 и Т.6.1 и следствия).
Опр. Два вект. простр. U,V над Р наз изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение ФИ вект. простр. UV (Существует ФИ: UB)  1) ФИ (x+Y)= ФИ (x)+ ФИ (y); 2) ФИ (k*x)=k* ФИ (x);
Отображение ФИ в этом случает наз. Изоморфным вект. простр. Если простр. U и V изоморфны, то пишут U сравнимо V;
Лемма 6.1 (Простейшие св-ва). Пусть ФИ изоморфизм вект. простр. U и V над полем Р, тогда:
0(вектор) – нулевоеU, ФИ (0) – нулевое в V;
Если х принадлежит U, то ФИ (-x)=- ФИ (х)
Если а1,а2,…,аN линейно независ. Система векторов простр. U то ФИ (а1), ФИ (а2),…,ФИ(аK) – линейно независ. Система вект. простр Р.
Если b1,b2,…,bN лин завис сист вект простр U, тоФИ (b1), ФИ (b2),…,ФИ(bN) так же лин. Завис. Сист векторов простр Р
Следствие. Конечномерные вект простр над одним и тем же полем изоморфны т. и т.т., когда из размерности равны.
Следствие. Каждое n-мерное пространство V(Indexn) над полем Р изоморфное вект. простр. Р^n.
Р^n={(Alpha1, Alpha2,…, Alphan) | Alpha(i) принадлежит Р}

10.Определение подпространства векторного пространства, признак подпространств. Пример подпространств линейной оболочки векторов (Лемма о размерности подпространства).
Опр: подпространство векторного пространств V над P называется такое подмножество L содержащееся в V которое само является вектором пространства над Р относит. тех же операторов Которые заданы в пространстве V.
Теор.(признак подпространства)
Подмножество L векторного пространства V над Р является подпространством. пространства V тогда и только тогда когда вып.2 условия
1)x ̅+ӯ∈L∀ х,у∈L
2)k*x ̅∈L для любого к ∈P и для любогоx ̅∈L
Примеры подпространства векторного пространства
1)для любого векторного пространства V над Р само пространство V и нулевое множ-во {Ō} является подпространством пространства Р эти подпространства назыв тривиальными или не собственными подпространствами
2)вектор пространства V11 V22 явл подространством пространства V3
3)векторное пространство Рn[x] явл подпростр. Р[x]
4)подпростр. Простр Mn(Р) явояется множество L={A∈Mn(P)|A=AТ}матрцы принадлеж L-называется симметрической
5)общий способ получ.подпространства заключается в следующем:возьмем в векторном пространстве V над Р произвольные вектора (а1) ̅…(an) ̅∈V
Лемма каждое под пространство Wn-мерного векторного пространства Vnнад Р конечномерно при чем размерность W<= n если размерность W=n =>W=Vn
Док-ва базис подпространства W не может содержать векторов больше чем n ,поэтому размерность W<= n,если размерность W=n,то ∃ базис а1….аn в пространстве W,эти вектора образуют базис и пространства Vn т.к они линейно независимы.тогда любой вектор x ̅∈Vnявляется линейной комбинацией этих базисных векторов x ̅=α1а1+…+αnan∈WVnсодержится W=>Vn=W

11.Сумма и пересечение подпространств их свойства (Т.8.1).
Опр. Пусть U1….Uk подпространство векторного пространства W над Р пересечение этих подпространств называется множество векторов которые одновременно пренадлежат каждому из этих подпространств.
Обозначим пересечение попространств U1∩….∩Uk называется множество всех векторов а∈V которые представимы в виде а=U1+….+UkUI принадлежит Uii=1.2….n обозначим сумму подпр-в U1+…+Uk=∑_(i=1)^kUi
Теорема сумма и пересечение подпростр-ва веторного пространства сново является его подпространством
Док-во пусть U1…Uk подпространтсва векторного пространства V над Р 1)пусть D= ∩ki=1UiМножество D≠∅ т.к ō∈D пусть вектора а,b ∈D тогда a,b∈Ui∀i=1…nТ.к каждое из Ui является подпр-во пространства V.то Ui<=V=>a+b∈Ui ∀k∈P,∀i=1…k, k,a∈Ui следовательноa+b∈D и к,a∈D по признаку подпр-ва.D- явлыется подпространством пространства V
2)пусть L=∑ki=1 Uiподмножество L≠∅,т.к ō=ō1+…+ōk∈L. Пусть а,b∈L тогда =>a=U1+…+Ukb=w1+..+w2 где uiwi∈Ui∀i=1..k,тогда a+b=(u1+w1)+…+(uk+wk). L*a=lu1+..+luk-эти вектора a+b и la∈L т.к. Ui+Wi∈Ui,Lui∈Ui∀i=1..k по признаку подпростр-в L является подпространством пространства V.
12.Размерность суммы подпространств (Т.8.2 и лемма 8.1).
Теор. Размерность суммы 2х конечно мерных подпространств векторного пространства равного сумме их размерности-размерность их пересечения U,W-подпр-ваV,то dim(U+W)=dimU+dimW-dim(U∩W)
Док-воесли одно подпр-в V или W нулевое, то формула выполняется U={ō} dim{ō}=0
Пусть подпр-ва V и W не нулевые конечно мерные подпрстр-ва и пусть A=U+W, D=U∩W и по лемме подпростр-во D конечно мерное,т.к. оно является подпростр-м конечно мерного про-ва U. Пусть b1…bk ,базис пространства D.если не D={ō} т.к сис-ма векторов b1…bk линейно независима,если можно дополнить до базиса b1…bk,uk+1…ukпростр-во U аналогично эту же сис-му векторов можно дополнить до базиса b1…bk,uk+1…uk,базис W
Таким образом dimW=L,dimW=m,dimD=dim(U∩W)=k для док-ва теоремы достаточно показать,что размерность dim(U+W)=m+l-k. (m+l-k)-для этого покажем что сис-ма векторов b1…bk,uk+1…uk , wk+1…wmявляется базисом подпростр-ва A=U+W.если показать что сумма всех векторов b1…bk,uk+1…uk+b1…bk,uk+1…uk∈U
Покажем что любой вектор из пространства А является линейной комбинацией этих векторов.пусть вектора а∈А тогда вектор а=U+W где U∈U1w∈W т.к b1…ul-базис пространства U1=>u является линейной комбинацией этих векторов т.к b1…bkwk+1…wm-базис W=>w является линейной комбинацией тих векторов =>а есть линейная комбинация векторов b1…bkwk+1…wm
таким образом размерность(U+W)=m+l-k
Лемма.справедливы следующее утверждения
1)если e1...ek ,базис подпростр-ва U вектор прост-ва V то U=L(e1...ek)
2)если U=L(a1…ak).W=L(b1…bm)=>U+W=L((a1…ak, b1…bm)

13.Прямая сумма подпространств и её свойства (Т.9.1).
Опр. Пусть L1 и L2 подпростр-во векторного прост-ва V над Р подпростр-во L1+L2 называется прямой суммой подпростр-в L1 и L2 , если L1 ∩L2 = {ō}
Прямая сумма подпростр-в обозначается L1 ⨁L2 dim(V1+V2)=dimV1+dimV2-dim(V1∩V2)
Размерность (L1 ⨁L2)=dimL1 +dimL2 если e1...en–базис пространства L1 a1…an-,базис пространства L2 то базис L1 ⨁L2 e1...en
a1…an
Теор любой вектор принадлежащий прямой сумме подпростр-в L1 и L2 вектора прост-ва V над Р однозначно представимы в виде суммы векторов L1 и L2
Док-вопредположим что ∃x ̅∈L1 ⨁L2 который допускаетразличные представления в виде x ̅=+x ̅2 x ̅=y ̅1 +y ̅2 x1y1 ∈L1 x2y2 ∈L2 тогда x ̅1 -y ̅1 = (y2) ̅-x ̅2
Обозначим a=x1-y1=x1+(-y1) и a=y2+(-x2) т.к. L1 и L2 подпростр-во , то a=x1-y1∈L1
a=y2+(-x2) ∈L2 =>a∈L1∩∈L2 но т.к. L1 ∩L2 = {ō},то а= ō,тогда x ̅1 -y ̅1= ō y2+(-x2)= ō =>x ̅1 =y ̅1 x ̅2 =y ̅2 и представим вектор а через векторы подпростр-в L1 L2 однозначно