Линейная алгебра

Раздел 5: Линейная алгебра: тема2.
1.Линейное отображение их классификация и примеры.
Опред. Пусть V, W – векторные простр. P отображение f простр-в, V->W (f:V->W) нося линейные отобр-я этих простр-в, если вып-ся два условия:
Усл-е аддитивности: f(¯x+¯y)=f(¯x)+(¯y) для любых ¯x , ¯y € V
Усл-е однородности: f(k*¯x)=k*f(x), ∀ К € Р, для люб х € V
Различают неск-ко типов линейных отобр-й вект-х простр-в
Опр-е 1.2 Линейным оператором вектотрного протр-ва V, наз-ся линейное отобр-е V, в себя,изоморфизмом вект простр V, W, называется взаимно однозначное линейн отоброжен v, в W линейным преобразованием (автоморфизм) векторного простр-ва ¯v наз-ся взаимно однозначное отобр-е простр-ва V в себя. Чтобы избежать путаницы лин-х отобр-й нужно польз-ся руководством по след-й табл-цы.
Термин Общ-е свойство Выдел-е св-во
Линейное отобр-е
f(¯x+¯y)=f(¯x)+(¯y)
f( λ¯x)=λ(x) f:V→W
изоморфизм f:V→W
f-биекция(взаим одн)
Линейныйоператор f:V→V
Линейныйпреобрзов. f:V→V,F биекция
Примеры лин-х отобр-й
Отобр-е O:V→W определ. Правило отобр-я O:¯x→¯Ow, ∀ х€V наз-ся нулевым отобр-м
Пусть V→Р α – фиксированый элемент из P отобр Uα: V→V опред-ся правилом Uα:¯x→α¯x ∀ х€ V является линейным оператором про-ва V и называется оператором подобия про-ва V с коэфиц-м α, в частности если α=0, то U0=0,отображен. Если α=1 то и каждому x ставим в соотв-и тот же x, ∀ х €V этот оператор назыв-ся тождественным оператором про-ва V и обознач-т E. Не трудно проверить что при α≠0 оператор Uα явл-ся линейным преобраз-м про-ва V
Отбр. Векторного про-ва k, [x] отобр. в себе ставящие в соотв-е каждому многому этого про-ва его производн-е того же явл-ся линейным оператором. Обозн-ся α/αх и числом дифиринцирования α dom х
Пусть V=U1⊕U2 есть прямая сумма подпростор U1 и U2, тогда любой х € V,однозначно представляется в виде ¯х = ¯х 1+¯х 2, x1€U1, x2€U2,Назовем вектор ¯Х1 проекц. ¯х на подпространство u1 // подпростр u2
Отобр. PrU1(V):→V (проекц. про-ва V, на подпространство U1), действующее по правилу: Pru1(V):¯x=¯x1+¯x2→¯x1
∀ х €v =U1⊕U2
Это отобр. явл-ся линейным оператором про-ва V и наз-ся проектором про-ва V на под-воU1 и под-во U2;
 
2.Св-ва линейных отображений (Леммы 2.1 и 2.2), способ задания линейного отображения (Т.2.1).
Лемма Пусть V, W отобр. Pf:V→W является линейным отобр этих простр тттк F(α x+βy)=α*F(x)+βF(y) ∀ α,β€P,∀ x,y€V;
До-воПусть F линейное отоброж про-ваV→ в Wтогда выпо-ся условие аддиивности и условия однород-ти ,используя эти условия получим : F(α x+β y)Ζ> α*F(x)+βF(y)∀x,y€V .Пусть для отображения F:V→W вы-сяF(αx+βy)=αf(x)+βF(y),∀ x,y€V,покажем что выполняется условие однород-ти и аддитивности тогда f(x+y); 2) 1 пункт. α=β=1 F(x+y)=F(x)+F(y)
2) β=0 F(αx+0y)=f(αx)=αF(x)+0F(y)=αf(x) ,вы-ся условие одно-ти →f линейное отоброжение про-ва v в W
Лемма 2.2 Пусть V,W линейные про-ва над P,F-линейное отоброжение про-ва V,в W тогда 1)F(o)=0v 2)f(-x)=-f(x),∀ x€V 3)f(α1x1+α2x2+ +αnxn)=α1f(x1)+α2F(x2)+⋯+αn€(xn);4)x1…x2…xn из про-ва Vлинейнозависима →F(x1) F(x2)…f(xn) тоже линейно зависимо
До-во
1)F(0v)=F(0 0v)=0*F(0v)=0w
2)f(-x)=f((-1) x)=(-1)f(x)=-f(x)
3)f(α1x1+α2x2+…+αkXk)=F(α1x1+(α2x2+α2x2+αkxk))=f(α1x1)+F(α2x2+…+αkxk)=α1F(x1)+f(α2x2)+F(α3x3+…+αkxk)=…α1F(x)+αF(x1)+α2(x2)+…+αkF(xk) .Т.К. си-ма векторов x1,x2…xk линейнозав то ∃ числа b1,b2…bk€P и одновре-нно не равные 0,для которых β,x1+β2X+ +βkxk=0V)Поддейств отображ F на обе части после-го ра-ва F(β1 x+β2x2+ +βkxk)=F(ov) .B1F(x1)+B2F(x2)+ +BkF(xk)=0w .Так как коэфициенты β1,β2…βk одновременно≠0 .То векторы F(x1),F(x2)…f(xk) линейнозависимы. Теорема2.1 Пусть V и W векторные про-ва над P .Пусть e1,e2…en базис про-ва V,a1 a2…an произвльные векторы про-ва V, тогда ∃ единственное линейное отоброжение
F:V→W,длякоторого f(e1)=a1,F(e2)=a2,f(en)=an.

 
3.Матрица линейн. оператора, примеры. Связь между координатами вектора и его образы (Т.3.1).
Определение ПустьF есть линейный оператор n-мерного векторного про-ва Vn над Р,и пусть е1,е2….en базис этого пространства . Векторы f(e1) ,F(e2)….F(Еn) € Vn и их можно разлож по базису F(е1)=ᾄ11е1+ᾄ12е2+…+ᾄ1nen; f(en)=ᾄne1+ᾄn2e2+…+ᾄnnen. Ма-ца А=■(α11&α12&α13@α21&α22&α23@α1n&αn2&αnn)
Матрица линейного оператора F ,в базисе F в n
Обозначим через [e] мат-цу столбец из баз вект ■(e1@e2@en)f[e]=мат-ца столб. Из образ матр вектора ■(f(e1)@f(e2)@f(n)). Тогда систему равенств о разложении векторов f(e1),f(e2)…f(en) по базису можно записать в виде след матричн раве-ва f[e]=A[e]; Примеры матриц линейн операторов 1)Hᾄ- линейный оператор подобия век-го про-ва Vn,P и е1,е2…еn ,базис этого про-ва Vn; Hᾄ:xᾄx для любых х € Vn.Найдём образы базисных векторов под действием Hᾄ(e1)=ᾄe1=ᾄe2+…+ᾄn)))) Hᾄ(e2)=ᾄe2=0e1+ᾄe2+…+0en;Hᾄ(en)=ᾄen=0e1+0e2+…+0en-1+ᾄen; A=(■(α&0&0@0&α&0)@0&0&α)=α(■(1&0&0@0&1&0@0&0&1))
Мат-ца та-го вида на-ся скалярной матрицей A=αE,если оператор подобия расссматрив при α=1 то получается тождественный оператор е,E:X→X,матрицей тождественного опера-ра будет единичн ма-цы en при α= 0 оператор подобия ,превращ в оператор 0 который каждому ве-ру х ,ставят в соответсветствие 0 вектор матрицей этого оператора будет 0 ма-ца порядка n
Пример2 .Рассмотрим оператор диференцир d/dx; Rn[x] ,базисом этого ве-го про-ва явл-ся век-ры 1,х,x^2,……x^n; d/dx(1)=0=0*1+0x+0*x^2+…..+0*x^2))))
d/dx(x) =1 =1+0x+0x^2+ +0x^n;
d/dx(x^2)=2x+0*1+2x+0*x^2+ +0x^n
d/dx(x^3)=3X^2+0*1+0*X+3*X^2+ +0X^N;
…………………………………………………………………….
D/dx (x^n)=nx^(n-1)=0*1+0*x……+n*x^(n-1)+0*x^n;
A=(■(0&0&0@1&0&0@0&2&0)■(…&0&0@…&0&0@…&0&0))
■(0&0&3@0&0&0@&&)■(0&0&@N&0&@&&)
Теорема Пусть F есть линейный оператор Р и пусть мат-ца этого линейного опера-ра f,e1,e2…en,Vn,тогда ∀ x ∈Vn ;(f(x))=(x)A;


4.Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах (Лемма 3.1 и Т.3.2).
ЗамечаниеПусть Vn вектроное про-во Р,зафиксирует в этом про-ве базис e1,e2….en. Пусть F,линейный оператор век-го про-ва Vn над Р в про-ве Vn этому лине-му опера-ру соответств одноз-но определ ма-ца лине-го опер-ра это позволят сделать выбор о том что между множеством всех линейных операт. про-ва Vn и множеством Мn(Р) всех квадратных матриц порядка n ,над Р,∃ взаимноодназн отображ которое каждому линейному оператору ставит в соответств его матрицу. однако ма-ца лине-го оператора изменя-ся если в векторном про-ве Vn .Рассмотрим другой базис ,связь между матриц ли-го опера-ра между базисов даёт след теорема для её доко-ва нам нужна след лемма 3.1 Пусть а и в ма-цы n*nесли ∀ МА-ЦЫ α1,α2,…..αn,ГДЕ αi€ р ,выполняе-ся ра-во (α1,α2,…..αn) * А=(α1,α2,…..αn)В,то мат-ца А= ма-це В До-во Подставим в указунное ра-во ма-цу (1,0,…0)*А= (1,0,0)*В= (а_11,а_12…..а_1n)=в_11,в_12…..в_1n)=> (а_11=в_11,а_12=в_12,а_1n=в_1n)Продолжая процесс покажем что А=В .Теорема 3.2 Пусть F линейный оператор вектор-го про-ва Vn,над Р,α1,α2,…..αn и a1,а2,…….Аn ,Базисы Vn ,пусть Т ма-ца перехода от бази-са перехо-да α1 αnк , а1, аn,если А мат-ца линейного опера-ра F,в α1,α2…..αn. В матриц F а1,а2,аn то ма-ца В=Т*А*Т^(-1)До-во Пусть Х координатная строка вектора Х в базисе α1,α2…..αn(х) координ строка х в базисе а1,а2….аn.Пусть (F(x)) (f〖(x〗^-) (штрих) анологичные координ строки вектора F(х) по теореме 3.1координатная строка (F(х^-))=( х^-)А ,аноллогично (F(х^-))=( х^-)В .По следствию 5.11 из темы 1 ма-цаТ^(-1)есть ма-ца перехода от базиса а1…..аnK,баз-су е1….еn, то по теореме 5.2 из темы 1
〖(х〗^-)=〖(х〗^-)* Т^(-1) анолоично КООРДИНАТНАЯ СТРОКА f(х)=(f(x)*Т^(-1),ТОГДА ИЗ РА-ВА f(X)ШТРИХ =(Х)ШТРИХ *в,ПОЛУЧИМ (f(X))*Т^(-1)=Х*Т^(-1)Заметим в посл ра-ве F(х^-))=( х^-)А , ( х^-)*А*Т^(-1)=( х^-)Т^(-1)*В,по лемме 3.1 А*Т^(-1)=Т^(-1)*В,умножим обе части послед ра-ва слева на матри-цу Т ,получим Т*А*Т^(-1)=ТТ^(-1) В=>В=ТАТ^(-1)

5.Ядро и образы линейных отображений их примеры и св-ва. (Лемма 4.1.2.3). Способ нахожденияядра и образа линейного оператора (Т.4.1).
Пусть V и W-векторное пр-во над полем P и пусть f:V→W-лин.отображение пр-ва V→W множ kerf=(¯х∈V│f(x)=¯0w)-наз.ядром лин.отображения f, а множ Imf =(f(¯х)∈W│¯х∈V)-назыв. образом лин. отображения f.Если V=W то говорят о ядре и образе лин.оператора f.
Лемма1:Ядро лин отобр вектор.пр-ва в вектор пр-ве W является подпр-во пространства V.
Лемма2:Образ лин. отображения вектор.пр-ва V→W является подпр-во пространства W.
Из леммы 1и 2 при V=Wполучаем след.лемму
Лемма3:Ядро и образ лин.оператора пр-ва V являются подпр-во пр-ва V.
ТеоремаПусть f:V→W над Р,А-матрица f,
1)Im f=L(f(e1)…f(en));
2)Векторх∈ker f(¯x)*A=(000)
Пример:Для нулевого отображения 0:V→W,0*(¯x)=¯0w∀х∈V,ker0=V,Im 0={¯0}.

 
6.Ранг и def линейного оператора и их связь между размерностью векторного пространства (Т.4.2).
Определение:Пусть f-лин. оператор V над полем P,рангом лин. оператора f наз. размерность подпр-ва Imf и обозначается rangf таким образом rangf=dim(Imf).Дефектом-назыв. размерность подпр-ва kerf и обозначается deff=dim(kerf).
Теорема Пусть f-лин оператор конечномерного вектор.пр-ва V над P,тогда dimV=rangf+deff.

7.Операции над линейными операторами и их св-ва (Лемма 5.1 и 5.2).
ОпределениеПусть V вектор.пр-во над P,и пусть f и g лин.операторы этого пр-ва.Суммой операторов f и g назыв.отображение f+g: V→ V опред.∀х∈V, след.равенством: (f+g)*(¯x)=f(x)+g(x);
Произведением в скалярномL∈Pf назыв. отображением Lf:V→ V которое ∀х∈V определено след.равенство (L*f)*(¯x)=L*f(¯x), произведением операторов f и g назыв. отображение fg: V→ V,которое∀х∈V определено равенство (f*g)(¯x)=f(g(x));
Лемма Если f и g лин.оператор векторн. пр-ва Vнад полем P и L∈P,то отображ. f+g,Lf,f*g-также являются лин.операт.лин.отображения V.
ЛеммаПусть f и g лин.оператор.векторного пр-ва Vn над P.И пусть А,В матрицы лин.оператора f и g соотвественно в некотором базисе e1..en вектор.пр-ва Vn.Тогда матрица лин.опреатора f+g, Lf,f*g в этом же базисе являются матрицами А+В,L*A,A*B.

8.Изоморфизм векторного пространства.(EndpV) Mn(P).
Теорема Пусть Vn-мерное векторное пространства над полем Р, тогда EndpV=Mn(P).
◭ Пусть £:EndpV→Mn(P), которое каждому линейному оператору пространства V ставит в соответствие матрицу этого оператора в базисе e₁…en покажем что £ взаимно однозначное отображение.
1.)Покажем что отображение £ сурьективно. Пусть A принадлежит Mn(Р),
А=(■(λ₁₁&⋯&λ₁n@…&…&…@λn₁&⋯&λnn))
обозначим через b₁=λ₁₁e₁+…+λ₁nen
…………………………
bn=λn₁e₁+…+λnnen
По теореме 2.1 существует и единственный линейный оператор f€EndpV:f(e₁)=b₁…f(en)=bn,
Причём матрица линейного оператора f будет матрица А. Таким образом £:f→A.
2.) Инъективность отображение £→ из единственности линейного оператора f для матрицы А,
Таким образом отображение £ биективно. Для доказательства изоморфизма в указанных векторных пространств что£ обладает свойствами однородности и аддитивности, будем опираться на утверждение Леммы 5.2.
1.)£(f+g)=A+B=£(f)+£(g)
2.)£(λf)=λA=λ£(f)
Таким образом £ изоморфизм между указанными векторными пространствами.

9.Обратные линейные операторы и их св-ва (Лемма 6.1). Признак обратности линейного оператора (Т.6.1) группа всех линейных преобразований векторного пространства (Т.6.2).
Определение Пусть V,P линейный оператор f этого пространства называется обратимым, если существует линейный оператор ∃ g такой что, fg=gf=E (тождественный оператор V). В таком случае оператор g называется обратным для оператора f и обозначается f-1
Лемма 6.1 Пусть f обратимый линейный оператор векторного пространства над полем Р и пусть А- матрица это линейного оператора f в некотором базисе e1, e2, . . . , eп тогда матрица не вырождена.
Док-во Так как оператор f обратим , то f* f-1 =f-1f=Е, так как Еп является матрицей тождественного оператора Е, то А*В=В*А=En, где В-матрица линейного оператора f-1
Последнее матричное равенствоговорит , то В=А-1 , А-обратима=> не вырождена.
Теорема 6.1 Линейный оператор f векторного пространства V,P обратим тогда и только тогда , когда f является линейным преобразованием векторного пространства.
Множество всех линейных преобразования векторного пространства V над полем Р обозначается СL(V) .
Теорема 6.2 Множество СL(V) является группой относительно умножения линейных операторов
Для любого лин преобразования fсуществует обратное преобразование f-1
СL(V)-мульпликативная группа.

 
10.Подобные матрицы и св-ва отношения подобия (Т.7.1).
Определение . Матрица АͼM_n(P) называется подобной матрицей ВͼM_n(P), если существует невырожд. Матрица Т такая, что А=ТВТ^(-1).
ТеоремаОтношение подобия матриц явл. отношением эквивалентности, на множестве M_n(Р).
Лемма 7.1.Если матрицы А и В ͼ M_n (P) подобны,то определитель матр. А=определителю В.
Доказательство: так как матрицы А и В подобны, то существует Т
A=ТВТ^(-1) => |A|=| ТВТ^(-1)|= |Т||В|〖|Т〗^(-1) |=|В||T|〖|Т〗^(-1) |=|B||TТ^(-1) |= =|B|*1=|B|
Следствие 7.1.1. Пусть линейные операторы f и g в пространстве Vимеют в некотором базисе этого пространства матрицы А,В соответственно если |A|≠|B|, то fиg различны.
Лемма 7.2. Если А,В ͼ M_n (P) подобны, то AT=BT
Доказательство: так как А и В подобны, то невыр. матрицы T∃T_1=TBT^(-1) воспользуется тем ф-м
(xy)T=(уx)T ; AT=(TBT^(-1))T =(T^(-1) (TB))T=((T^(-1) T)B)T=BT
Следстие 7.21. Пусть f и gV∅ числа в некоторых базисах матриц А и В соотвеств. , если АT+BT то операторы различны.
Определение 7.3. Пусть А=а_ij∈M_n (P) , λ – переменная
φ(α)=(А-λЕ)=(■(а_n-λ&a_12…&a_m@…&…&…@a_(n_1 )&a_(n_2 )…&a_(m-λ) ))
Лемма 7.3. Характеристические многочлены подобных матриц равны.
Доказательство: Пусть А,В ∈M_n (P) подобны, тогда существует Т,А= ТВТ^(-1), тогда определитель |A-λE|=| ТВТ^(-1)-T|λE|Т^(-1)-|=|T(B-λE)|Т^(-1)|=|T|| B-λE||Т^(-1)|= |T||Т^(-1)||B-λE|=|E||B-λE|=|B-λE|
Следствие 7.3.1. Пусть линейный оператор f и g пространства V имеют в некоторых базисах этого пространства матрицы А и В соответственно , если характер. Многочлены этих матриц ≠ то оператор f и g различны.
Определение 7.4. Если А-матрица линейного оператора f векторного пространства V, то многочлен опред. | A-λE| называется характеристическим многочленом линейного оператора f.
Замечание. Указанные в леммах 7.1-7.3 утверждения дают только необходимое условие подобия матриц, однако они не дают достаточных условий подобий матрицы.

 
11.Признаки подобных матриц (Лемма 7.1.2.3 и следствие).
Определение . Матрица АͼM_n(P) называется подобной матрицей ВͼM_n(P), если существует невырожд. Матрица Т такая, что А=ТВТ^(-1).
Теория Отношение подобия матриц является отношением эквивалентности , на множестве M_n(Р).
Лемма 7.1. Если матрицы А и В ͼ M_n (P) подобны, то определитель матрицы А=определителю В.
Доказательство: так как матрицы А и В подобны, то существует Т
A=ТВТ^(-1) => |A|=| ТВТ^(-1)|= |Т||В|〖|Т〗^(-1) |=|В||T|〖|Т〗^(-1) |=|B||TТ^(-1) |= =|B|*1=|B|
Следствие 7.1.1. Пусть линейные операторы f и g в пространстве Vимеют в некотором базисе этого пространства матрицы А,В соответственно если |A|≠|B|, то fиg различны.
Лемма 7.2. Если А,В ͼ M_n (P) подобны, то AT=BT
Доказательство: так как А и В подобны, то невыр. матрицы T существует T_1=TBT^(-1) воспользуется тем ф-м
(xy)T=(4x)T
AT=(TBT^(-1))T =(T^(-1) (TB))T=((T^(-1) T)B)T=BT
Следстие 7.21. Пусть f и gV∅ числа в некоторых базисах матриц А и В соотвеств. , если АT+BT то операторы различны.
Определение 7.3. Пусть А=а_ij∈M_n (P) , λ – переменная
φ(α)=(А-λЕ)=(■(а_n-λ&a_12…&a_m@…&…&…@a_(n_1 )&a_(n_2 )…&a_(m-λ) ))
Лемма 7.3. Характеристические многочлены подобных матриц равны.
Доказательство: Пусть А,В ∈M_n (P) подобны, тогда существует Т,А= ТВТ^(-1), тогда определитель |A-λE|=| ТВТ^(-1)-T|λE|Т^(-1)-|=|T(B-λE)|Т^(-1)|=|T|| B-λE||Т^(-1)|= |T||Т^(-1)||B-λE|=|E||B-λE|=|B-λE|
Следствие 7.3.1. Пусть линейный оператор f и g пространства V имеют в некоторых базисах этого пространства матрицы А и В соответственно , если характер. Многочлены этих матриц ≠ то оператор f и g различны.
Определение 7.4. Если А-матрица линейного оператора f векторного пространства V, то многочлен опред. | A-λE| называется характеристическим многочленом линейного оператора f.
Замечание. Указанные в леммах 7.1-7.3 утверждения дают только необходимое условие подобия матриц, однако они не дают достаточных условий подобий матрицы.

 
12.Собственные значения и собственные векторы линейного оператора, примеры. Способы нахождения собственных значений и собственных векторов (Т.8.1 и замечание 3).
Теорема 8.1. Собственными значениями линейного оператора f конечно мерного пространства V_n над Р является все принадлеж. Р корни характерист. многочлена этого оператора , и только они.
Доказательство: Пусть А матрица линейного оператора f в базисе (е_(1,) ) ̅(е_(2,) ) ̅…(е_n ) ̅ векторного пространства V_n, и Пусть λ – собственное значение линейного оператора f, пусть x ̅ ≠ 0 ̅ – собственный вектор принадлежит собственные значения λ, тогда f(x ̅ )=λ(x ̅) очевидно , что на вектор x ̅ оператор f действует так же как оператор подобия H_λ (x ̅ )=dx ̅ =>f(x ̅)=H_λ (x ̅ ), тогда f(x ̅)-H_λ (x ̅ )=0 ̅ => (f-H_λ)(x ̅)=0 ̅, это означает что вектор x∈Ker(f-H_λ), по лемме 5.2 матрицей линейного оператора (f-H_λ) – будет матрица А-λE. По теореме 4.1 , тогда коорд. строна (α ̅ )(A-λE)=(0 ̅), пусть (x ̅)=(x_1 x_2…x_n) так как вектор ((x) ̅)≠ (0 ̅) , то числа x_1 x_2…x_n одновременно ≠ 0 из матричного ур-я (x_1 x_2…x_n)(A-λE)=(00…0) A-λE=(■(a_11-λa_12&…&a_1n@…&a_22-λ&…@…&…&a_nn-λ))
Получим систему: {█((a_11-λ) x_1+a_21 x_2+⋯+a_n1 x_n=0@a_21 x_1 ((a_22-λ) x_2+⋯+a_n2 x_2=0@…@a_1n x_1+a_2n x_2+⋯+(a_nn-λ) x_n=0)┤
Это однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение так как числа (x_1 x_2…x_n) одновременно ≠ 0 поэтому определитель этой системы отличен от нуля, то есть
|■(a_11-λa_12&…&a_1n@…&a_22-λ&…@…&…&a_nn-λ)|=0
Так как при транспонирования определителя матрицы не меняется, то определитель |■(a_11-λa_12&…&a_1n@…&a_22-λ&…@…&…&a_nn-λ)|=0 ; |A-λE|=0
Таким образом число λ является корнем характер. Многолена оператора f.
Обратно: пусть теперь λ корень характер. Многочлену линейного оператора f проводя выше рассуждения в обратном порядке убедится , что λ собственное значение f.
Замечание 3. Доказательство теоремы 8.1. дает практичный способ нахождения собственных значений и собственных векторов линейного оператора.

 
13.Подпространства, инвариантные относительно оператора их примеры и св-ва (Лемма 9.1.2.3).
Оп 9.1 Пусть f -л.о. V, P, под прастр. U пр.V наз.инвариантным относительно опер. f если ∀x∈U⟹f(□(x)∈U)
Пр. 1)Нулевое под простр. и само пр.V являются инвар.под простр. относительно любого л. o. пр. V.
Пр. 2)Рассмотрим оп. Подобия H_L на V, если U-под пр. пр. V, то ∀x ̅∈U H_L (□(x ̅)=L) x ̅∈U таким обр. любое под пр. пр. V инвар. отн. опер.H_L
Л 9.1Пусть f -л.о. V, P, тогда Kerf , Jmf являются инвар.относительно f подпространства.
∎ 1) ∀x ̅∈ker⁡〖f⟹f(x ̅ )=0 ̅ 〗∈ker⁡〖f⟹ker⁡〖f инвар.под пр.относительно f 〗 〗
2) Пустьy ̅ произв.век.из Jm f,т.к f-л.о.пр.Vто Jn f⊆V⟹(y ) ̅∈V⟹f((y ) ̅ )∈Jmf⟹Jmfинвар.подпр.относительно f ∎
Л 9.2 Пусть f -л.о. V, тогда сумма и пересечение инвар. относ .f под пр. являются инвар., относит. f под пр.
Зам 9.2 Л 9.2 нетрудно распространить на с. и. п. нескольких инв. под пр.
Л 9.3Пусть f -л.о. V, P, и пусть U1,U2,…,Uk-инвар. oтнос. f под.пр. пр.V, тогда ∑_(i=1)^k▒U_i и ⋂_(i=1)^k▒U_i являются инвар. отн. f под пр. пр. f.

14.Клеточные матрицы, условие существование клеточной матрицы линейного оператора (Т.10.1).
Оп 10.1 Пусть m,n∈N, A=(ai,j) кв-я матр. порядка n, над пол. P и В=(bi,j) кв-я матр. порядка m, над пол. P. Матр. вида (■(А&О@С&В)) наз. клеточной матр. где О-нул. матр. nxm, С=(с i,j)- некоторая матр. nxn.
Т 10.1 Пусть f -л.о. V, P, матр. опер. f в некотором баз.пр. V является клет.⟺ ∃ нетривиальное относительно f под пр.

15.Клеточнодиогональные матрицы, условие существования (Т.10.2.3).
Оп 10.1 Пусть m,n∈N, A=(ai,j) кв-я матр. порядка n, над пол. P и В=(bi,j) кв-я матр. порядка m, над пол. P. Матр. вида (■(А&О@O&В)) наз. клеточно диагональной матр. где О-нул. матр. nxm.
Т 10.2 Пусть f -л.о. n-мерного в. прV, P. Мат. оп. f в некотором баз.пр. V явл клет. диаг. ⟺ пр. V представимо в виде прямой сумме 2х своих нетривиальных инвариантных отн.f под пр.
Т 10.3 Пусть f -л.о. n-мерного в. прV, P. Мат. оп. f в некотором баз.пр. V явл клет. диаг. ⟺ пр. V представимо в виде прямой сумме нетривиальных инвариантных отн.f под пр. Число слагаемых в этой сумме = числу клеток матр. по главн. диагон.

16.Диогональный линейный оператор и его признак (Т.11.1 и лемма 11.1).
Оп 11.1 Л.о. f конечно-мерн. прV наз. диагонализируемым если в некотором баз. под пр.V матр. этого опер. является диагональной.
Т 11.1 Л.о. f в пр. V диагонализируем ⟺ век. пр.V инвариантно относ. f под пр.
Л 11.1 Одномерное под пр.U од-го пр.V инвариантно отн. л.о.f ⟺U=L(x ̅ )где x ̅ собственный в. л.о. f.

17.Критерий диагонализации линейного оператора (Т.11.2).
Если в клеточно-диоганальной матрице по линии главной диагонали стоит квадратная матрица порядка 1 , то клеточно-диогональная матрица становиться диагонализируемой.
Определение Линейный оператор fn-мерного линейного пространства V называется диагонализируемым, если в некотором базисе пространства V матрица оператора f имеет диагональный вид
λ1 0 . . . 0
0 λ2 . . . 0
. . .
0 0 . . . λn
Теорема Пусть f л.оn-мерного V,P. Операторf диагонализируем тогда и только тогда , когда в пространстве V существует базис состоящий из собственных в-в оператора f.
Доказательство =>Пусть f диагон-ный оператор пространства V, по теореме 11.1( теорема 11.1 Лин.опер f ,V диагонализируем тогда и только т, когда V является прямой суммой одномерных инвариантных относительно f подпространств) пространства V=U1+U2+…+Un,где U1,U2,Un-одномерные инвариантные относительно f подпространства пространства V. Где каждое подпространство Ui=L(xi), где xi- собственный вектор оператора f. Т.как
xi не равно нулевому вектору , как собственный вектор , то xi- базис подпространства Ui,для любого і=1,2...n. Т.образом по теореме о прямой сумме следует , что х1,х2,…,хn-базис V.

18.Признак диагонализации линейного оператора (Лемма 11.2 и Т.11.3).
Лемма Собственные векторы линейного оператора, принадлежащие различным собственным значениям, образуют линейно независимую систему.
Теорема Пусть f линейный оператор n-мерного линейного пространства V над полем P. Если все корни характеристического многочлена оператора f принадлежат полю P и различны, то f диагонализируем.
Доказательство: Пусть λ1, λ2,…, λn все корни характеристического многочлена оператора f и все они принадлежат Р, по теореме 8.1 они являются собственными значениями оператора f, пусть е1,е2,...,еn собственные в-ы оператора f принадлежат собственным значениям λ1, λ2,…, λn соответст. Т.к собственные значения. А также по теореме 3.2 в-а е1,е2,...,еn образуют базис пр-ва V и по теореме 11.2 оператор диагонализируем.

 
19.Клетка Жордана.
Пусть P — некоторое поле, a ∈ P. Клеткой Жордана порядка n называется n × n-матрица, имеющая вид
a 1 0 . . . 0 00 a 1 . . . 0 0. . .0 0 0 . . . a 1 0 0 0 . . . 0 a
Обозначается клетка Жордана порядка n через Jn(a). Клеточно–диагональная матрица с клетками Жордана на главной диагонали называется жордановой матрицей или матрицей Жордана. Если A — произвольная квадратная матрица над полем P и J — подобная ей матрица Жордана над полем P, то J называется жордановой нормальной формой матрицы A над полем P.
ТеоремаДля существования Жардановой нормальной квадратичной формы кв.матрица А порядка п над полем Р необходимо и достаточно , чтобы характер-кий многочлен матрицы А имел в поле Р ровно п корней с учетом их кратности.
Замечание 1
В виду основной теор алгебры комп-ных чисел любая кв. матрица А над полем С имеет Жард-ву нормальную форму.
Замечание 2
Квадратичная матрица над полем R не всегда имеет нормальную Жар-ву форму. Так как в поле действительных чисел корней нет , то матрица А не имеет нормальную жарданову форму над полем R.
Замечание 3 Матрица лин-го оператора f векторного пространства V,Р в разных базисах пространств V различны , но являются подобными. Порядок следования в Жардановой форме не существенен.
Tеорема
Две матрицы подобны тогда и только тогда, когда их жордановы нормальные формы состоят из одних и тех же клеток Жардана и различаются лишь расположением клеток Жардана на главной диагонали.
Алгоритм приведения n×n-матрицы A к жордановой нормальной форме
1 шаг. Находим все корни характеристического многочлена матрицы A и их кратности. Если хотя бы один корень не принадлежит полю P, то ввиду теоремы 12.1 задача решения не имеет.
2 шаг. Если элемент α∈P является корнем кратности 1 , характеристического многочлена матрица А , то в Жардановой нормальной форме ему соответствует только одна клетка Жардана J1(а)=(а).
3 шаг. Если элемент α∈P является корнем кратности k>1 харак-кого многочлена матрицы А, то в Жардановой нормальной форме , ему соответствеут одна или несколько клеток Жардана . Сумма порядков которых = k.
Общее число клеток Жарданова элемента а, можно определить с помощью след. Формы l(λ) = n − rang(A − λE)
4 шаг. Если информации об общем числе клеток недостаточно для составления нормальной формы , то можно определить число клеток Жардана порядка t, для элементов а с помощью след формулы
lt(λ) = rang(A−λE)t+1 −2rang(A−λE)t +rang(A−λE) t−1
5 шаг. Порядок расстановки клеток Жордана в нормальной Жардановой форме не имеет значения по теореме 12.2 Однако сумма порядков всех клеток Ж. в нормальной Ж форме должна быть = порядку п матрицы А.