Линейная алгебра

Статьи по предмету «Математика»
Информация о работе
  • Тема: Линейная алгебра
  • Количество скачиваний: 2
  • Тип: Статьи
  • Предмет: Математика
  • Количество страниц: 14
  • Язык работы: Русский язык
  • Дата загрузки: 2014-06-22 21:54:24
  • Размер файла: 68.41 кб
Помогла работа? Поделись ссылкой
Ссылка на страницу (выберите нужный вариант)
  • Линейная алгебра [Электронный ресурс]. – URL: https://www.sesiya.ru/staty/matematika/793-lineynaya-algebra/ (дата обращения: 12.05.2021).
  • Линейная алгебра // https://www.sesiya.ru/staty/matematika/793-lineynaya-algebra/.
Есть ненужная работа?

Добавь её на сайт, помоги студентам и школьникам выполнять работы самостоятельно

добавить работу
Обратиться за помощью в подготовке работы

Заполнение формы не обязывает Вас к заказу

Информация о документе

Документ предоставляется как есть, мы не несем ответственности, за правильность представленной в нём информации. Используя информацию для подготовки своей работы необходимо помнить, что текст работы может быть устаревшим, работа может не пройти проверку на заимствования.

Если Вы являетесь автором текста представленного на данной странице и не хотите чтобы он был размешён на нашем сайте напишите об этом перейдя по ссылке: «Правообладателям»

Можно ли скачать документ с работой

Да, скачать документ можно бесплатно, без регистрации перейдя по ссылке:

Раздел 5: Линейная алгебра: тема2.
1.Линейное отображение их классификация и примеры.
Опред. Пусть V, W – векторные простр. P отображение f простр-в, V->W (f:V->W) нося линейные отобр-я этих простр-в, если вып-ся два условия:
Усл-е аддитивности: f(¯x+¯y)=f(¯x)+(¯y) для любых ¯x , ¯y € V
Усл-е однородности: f(k*¯x)=k*f(x), ∀ К € Р, для люб х € V
Различают неск-ко типов линейных отобр-й вект-х простр-в
Опр-е 1.2 Линейным оператором вектотрного протр-ва V, наз-ся линейное отобр-е V, в себя,изоморфизмом вект простр V, W, называется взаимно однозначное линейн отоброжен v, в W линейным преобразованием (автоморфизм) векторного простр-ва ¯v наз-ся взаимно однозначное отобр-е простр-ва V в себя. Чтобы избежать путаницы лин-х отобр-й нужно польз-ся руководством по след-й табл-цы.
Термин Общ-е свойство Выдел-е св-во
Линейное отобр-е
f(¯x+¯y)=f(¯x)+(¯y)
f( λ¯x)=λ(x) f:V→W
изоморфизм f:V→W
f-биекция(взаим одн)
Линейныйоператор f:V→V
Линейныйпреобрзов. f:V→V,F биекция
Примеры лин-х отобр-й
Отобр-е O:V→W определ. Правило отобр-я O:¯x→¯Ow, ∀ х€V наз-ся нулевым отобр-м
Пусть V→Р α – фиксированый элемент из P отобр Uα: V→V опред-ся правилом Uα:¯x→α¯x ∀ х€ V является линейным оператором про-ва V и называется оператором подобия про-ва V с коэфиц-м α, в частности если α=0, то U0=0,отображен. Если α=1 то и каждому x ставим в соотв-и тот же x, ∀ х €V этот оператор назыв-ся тождественным оператором про-ва V и обознач-т E. Не трудно проверить что при α≠0 оператор Uα явл-ся линейным преобраз-м про-ва V
Отбр. Векторного про-ва k, [x] отобр. в себе ставящие в соотв-е каждому многому этого про-ва его производн-е того же явл-ся линейным оператором. Обозн-ся α/αх и числом дифиринцирования α dom х
Пусть V=U1⊕U2 есть прямая сумма подпростор U1 и U2, тогда любой х € V,однозначно представляется в виде ¯х = ¯х 1+¯х 2, x1€U1, x2€U2,Назовем вектор ¯Х1 проекц. ¯х на подпространство u1 // подпростр u2
Отобр. PrU1(V):→V (проекц. про-ва V, на подпространство U1), действующее по правилу: Pru1(V):¯x=¯x1+¯x2→¯x1
∀ х €v =U1⊕U2
Это отобр. явл-ся линейным оператором про-ва V и наз-ся проектором про-ва V на под-воU1 и под-во U2;

2.Св-ва линейных отображений (Леммы 2.1 и 2.2), способ задания линейного отображения (Т.2.1).
Лемма Пусть V, W отобр. Pf:V→W является линейным отобр этих простр тттк F(α x+βy)=α*F(x)+βF(y) ∀ α,β€P,∀ x,y€V;
До-воПусть F линейное отоброж про-ваV→ в Wтогда выпо-ся условие аддиивности и условия однород-ти ,используя эти условия получим : F(α x+β y)Ζ> α*F(x)+βF(y)∀x,y€V .Пусть для отображения F:V→W вы-сяF(αx+βy)=αf(x)+βF(y),∀ x,y€V,покажем что выполняется условие однород-ти и аддитивности тогда f(x+y); 2) 1 пункт. α=β=1 F(x+y)=F(x)+F(y)
2) β=0 F(αx+0y)=f(αx)=αF(x)+0F(y)=αf(x) ,вы-ся условие одно-ти →f линейное отоброжение про-ва v в W
Лемма 2.2 Пусть V,W линейные про-ва над P,F-линейное отоброжение про-ва V,в W тогда 1)F(o)=0v 2)f(-x)=-f(x),∀ x€V 3)f(α1x1+α2x2+ +αnxn)=α1f(x1)+α2F(x2)+⋯+αn€(xn);4)x1…x2…xn из про-ва Vлинейнозависима →F(x1) F(x2)…f(xn) тоже линейно зависимо
До-во
1)F(0v)=F(0 0v)=0*F(0v)=0w
2)f(-x)=f((-1) x)=(-1)f(x)=-f(x)
3)f(α1x1+α2x2+…+αkXk)=F(α1x1+(α2x2+α2x2+αkxk))=f(α1x1)+F(α2x2+…+αkxk)=α1F(x1)+f(α2x2)+F(α3x3+…+αkxk)=…α1F(x)+αF(x1)+α2(x2)+…+αkF(xk) .Т.К. си-ма векторов x1,x2…xk линейнозав то ∃ числа b1,b2…bk€P и одновре-нно не равные 0,для которых β,x1+β2X+ +βkxk=0V)Поддейств отображ F на обе части после-го ра-ва F(β1 x+β2x2+ +βkxk)=F(ov) .B1F(x1)+B2F(x2)+ +BkF(xk)=0w .Так как коэфициенты β1,β2…βk одновременно≠0 .То векторы F(x1),F(x2)…f(xk) линейнозависимы. Теорема2.1 Пусть V и W векторные про-ва над P .Пусть e1,e2…en базис про-ва V,a1 a2…an произвльные векторы про-ва V, тогда ∃ единственное линейное отоброжение
F:V→W,длякоторого f(e1)=a1,F(e2)=a2,f(en)=an.


3.Матрица линейн. оператора, примеры. Связь между координатами вектора и его образы (Т.3.1).
Определение ПустьF есть линейный оператор n-мерного векторного про-ва Vn над Р,и пусть е1,е2….en базис этого пространства . Векторы f(e1) ,F(e2)….F(Еn) € Vn и их можно разлож по базису F(е1)=ᾄ11е1+ᾄ12е2+…+ᾄ1nen; f(en)=ᾄne1+ᾄn2e2+…+ᾄnnen. Ма-ца А=■(α11&α12&α13@α21&α22&α23@α1n&αn2&αnn)
Матрица линейного оператора F ,в базисе F в n
Обозначим через [e] мат-цу столбец из баз вект ■(e1@e2@en)f[e]=мат-ца столб. Из образ матр вектора ■(f(e1)@f(e2)@f(n)). Тогда систему равенств о разложении векторов f(e1),f(e2)…f(en) по базису можно записать в виде след матричн раве-ва f[e]=A[e]; Примеры матриц линейн операторов 1)Hᾄ- линейный оператор подобия век-го про-ва Vn,P и е1,е2…еn ,базис этого про-ва Vn; Hᾄ:xᾄx для любых х € Vn.Найдём образы базисных векторов под действием Hᾄ(e1)=ᾄe1=ᾄe2+…+ᾄn)))) Hᾄ(e2)=ᾄe2=0e1+ᾄe2+…+0en;Hᾄ(en)=ᾄen=0e1+0e2+…+0en-1+ᾄen; A=(■(α&0&0@0&α&0)@0&0&α)=α(■(1&0&0@0&1&0@0&0&1))
Мат-ца та-го вида на-ся скалярной матрицей A=αE,если оператор подобия расссматрив при α=1 то получается тождественный оператор е,E:X→X,матрицей тождественного опера-ра будет единичн ма-цы en при α= 0 оператор подобия ,превращ в оператор 0 который каждому ве-ру х ,ставят в соответсветствие 0 вектор матрицей этого оператора будет 0 ма-ца порядка n
Пример2 .Рассмотрим оператор диференцир d/dx; Rn[x] ,базисом этого ве-го про-ва явл-ся век-ры 1,х,x^2,……x^n; d/dx(1)=0=0*1+0x+0*x^2+…..+0*x^2))))
d/dx(x) =1 =1+0x+0x^2+ +0x^n;
d/dx(x^2)=2x+0*1+2x+0*x^2+ +0x^n
d/dx(x^3)=3X^2+0*1+0*X+3*X^2+ +0X^N;
…………………………………………………………………….
D/dx (x^n)=nx^(n-1)=0*1+0*x……+n*x^(n-1)+0*x^n;
A=(■(0&0&0@1&0&0@0&2&0)■(…&0&0@…&0&0@…&0&0))
■(0&0&3@0&0&0@&&)■(0&0&@N&0&@&&)
Теорема Пусть F есть линейный оператор Р и пусть мат-ца этого линейного опера-ра f,e1,e2…en,Vn,тогда ∀ x ∈Vn ;(f(x))=(x)A;


4.Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах (Лемма 3.1 и Т.3.2).
ЗамечаниеПусть Vn вектроное про-во Р,зафиксирует в этом про-ве базис e1,e2….en. Пусть F,линейный оператор век-го про-ва Vn над Р в про-ве Vn этому лине-му опера-ру соответств одноз-но определ ма-ца лине-го опер-ра это позволят сделать выбор о том что между множеством всех линейных операт. про-ва Vn и множеством Мn(Р) всех квадратных матриц порядка n ,над Р,∃ взаимноодназн отображ которое каждому линейному оператору ставит в соответств его матрицу. однако ма-ца лине-го оператора изменя-ся если в векторном про-ве Vn .Рассмотрим другой базис ,связь между матриц ли-го опера-ра между базисов даёт след теорема для её доко-ва нам нужна след лемма 3.1 Пусть а и в ма-цы n*nесли ∀ МА-ЦЫ α1,α2,…..αn,ГДЕ αi€ р ,выполняе-ся ра-во (α1,α2,…..αn) * А=(α1,α2,…..αn)В,то мат-ца А= ма-це В До-во Подставим в указунное ра-во ма-цу (1,0,…0)*А= (1,0,0)*В= (а_11,а_12…..а_1n)=в_11,в_12…..в_1n)=> (а_11=в_11,а_12=в_12,а_1n=в_1n)Продолжая процесс покажем что А=В .Теорема 3.2 Пусть F линейный оператор вектор-го про-ва Vn,над Р,α1,α2,…..αn и a1,а2,…….Аn ,Базисы Vn ,пусть Т ма-ца перехода от бази-са перехо-да α1 αnк , а1, аn,если А мат-ца линейного опера-ра F,в α1,α2…..αn. В матриц F а1,а2,аn то ма-ца В=Т*А*Т^(-1)До-во Пусть Х координатная строка вектора Х в базисе α1,α2…..αn(х) координ строка х в базисе а1,а2….аn.Пусть (F(x)) (f〖(x〗^-) (штрих) анологичные координ строки вектора F(х) по теореме 3.1координатная строка (F(х^-))=( х^-)А ,аноллогично (F(х^-))=( х^-)В .По следствию 5.11 из темы 1 ма-цаТ^(-1)есть ма-ца перехода от базиса а1…..аnK,баз-су е1….еn, то по теореме 5.2 из темы 1
〖(х〗^-)=〖(х〗^-)* Т^(-1) анолоично КООРДИНАТНАЯ СТРОКА f(х)=(f(x)*Т^(-1),ТОГДА ИЗ РА-ВА f(X)ШТРИХ =(Х)ШТРИХ *в,ПОЛУЧИМ (f(X))*Т^(-1)=Х*Т^(-1)Заметим в посл ра-ве F(х^-))=( х^-)А , ( х^-)*А*Т^(-1)=( х^-)Т^(-1)*В,по лемме 3.1 А*Т^(-1)=Т^(-1)*В,умножим обе части послед ра-ва слева на матри-цу Т ,получим Т*А*Т^(-1)=ТТ^(-1) В=>В=ТАТ^(-1)

5.Ядро и образы линейных отображений их примеры и св-ва. (Лемма 4.1.2.3). Способ нахожденияядра и образа линейного оператора (Т.4.1).
Пусть V и W-векторное пр-во над полем P и пусть f:V→W-лин.отображение пр-ва V→W множ kerf=(¯х∈V│f(x)=¯0w)-наз.ядром лин.отображения f, а множ Imf =(f(¯х)∈W│¯х∈V)-назыв. образом лин. отображения f.Если V=W то говорят о ядре и образе лин.оператора f.
Лемма1:Ядро лин отобр вектор.пр-ва в вектор пр-ве W является подпр-во пространства V.
Лемма2:Образ лин. отображения вектор.пр-ва V→W является подпр-во пространства W.
Из леммы 1и 2 при V=Wполучаем след.лемму
Лемма3:Ядро и образ лин.оператора пр-ва V являются подпр-во пр-ва V.
ТеоремаПусть f:V→W над Р,А-матрица f,
1)Im f=L(f(e1)…f(en));
2)Векторх∈ker f(¯x)*A=(000)
Пример:Для нулевого отображения 0:V→W,0*(¯x)=¯0w∀х∈V,ker0=V,Im 0={¯0}.


6.Ранг и def линейного оператора и их связь между размерностью векторного пространства (Т.4.2).
Определение:Пусть f-лин. оператор V над полем P,рангом лин. оператора f наз. размерность подпр-ва Imf и обозначается rangf таким образом rangf=dim(Imf).Дефектом-назыв. размерность подпр-ва kerf и обозначается deff=dim(kerf).
Теорема Пусть f-лин оператор конечномерного вектор.пр-ва V над P,тогда dimV=rangf+deff.

7.Операции над линейными операторами и их св-ва (Лемма 5.1 и 5.2).
ОпределениеПусть V вектор.пр-во над P,и пусть f и g лин.операторы этого пр-ва.Суммой операторов f и g назыв.отображение f+g: V→ V опред.∀х∈V, след.равенством: (f+g)*(¯x)=f(x)+g(x);
Произведением в скалярномL∈Pf назыв. отображением Lf:V→ V которое ∀х∈V определено след.равенство (L*f)*(¯x)=L*f(¯x), произведением операторов f и g назыв. отображение fg: V→ V,которое∀х∈V определено равенство (f*g)(¯x)=f(g(x));
Лемма Если f и g лин.оператор векторн. пр-ва Vнад полем P и L∈P,то отображ. f+g,Lf,f*g-также являются лин.операт.лин.отображения V.
ЛеммаПусть f и g лин.оператор.векторного пр-ва Vn над P.И пусть А,В матрицы лин.оператора f и g соотвественно в некотором базисе e1..en вектор.пр-ва Vn.Тогда матрица лин.опреатора f+g, Lf,f*g в этом же базисе являются матрицами А+В,L*A,A*B.

8.Изоморфизм векторного пространства.(EndpV) Mn(P).
Теорема Пусть Vn-мерное векторное пространства над полем Р, тогда EndpV=Mn(P).
◭ Пусть £:EndpV→Mn(P), которое каждому линейному оператору пространства V ставит в соответствие матрицу этого оператора в базисе e₁…en покажем что £ взаимно однозначное отображение.
1.)Покажем что отображение £ сурьективно. Пусть A принадлежит Mn(Р),
А=(■(λ₁₁&⋯&λ₁n@…&…&…@λn₁&⋯&λnn))
обозначим через b₁=λ₁₁e₁+…+λ₁nen
…………………………
bn=λn₁e₁+…+λnnen
По теореме 2.1 существует и единственный линейный оператор f€EndpV:f(e₁)=b₁…f(en)=bn,
Причём матрица линейного оператора f будет матрица А. Таким образом £:f→A.
2.) Инъективность отображение £→ из единственности линейного оператора f для матрицы А,
Таким образом отображение £ биективно. Для доказательства изоморфизма в указанных векторных пространств что£ обладает свойствами однородности и аддитивности, будем опираться на утверждение Леммы 5.2.
1.)£(f+g)=A+B=£(f)+£(g)
2.)£(λf)=λA=λ£(f)
Таким образом £ изоморфизм между указанными векторными пространствами.

9.Обратные линейные операторы и их св-ва (Лемма 6.1). Признак обратности линейного оператора (Т.6.1) группа всех линейных преобразований векторного пространства (Т.6.2).
Определение Пусть V,P линейный оператор f этого пространства называется обратимым, если существует линейный оператор ∃ g такой что, fg=gf=E (тождественный оператор V). В таком случае оператор g называется обратным для оператора f и обозначается f-1
Лемма 6.1 Пусть f обратимый линейный оператор векторного пространства над полем Р и пусть А- матрица это линейного оператора f в некотором базисе e1, e2, . . . , eп тогда матрица не вырождена.
Док-во Так как оператор f обратим , то f* f-1 =f-1f=Е, так как Еп является матрицей тождественного оператора Е, то А*В=В*А=En, где В-матрица линейного оператора f-1
Последнее матричное равенствоговорит , то В=А-1 , А-обратима=> не вырождена.
Теорема 6.1 Линейный оператор f векторного пространства V,P обратим тогда и только тогда , когда f является линейным преобразованием векторного пространства.
Множество всех линейных преобразования векторного пространства V над полем Р обозначается СL(V) .
Теорема 6.2 Множество СL(V) является группой относительно умножения линейных операторов
Для любого лин преобразования fсуществует обратное преобразование f-1
СL(V)-мульпликативная группа.


10.Подобные матрицы и св-ва отношения подобия (Т.7.1).
Определение . Матрица АͼM_n(P) называется подобной матрицей ВͼM_n(P), если существует невырожд. Матрица Т такая, что А=ТВТ^(-1).
ТеоремаОтношение подобия матриц явл. отношением эквивалентности, на множестве M_n(Р).
Лемма 7.1.Если матрицы А и В ͼ M_n (P) подобны,то определитель матр. А=определителю В.
Доказательство: так как матрицы А и В подобны, то существует Т
A=ТВТ^(-1) => |A|=| ТВТ^(-1)|= |Т||В|〖|Т〗^(-1) |=|В||T|〖|Т〗^(-1) |=|B||TТ^(-1) |= =|B|*1=|B|
Следствие 7.1.1. Пусть линейные операторы f и g в пространстве Vимеют в некотором базисе этого пространства матрицы А,В соответственно если |A|≠|B|, то fиg различны.
Лемма 7.2. Если А,В ͼ M_n (P) подобны, то AT=BT
Доказательство: так как А и В подобны, то невыр. матрицы T∃T_1=TBT^(-1) воспользуется тем ф-м
(xy)T=(уx)T ; AT=(TBT^(-1))T =(T^(-1) (TB))T=((T^(-1) T)B)T=BT
Следстие 7.21. Пусть f и gV∅ числа в некоторых базисах матриц А и В соотвеств. , если АT+BT то операторы различны.
Определение 7.3. Пусть А=а_ij∈M_n (P) , λ – переменная
φ(α)=(А-λЕ)=(■(а_n-λ&a_12…&a_m@…&…&…@a_(n_1 )&a_(n_2 )…&a_(m-λ) ))
Лемма 7.3. Характеристические многочлены подобных матриц равны.
Доказательство: Пусть А,В ∈M_n (P) подобны, тогда существует Т,А= ТВТ^(-1), тогда определитель |A-λE|=| ТВТ^(-1)-T|λE|Т^(-1)-|=|T(B-λE)|Т^(-1)|=|T|| B-λE||Т^(-1)|= |T||Т^(-1)||B-λE|=|E||B-λE|=|B-λE|
Следствие 7.3.1. Пусть линейный оператор f и g пространства V имеют в некоторых базисах этого пространства матрицы А и В соответственно , если характер. Многочлены этих матриц ≠ то оператор f и g различны.
Определение 7.4. Если А-матрица линейного оператора f векторного пространства V, то многочлен опред. | A-λE| называется характеристическим многочленом линейного оператора f.
Замечание. Указанные в леммах 7.1-7.3 утверждения дают только необходимое условие подобия матриц, однако они не дают достаточных условий подобий матрицы.


11.Признаки подобных матриц (Лемма 7.1.2.3 и следствие).
Определение . Матрица АͼM_n(P) называется подобной матрицей ВͼM_n(P), если существует невырожд. Матрица Т такая, что А=ТВТ^(-1).
Теория Отношение подобия матриц является отношением эквивалентности , на множестве M_n(Р).
Лемма 7.1. Если матрицы А и В ͼ M_n (P) подобны, то определитель матрицы А=определителю В.
Доказательство: так как матрицы А и В подобны, то существует Т
A=ТВТ^(-1) => |A|=| ТВТ^(-1)|= |Т||В|〖|Т〗^(-1) |=|В||T|〖|Т〗^(-1) |=|B||TТ^(-1) |= =|B|*1=|B|
Следствие 7.1.1. Пусть линейные операторы f и g в пространстве Vимеют в некотором базисе этого пространства матрицы А,В соответственно если |A|≠|B|, то fиg различны.
Лемма 7.2. Если А,В ͼ M_n (P) подобны, то AT=BT
Доказательство: так как А и В подобны, то невыр. матрицы T существует T_1=TBT^(-1) воспользуется тем ф-м
(xy)T=(4x)T
AT=(TBT^(-1))T =(T^(-1) (TB))T=((T^(-1) T)B)T=BT
Следстие 7.21. Пусть f и gV∅ числа в некоторых базисах матриц А и В соотвеств. , если АT+BT то операторы различны.
Определение 7.3. Пусть А=а_ij∈M_n (P) , λ – переменная
φ(α)=(А-λЕ)=(■(а_n-λ&a_12…&a_m@…&…&…@a_(n_1 )&a_(n_2 )…&a_(m-λ) ))
Лемма 7.3. Характеристические многочлены подобных матриц равны.
Доказательство: Пусть А,В ∈M_n (P) подобны, тогда существует Т,А= ТВТ^(-1), тогда определитель |A-λE|=| ТВТ^(-1)-T|λE|Т^(-1)-|=|T(B-λE)|Т^(-1)|=|T|| B-λE||Т^(-1)|= |T||Т^(-1)||B-λE|=|E||B-λE|=|B-λE|
Следствие 7.3.1. Пусть линейный оператор f и g пространства V имеют в некоторых базисах этого пространства матрицы А и В соответственно , если характер. Многочлены этих матриц ≠ то оператор f и g различны.
Определение 7.4. Если А-матрица линейного оператора f векторного пространства V, то многочлен опред. | A-λE| называется характеристическим многочленом линейного оператора f.
Замечание. Указанные в леммах 7.1-7.3 утверждения дают только необходимое условие подобия матриц, однако они не дают достаточных условий подобий матрицы.


12.Собственные значения и собственные векторы линейного оператора, примеры. Способы нахождения собственных значений и собственных векторов (Т.8.1 и замечание 3).
Теорема 8.1. Собственными значениями линейного оператора f конечно мерного пространства V_n над Р является все принадлеж. Р корни характерист. многочлена этого оператора , и только они.
Доказательство: Пусть А матрица линейного оператора f в базисе (е_(1,) ) ̅(е_(2,) ) ̅…(е_n ) ̅ векторного пространства V_n, и Пусть λ – собственное значение линейного оператора f, пусть x ̅ ≠ 0 ̅ – собственный вектор принадлежит собственные значения λ, тогда f(x ̅ )=λ(x ̅) очевидно , что на вектор x ̅ оператор f действует так же как оператор подобия H_λ (x ̅ )=dx ̅ =>f(x ̅)=H_λ (x ̅ ), тогда f(x ̅)-H_λ (x ̅ )=0 ̅ => (f-H_λ)(x ̅)=0 ̅, это означает что вектор x∈Ker(f-H_λ), по лемме 5.2 матрицей линейного оператора (f-H_λ) – будет матрица А-λE. По теореме 4.1 , тогда коорд. строна (α ̅ )(A-λE)=(0 ̅), пусть (x ̅)=(x_1 x_2…x_n) так как вектор ((x) ̅)≠ (0 ̅) , то числа x_1 x_2…x_n одновременно ≠ 0 из матричного ур-я (x_1 x_2…x_n)(A-λE)=(00…0) A-λE=(■(a_11-λa_12&…&a_1n@…&a_22-λ&…@…&…&a_nn-λ))
Получим систему: {█((a_11-λ) x_1+a_21 x_2+⋯+a_n1 x_n=0@a_21 x_1 ((a_22-λ) x_2+⋯+a_n2 x_2=0@…@a_1n x_1+a_2n x_2+⋯+(a_nn-λ) x_n=0)┤
Это однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение так как числа (x_1 x_2…x_n) одновременно ≠ 0 поэтому определитель этой системы отличен от нуля, то есть
|■(a_11-λa_12&…&a_1n@…&a_22-λ&…@…&…&a_nn-λ)|=0
Так как при транспонирования определителя матрицы не меняется, то определитель |■(a_11-λa_12&…&a_1n@…&a_22-λ&…@…&…&a_nn-λ)|=0 ; |A-λE|=0
Таким образом число λ является корнем характер. Многолена оператора f.
Обратно: пусть теперь λ корень характер. Многочлену линейного оператора f проводя выше рассуждения в обратном порядке убедится , что λ собственное значение f.
Замечание 3. Доказательство теоремы 8.1. дает практичный способ нахождения собственных значений и собственных векторов линейного оператора.


13.Подпространства, инвариантные относительно оператора их примеры и св-ва (Лемма 9.1.2.3).
Оп 9.1 Пусть f -л.о. V, P, под прастр. U пр.V наз.инвариантным относительно опер. f если ∀x∈U⟹f(□(x)∈U)
Пр. 1)Нулевое под простр. и само пр.V являются инвар.под простр. относительно любого л. o. пр. V.
Пр. 2)Рассмотрим оп. Подобия H_L на V, если U-под пр. пр. V, то ∀x ̅∈U H_L (□(x ̅)=L) x ̅∈U таким обр. любое под пр. пр. V инвар. отн. опер.H_L
Л 9.1Пусть f -л.о. V, P, тогда Kerf , Jmf являются инвар.относительно f подпространства.
∎ 1) ∀x ̅∈ker⁡〖f⟹f(x ̅ )=0 ̅ 〗∈ker⁡〖f⟹ker⁡〖f инвар.под пр.относительно f 〗 〗
2) Пустьy ̅ произв.век.из Jm f,т.к f-л.о.пр.Vто Jn f⊆V⟹(y ) ̅∈V⟹f((y ) ̅ )∈Jmf⟹Jmfинвар.подпр.относительно f ∎
Л 9.2 Пусть f -л.о. V, тогда сумма и пересечение инвар. относ .f под пр. являются инвар., относит. f под пр.
Зам 9.2 Л 9.2 нетрудно распространить на с. и. п. нескольких инв. под пр.
Л 9.3Пусть f -л.о. V, P, и пусть U1,U2,…,Uk-инвар. oтнос. f под.пр. пр.V, тогда ∑_(i=1)^k▒U_i и ⋂_(i=1)^k▒U_i являются инвар. отн. f под пр. пр. f.

14.Клеточные матрицы, условие существование клеточной матрицы линейного оператора (Т.10.1).
Оп 10.1 Пусть m,n∈N, A=(ai,j) кв-я матр. порядка n, над пол. P и В=(bi,j) кв-я матр. порядка m, над пол. P. Матр. вида (■(А&О@С&В)) наз. клеточной матр. где О-нул. матр. nxm, С=(с i,j)- некоторая матр. nxn.
Т 10.1 Пусть f -л.о. V, P, матр. опер. f в некотором баз.пр. V является клет.⟺ ∃ нетривиальное относительно f под пр.

15.Клеточнодиогональные матрицы, условие существования (Т.10.2.3).
Оп 10.1 Пусть m,n∈N, A=(ai,j) кв-я матр. порядка n, над пол. P и В=(bi,j) кв-я матр. порядка m, над пол. P. Матр. вида (■(А&О@O&В)) наз. клеточно диагональной матр. где О-нул. матр. nxm.
Т 10.2 Пусть f -л.о. n-мерного в. прV, P. Мат. оп. f в некотором баз.пр. V явл клет. диаг. ⟺ пр. V представимо в виде прямой сумме 2х своих нетривиальных инвариантных отн.f под пр.
Т 10.3 Пусть f -л.о. n-мерного в. прV, P. Мат. оп. f в некотором баз.пр. V явл клет. диаг. ⟺ пр. V представимо в виде прямой сумме нетривиальных инвариантных отн.f под пр. Число слагаемых в этой сумме = числу клеток матр. по главн. диагон.

16.Диогональный линейный оператор и его признак (Т.11.1 и лемма 11.1).
Оп 11.1 Л.о. f конечно-мерн. прV наз. диагонализируемым если в некотором баз. под пр.V матр. этого опер. является диагональной.
Т 11.1 Л.о. f в пр. V диагонализируем ⟺ век. пр.V инвариантно относ. f под пр.
Л 11.1 Одномерное под пр.U од-го пр.V инвариантно отн. л.о.f ⟺U=L(x ̅ )где x ̅ собственный в. л.о. f.

17.Критерий диагонализации линейного оператора (Т.11.2).
Если в клеточно-диоганальной матрице по линии главной диагонали стоит квадратная матрица порядка 1 , то клеточно-диогональная матрица становиться диагонализируемой.
Определение Линейный оператор fn-мерного линейного пространства V называется диагонализируемым, если в некотором базисе пространства V матрица оператора f имеет диагональный вид
λ1 0 . . . 0
0 λ2 . . . 0
. . .
0 0 . . . λn
Теорема Пусть f л.оn-мерного V,P. Операторf диагонализируем тогда и только тогда , когда в пространстве V существует базис состоящий из собственных в-в оператора f.
Доказательство =>Пусть f диагон-ный оператор пространства V, по теореме 11.1( теорема 11.1 Лин.опер f ,V диагонализируем тогда и только т, когда V является прямой суммой одномерных инвариантных относительно f подпространств) пространства V=U1+U2+…+Un,где U1,U2,Un-одномерные инвариантные относительно f подпространства пространства V. Где каждое подпространство Ui=L(xi), где xi- собственный вектор оператора f. Т.как
xi не равно нулевому вектору , как собственный вектор , то xi- базис подпространства Ui,для любого і=1,2...n. Т.образом по теореме о прямой сумме следует , что х1,х2,…,хn-базис V.

18.Признак диагонализации линейного оператора (Лемма 11.2 и Т.11.3).
Лемма Собственные векторы линейного оператора, принадлежащие различным собственным значениям, образуют линейно независимую систему.
Теорема Пусть f линейный оператор n-мерного линейного пространства V над полем P. Если все корни характеристического многочлена оператора f принадлежат полю P и различны, то f диагонализируем.
Доказательство: Пусть λ1, λ2,…, λn все корни характеристического многочлена оператора f и все они принадлежат Р, по теореме 8.1 они являются собственными значениями оператора f, пусть е1,е2,...,еn собственные в-ы оператора f принадлежат собственным значениям λ1, λ2,…, λn соответст. Т.к собственные значения. А также по теореме 3.2 в-а е1,е2,...,еn образуют базис пр-ва V и по теореме 11.2 оператор диагонализируем.


19.Клетка Жордана.
Пусть P — некоторое поле, a ∈ P. Клеткой Жордана порядка n называется n × n-матрица, имеющая вид
a 1 0 . . . 0 00 a 1 . . . 0 0. . .0 0 0 . . . a 1 0 0 0 . . . 0 a
Обозначается клетка Жордана порядка n через Jn(a). Клеточно–диагональная матрица с клетками Жордана на главной диагонали называется жордановой матрицей или матрицей Жордана. Если A — произвольная квадратная матрица над полем P и J — подобная ей матрица Жордана над полем P, то J называется жордановой нормальной формой матрицы A над полем P.
ТеоремаДля существования Жардановой нормальной квадратичной формы кв.матрица А порядка п над полем Р необходимо и достаточно , чтобы характер-кий многочлен матрицы А имел в поле Р ровно п корней с учетом их кратности.
Замечание 1
В виду основной теор алгебры комп-ных чисел любая кв. матрица А над полем С имеет Жард-ву нормальную форму.
Замечание 2
Квадратичная матрица над полем R не всегда имеет нормальную Жар-ву форму. Так как в поле действительных чисел корней нет , то матрица А не имеет нормальную жарданову форму над полем R.
Замечание 3 Матрица лин-го оператора f векторного пространства V,Р в разных базисах пространств V различны , но являются подобными. Порядок следования в Жардановой форме не существенен.
Tеорема
Две матрицы подобны тогда и только тогда, когда их жордановы нормальные формы состоят из одних и тех же клеток Жардана и различаются лишь расположением клеток Жардана на главной диагонали.
Алгоритм приведения n×n-матрицы A к жордановой нормальной форме
1 шаг. Находим все корни характеристического многочлена матрицы A и их кратности. Если хотя бы один корень не принадлежит полю P, то ввиду теоремы 12.1 задача решения не имеет.
2 шаг. Если элемент α∈P является корнем кратности 1 , характеристического многочлена матрица А , то в Жардановой нормальной форме ему соответствует только одна клетка Жардана J1(а)=(а).
3 шаг. Если элемент α∈P является корнем кратности k>1 харак-кого многочлена матрицы А, то в Жардановой нормальной форме , ему соответствеут одна или несколько клеток Жардана . Сумма порядков которых = k.
Общее число клеток Жарданова элемента а, можно определить с помощью след. Формы l(λ) = n − rang(A − λE)
4 шаг. Если информации об общем числе клеток недостаточно для составления нормальной формы , то можно определить число клеток Жардана порядка t, для элементов а с помощью след формулы
lt(λ) = rang(A−λE)t+1 −2rang(A−λE)t +rang(A−λE) t−1
5 шаг. Порядок расстановки клеток Жордана в нормальной Жардановой форме не имеет значения по теореме 12.2 Однако сумма порядков всех клеток Ж. в нормальной Ж форме должна быть = порядку п матрицы А.