Аналитическая геометрия в пространстве

Статьи по предмету «Математика»
Информация о работе
  • Тема: Аналитическая геометрия в пространстве
  • Количество скачиваний: 0
  • Тип: Статьи
  • Предмет: Математика
  • Количество страниц: 11
  • Язык работы: Русский язык
  • Дата загрузки: 2014-06-22 21:01:10
  • Размер файла: 300.17 кб
Помогла работа? Поделись ссылкой
Ссылка на страницу (выберите нужный вариант)
  • Аналитическая геометрия в пространстве [Электронный ресурс]. – URL: https://www.sesiya.ru/staty/matematika/792-analiticheskaya-geometriya-v-prostranstve/ (дата обращения: 12.05.2021).
  • Аналитическая геометрия в пространстве // https://www.sesiya.ru/staty/matematika/792-analiticheskaya-geometriya-v-prostranstve/.
Есть ненужная работа?

Добавь её на сайт, помоги студентам и школьникам выполнять работы самостоятельно

добавить работу
Обратиться за помощью в подготовке работы

Заполнение формы не обязывает Вас к заказу

Информация о документе

Документ предоставляется как есть, мы не несем ответственности, за правильность представленной в нём информации. Используя информацию для подготовки своей работы необходимо помнить, что текст работы может быть устаревшим, работа может не пройти проверку на заимствования.

Если Вы являетесь автором текста представленного на данной странице и не хотите чтобы он был размешён на нашем сайте напишите об этом перейдя по ссылке: «Правообладателям»

Можно ли скачать документ с работой

Да, скачать документ можно бесплатно, без регистрации перейдя по ссылке:

Раздел3: Аналитическая геометрия в пространстве.

1.Плоскость в пространстве.
Рассмотри вектор М0М=(х-х0,у-у0,z-z0) векторы n и N0М перпенд друг другу,поэтому их скалярное произведение n*M0M=0,A*(x-x0)+B*(y-y0)+C*(Z-Z0)=0,это уровнение плоскости проход через данную точку м0,перпенд n)Преобразуес полученок уровн: Ах+Ву+Сz+(-Ax0-By0-Cz0)=0(что в скобках обозначим за D) Ах+Ву+Сz+D это уровнение общей плоскости.В предыдущем уровнении точка м0 называлась начаьной точкой ,вектор n – нормальный вектор плоскости .Если точка М(х1 y1,z1)то расстояние от этой точки до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 определяется по формуле 1/√(A^(2+〖c^2 + B〗^2 ) ) |Ах+Ву+Сz+D|.
Пусть М(х1,у1,z1) M2(x2,y2,z2) ,m3(x3,y3,z3);посто уровн плоск проход через три эти торчки
M(x,y,z) произвоьная точка искомой плоскости.
M1M=(x-x1,y-y1,z-z1)
M1M2=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
M1M3=(x3-x1,y3-y1,z3-z1) УКАзанные векторы комплонарны ,поэтому их смешенное произведение =0. M1M* M1M2* M1M3=0
|█(x-x1,y-y1,z-z1@█(x2-x1,y2-y1,z2-z1@█(x3-x1,y3-y1,z3-z1@)))| =0 уровнение плоскости по торём точкам. Угол между плоскостями α1 и α2которые заданы общим уровнениями d1:A1x+B1y+C1Z+D1=0; d2:A2x+B2y+C2Z+D1=0;
D1:n1=(a1,b1,c1) D2:n2=(A2,B2,C2); нетрудно доказать что угол междк плоскостями α1 α2 вычисляется как угол между нормальными вектормаи N1*N2=|n1|*|n2|* cosα.


2.Прямая в пространстве.










Раздел4: Линейная алгебра: тема1.
1.Определение векторного пространства и его следствие.
О. Непустое множество V называется векторным пространством над полем P, а элементы этого множества – векторами, если для них выполняются следующие аксиомы:
1. Любым двум векторам x, y € V соответствует однозначно определённый элемент x+y € V и называемый их суммой, причём:
1.1.(x+y)+z=x+(y+z) ¥ x, y, z€ V;
1.2. x+y=y+x ¥ x, y € V;
1.3. Е 0 € V, ¥x € V x+0=0+x=x;
1.4. ¥x € VЕ (-x) € V, x+(-x)=(-x)+x=0;
2. Любым двум элементам ¥ α € P и ¥x € V соответствует однозначно определённый элемент αx € V называемый произведением элементов α и x:
2.1. α(βx)= (αβ)x ¥α,β €P , ¥x € V;
2.2. Если 1 – единичный элемент P, то ¥x € V 1x=x;
2.3. (α+β)x= αx+βx, ¥ αβ€ P, ¥x € V;
2.4. α(x+y)= αx+αy ¥ α€ P, ¥x, y € V;
Следуя традициям аналитической геометрии векторы будем обозначать буквой и чертой над ней.
В качестве поля P чаще всего понимают поле действительных чисел или поле комплексных чисел.
Если P=R, то V действительное векторное пространство.
Если P=C, то V – комплексное векторное пространство.
Операции сложения сложение и умножение векторов на числа называются линейными операциями. Поэтому векторные пространства часто называются линейными пространствами.
Лемма 1.1.
Пусть V – векторное пространство над полем P, тогда:
1)В пространстве V нулевой вектор единственный.
2) ¥x € V, x – единственный.
3) Если 0 – нулевой элемент поля, то ¥x € V 0*x=0.
4) ¥ α€ P, α*0=0.
5) Если αx=0, => α=0, либо x=0.
6) α€ P, x € V (-α)x= α(-x)=-( αx).
7) x+(-y)=x-y и называется разностью этих векторов.


2.Примеры векторного пространства.
1. Поле P является векторным пространством над полем P с оператором сложения и умножения, которые определены в поле V. В частности R- действительное векторное пространство. С – комплексное векторное пространство.
2. Множество С – является действительным векторным пространством.
3. Множество {0} состоящее из одного нулевого пространства является векторным пространством над полем P.
4. Действительными векторными пространствами являются множества V1, V2, V3 геометрических векторов на прямой, на плоскости и в пространстве соответственно с обычными операциями сложения и умножения векторов на действительное число.
5. Пусть P – поле. Множество P^n={(α1,α2,…,αn)(αi∈P)} – называется n-ой декартовой степенью множества P. Это множество является векторным пространством над полем Р, если операции определяются следующим образом:
(α1,α2,…,αn)+(β1,β2,…,βn)=(α1+β1,α2+β2,…,αn+βn)
∀ (α1,α2,…,αn)=(kα1,kα2,…,kαn) ∀k∈P – это векторное пространство называется арифметическим n-мерным пространством над полем Р.
6. Пусть Р – поле, k,m€N. Множества M_(k,m) (P) всех матриц размера k*m над полем Р относительно сложения и умножения матриц на число является векторным пространством над полем Р. В частности векторным пространством над полем Р является множество M_n (P) всех квадратных матриц порядка n над полем Р.
7. Множество P[x] всех многочленов одной независимой переменной x над полем Р явл. векторным пространством над полем Р относительно сложения и умножения многочленов на элементы поля Р. В частности множество P_n [x] всех многочленов над полем Р, степени которых не превосходят натуральные числа N также является векторным пространством над полем Р.
8. Множество всех функций f действующих из множества R в R образует действительное векторное пространство, если сложение и умножение функций на действительное число задаются следующими правилами:
(f+g)(x) = f(x) + g(x)
(kf)(x)=kf(x) ∀k∈ R, ∀x∈ R.
3.Определение линейной зависимости и независимости системы векторов. Признак линейной зависимости векторов.
Пусть задана конечная система векторов x1, x2, …, xn векторного пространства V над полем Р.
О.2.1. Система векторов x1, x2, …, xk векторного пространства V над полем Р называется линейно-зависимой, если существуют числа α1,α2,…,αk∈P, одновременно не равные 0, и также, что α1x1+α2x2+⋯+αkxk=0.
О.2.2. Система векторов x1, x2, …, xk векторного пространства V над полем Р называется линейно-независимой, если равенство α1x1+α2x2+⋯+αkxk=0 выполняется только в том случае, когда α1=α2=⋯=αk=0.
О.2.3. Если β1,β2,…,βn∈P и x1, x2, …, xn € V, то y= β1x1,β2x2,…,βnxn называются линейной комбинацией векторов x1, x2, …, xn, а коэффициенты β1,β2,…,βn – коэффициентами этой линейной комбинации.
Т.2.1. (Признак линейной зависимости векторов).
Система векторов x1, x2, …, xn (n>1) векторного пространства V над полем Р линейно-зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из этих векторов является линейной комбинацией остальных векторов.
4.Свойствто линейно зависимых векторов (Т. 2.2 и 2.3 и их следствие).
Т.2.2. Если часть системы векторов (подсистема) линейно-независима, то и вся система также линейно-зависима.
Следствие 2.2.1. Система векторов содержащая нулевой вектор - линейно-зависима. Система векторов содержащая 2 пропорциональных вектора - линейно-зависима.
Следствие 2.2.2. Любая подсистема линейно-независимая система векторов также линейно-независима.
Т.2.3. Система векторов x1≠0, x2…xn (n>1) пространства V над полем Р линейно-зависима тогда и только тогда, когда какой-либо её вектор является линейной комбинацией предыдущих векторов.
Следствие 2.3.1. Если система векторов α1,α2,…,αm векторного пространства V над полем Р линейно-независима, а система векторов α1,α2,…,αm,b - линейно-зависима, то вектор b является линейной комбинацией векторов α1,α2,…,αm.


5.Определение базиса векторного пространства (конечномерные и бесконечномерные векторные пространства и пример, теорема о линейной зависимости системы векторов, число которых больше числа векторов в базисе и Т. 3.1 и её следствие).
Опр. Пусть V, над Р системы векторов e1,e2,…,eN принадлежат V над базисом простр V, если выполняются след. 2 условия: 1. Эта система векторов линейно не зависима. 2. Любой вектор пространства V линейно выражается через вектора этой системы, т.е. явл. Линейной комбинацией этих векторов(x принадлежит V, x=a1e1+a2e2+…+aNeN)
Опр. Векторное пространство имеющее базис называется конечномерным векторным пространством. Нулевое векторное пространство также называется конечномерным.
Опр. Если для любыxn принадлежащих N в векторном пространстве V имеются n лин. Независ. Векторов, то простр. Наз. Бесконечномерным.
Пример. Рассмотрим векторное простр. Р[х] многочленов над одной переменной ч над полем Р. Это простр. явл бесконечно мерным для любых n принадлежащих N, a1=1, a2=2, an=x^n-1. Эта система векторов линейно независима. Если Alpha1*a1+ Alpha2*a2+…+ Alphan*an=0? Nj Alpha1*1+ Alpha2*x+…+ Alphan*x^n-1=0+0*x+0*x^2+…+0*x^n-1+… Следовательно Alpha1=a1, Alpha2=0 … Alphan=0;
Теорема. Если в векторном пространстве V сущ. Базис состоящий из n векторов, то для любых S, S>n, линейно зависима.


6.Определение и примеры размерности векторного пространства (Т. О базисе, Т.3.2 и 3.3).
Опр 3.3 Векторное пространство V в котором существует базис состоящее из n векторов называется n-мерным векторным пространством. Нулевое пространство называется нульмерным. Если пространство n-мерное, то число n называется размерностью V. (dimV=n), dim{0}=0;
Примеры:
1)dimV^1=1; dimV^2=2, dimV^3=3;
2)C, dimC=2 (Где С – множество компл. чисел)
3)Р^n={(Alpha1, Alpha2,…, Alphan) | Alpha(i-тое) принадлежит Р}, dimP^n=n;
4)M(С индексами k,n) от Р; dimM(С индексами k,n) от Р=k*n;; dimM(С индексoм n) от Р=n^2;
5)dimP[x]=бесконечности; dimP(IndexN)[x]=n+1;
ТеоремаЕсли размерн. вект. пространства известна и размерность V=n, то её принято указывать при обозначении векторного пространства вместо обозначения V. Обозначение V(Indexn)
Теорема. Любую независимую систему векторов можно дополнить до базиса векторного пространства.

7.Определение координата вектора в базисе. Однозначные координаты(Т.4.1). Свойства координат вектора (Т. 4.2 и её следствие).
Определение Пусть e₁,…en базис векторного пространства Vn над полем P, a произвольный вектор этого пространства. По определению базиса вектор а является линейной комбинацией базисных векторов т.е. существует λ₁…λn€P такие что а=λ₁е₁+…+λnen такое представление a называют разложением вектора а по базису. А число λ₁…λn называют координатам вектора а данного базиса.
Теорема координаты вектора относительно заданных базиса, определены однозначно.
Теорема справедливы следующие утверждения:
1) При сложении векторов заданных координатами водном и том же базисе векторного пространства соответственно координаты складываются.
2) При умножении вектора на число каждая координата вектора умножается на это число.
Следствие Если координатная строка (x),(y) задана в базисе е₁,…,еn векторного пространства
Vn, над полем P то:
1) (x+y)=(x)+(y)
2) (k*x)=k(x) для любого k€P


8.Матрица перехода от базиса к базису, её свойства (Т.5.1 и её следствие). Связь между координатными строками вектора в разных базисах (Т.5.2).
Пусть е₁…еn базис Vn, P. a₁,…an другой базис Vn, P. Первый базис будем называть старым базисом, а второй новым базисом. Т.к любой вектор пространства Vn является линейной комбинацией, то можно записать разложение векторов нового базиса по старому.
a₁=λ₁₁e₁+λ₁₂e₂+…+λ₁nen
a₂=λ₂₁e₁+λ₂₂e₂+…+λ₂nen (обозначим это (*)).
……………………………………
an=λn₁e₁+λn₂e₂+…+λnnen

А=(■(λ₁₁&⋯&λ₁n@…&…&…@λn₁&⋯&λnn))(█(〖e₁〗^ @…@en)) называется матрицей перехода от старого базиса к новому.

В матричной формуле (*) можно записать следующим образом [а]=A[e].
Формула (*) называется формулой преобразования базиса.
Теорема Матрица перехода от одного базиса к другому невырождена, причём если А матрица перехода от старого базиса к новому то матрица А⁻ˡ есть матрица перехода от нового базиса к старому.
Теорема Пусть (х) задана базисом е₁,е₂…еn и (х)ˡ задана базисом а₁,а₂,…,аnVn, P. Если матрица А есть матрица перехода е₁,е₂…еn к базису а₁,а₂…аn то:
1) (x)=(x)ˡ*A
2) (x)ˡ=(x)*A⁻ˡ

9.Изоморфизм векторного пространства и его свойства (Лемма 6.1 и Т.6.1 и следствия).
Опр. Два вект. простр. U,V над Р наз изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение ФИ вект. простр. UV (Существует ФИ: UB)  1) ФИ (x+Y)= ФИ (x)+ ФИ (y); 2) ФИ (k*x)=k* ФИ (x);
Отображение ФИ в этом случает наз. Изоморфным вект. простр. Если простр. U и V изоморфны, то пишут U сравнимо V;
Лемма 6.1 (Простейшие св-ва). Пусть ФИ изоморфизм вект. простр. U и V над полем Р, тогда:
0(вектор) – нулевоеU, ФИ (0) – нулевое в V;
Если х принадлежит U, то ФИ (-x)=- ФИ (х)
Если а1,а2,…,аN линейно независ. Система векторов простр. U то ФИ (а1), ФИ (а2),…,ФИ(аK) – линейно независ. Система вект. простр Р.
Если b1,b2,…,bN лин завис сист вект простр U, тоФИ (b1), ФИ (b2),…,ФИ(bN) так же лин. Завис. Сист векторов простр Р
Следствие. Конечномерные вект простр над одним и тем же полем изоморфны т. и т.т., когда из размерности равны.
Следствие. Каждое n-мерное пространство V(Indexn) над полем Р изоморфное вект. простр. Р^n.
Р^n={(Alpha1, Alpha2,…, Alphan) | Alpha(i) принадлежит Р}

10.Определение подпространства векторного пространства, признак подпространств. Пример подпространств линейной оболочки векторов (Лемма о размерности подпространства).
Опр: подпространство векторного пространств V над P называется такое подмножество L содержащееся в V которое само является вектором пространства над Р относит. тех же операторов Которые заданы в пространстве V.
Теор.(признак подпространства)
Подмножество L векторного пространства V над Р является подпространством. пространства V тогда и только тогда когда вып.2 условия
1)x ̅+ӯ∈L∀ х,у∈L
2)k*x ̅∈L для любого к ∈P и для любогоx ̅∈L
Примеры подпространства векторного пространства
1)для любого векторного пространства V над Р само пространство V и нулевое множ-во {Ō} является подпространством пространства Р эти подпространства назыв тривиальными или не собственными подпространствами
2)вектор пространства V11 V22 явл подространством пространства V3
3)векторное пространство Рn[x] явл подпростр. Р[x]
4)подпростр. Простр Mn(Р) явояется множество L={A∈Mn(P)|A=AТ}матрцы принадлеж L-называется симметрической
5)общий способ получ.подпространства заключается в следующем:возьмем в векторном пространстве V над Р произвольные вектора (а1) ̅…(an) ̅∈V
Лемма каждое под пространство Wn-мерного векторного пространства Vnнад Р конечномерно при чем размерность W<= n если размерность W=n =>W=Vn
Док-ва базис подпространства W не может содержать векторов больше чем n ,поэтому размерность W<= n,если размерность W=n,то ∃ базис а1….аn в пространстве W,эти вектора образуют базис и пространства Vn т.к они линейно независимы.тогда любой вектор x ̅∈Vnявляется линейной комбинацией этих базисных векторов x ̅=α1а1+…+αnan∈WVnсодержится W=>Vn=W

11.Сумма и пересечение подпространств их свойства (Т.8.1).
Опр. Пусть U1….Uk подпространство векторного пространства W над Р пересечение этих подпространств называется множество векторов которые одновременно пренадлежат каждому из этих подпространств.
Обозначим пересечение попространств U1∩….∩Uk называется множество всех векторов а∈V которые представимы в виде а=U1+….+UkUI принадлежит Uii=1.2….n обозначим сумму подпр-в U1+…+Uk=∑_(i=1)^kUi
Теорема сумма и пересечение подпростр-ва веторного пространства сново является его подпространством
Док-во пусть U1…Uk подпространтсва векторного пространства V над Р 1)пусть D= ∩ki=1UiМножество D≠∅ т.к ō∈D пусть вектора а,b ∈D тогда a,b∈Ui∀i=1…nТ.к каждое из Ui является подпр-во пространства V.то Ui<=V=>a+b∈Ui ∀k∈P,∀i=1…k, k,a∈Ui следовательноa+b∈D и к,a∈D по признаку подпр-ва.D- явлыется подпространством пространства V
2)пусть L=∑ki=1 Uiподмножество L≠∅,т.к ō=ō1+…+ōk∈L. Пусть а,b∈L тогда =>a=U1+…+Ukb=w1+..+w2 где uiwi∈Ui∀i=1..k,тогда a+b=(u1+w1)+…+(uk+wk). L*a=lu1+..+luk-эти вектора a+b и la∈L т.к. Ui+Wi∈Ui,Lui∈Ui∀i=1..k по признаку подпростр-в L является подпространством пространства V.
12.Размерность суммы подпространств (Т.8.2 и лемма 8.1).
Теор. Размерность суммы 2х конечно мерных подпространств векторного пространства равного сумме их размерности-размерность их пересечения U,W-подпр-ваV,то dim(U+W)=dimU+dimW-dim(U∩W)
Док-воесли одно подпр-в V или W нулевое, то формула выполняется U={ō} dim{ō}=0
Пусть подпр-ва V и W не нулевые конечно мерные подпрстр-ва и пусть A=U+W, D=U∩W и по лемме подпростр-во D конечно мерное,т.к. оно является подпростр-м конечно мерного про-ва U. Пусть b1…bk ,базис пространства D.если не D={ō} т.к сис-ма векторов b1…bk линейно независима,если можно дополнить до базиса b1…bk,uk+1…ukпростр-во U аналогично эту же сис-му векторов можно дополнить до базиса b1…bk,uk+1…uk,базис W
Таким образом dimW=L,dimW=m,dimD=dim(U∩W)=k для док-ва теоремы достаточно показать,что размерность dim(U+W)=m+l-k. (m+l-k)-для этого покажем что сис-ма векторов b1…bk,uk+1…uk , wk+1…wmявляется базисом подпростр-ва A=U+W.если показать что сумма всех векторов b1…bk,uk+1…uk+b1…bk,uk+1…uk∈U
Покажем что любой вектор из пространства А является линейной комбинацией этих векторов.пусть вектора а∈А тогда вектор а=U+W где U∈U1w∈W т.к b1…ul-базис пространства U1=>u является линейной комбинацией этих векторов т.к b1…bkwk+1…wm-базис W=>w является линейной комбинацией тих векторов =>а есть линейная комбинация векторов b1…bkwk+1…wm
таким образом размерность(U+W)=m+l-k
Лемма.справедливы следующее утверждения
1)если e1...ek ,базис подпростр-ва U вектор прост-ва V то U=L(e1...ek)
2)если U=L(a1…ak).W=L(b1…bm)=>U+W=L((a1…ak, b1…bm)

13.Прямая сумма подпространств и её свойства (Т.9.1).
Опр. Пусть L1 и L2 подпростр-во векторного прост-ва V над Р подпростр-во L1+L2 называется прямой суммой подпростр-в L1 и L2 , если L1 ∩L2 = {ō}
Прямая сумма подпростр-в обозначается L1 ⨁L2 dim(V1+V2)=dimV1+dimV2-dim(V1∩V2)
Размерность (L1 ⨁L2)=dimL1 +dimL2 если e1...en–базис пространства L1 a1…an-,базис пространства L2 то базис L1 ⨁L2 e1...en
a1…an
Теор любой вектор принадлежащий прямой сумме подпростр-в L1 и L2 вектора прост-ва V над Р однозначно представимы в виде суммы векторов L1 и L2
Док-вопредположим что ∃x ̅∈L1 ⨁L2 который допускаетразличные представления в виде x ̅=+x ̅2 x ̅=y ̅1 +y ̅2 x1y1 ∈L1 x2y2 ∈L2 тогда x ̅1 -y ̅1 = (y2) ̅-x ̅2
Обозначим a=x1-y1=x1+(-y1) и a=y2+(-x2) т.к. L1 и L2 подпростр-во , то a=x1-y1∈L1
a=y2+(-x2) ∈L2 =>a∈L1∩∈L2 но т.к. L1 ∩L2 = {ō},то а= ō,тогда x ̅1 -y ̅1= ō y2+(-x2)= ō =>x ̅1 =y ̅1 x ̅2 =y ̅2 и представим вектор а через векторы подпростр-в L1 L2 однозначно