Линейная алгебра

Статьи по предмету «Математика»
Информация о работе
  • Тема: Линейная алгебра
  • Количество скачиваний: 0
  • Тип: Статьи
  • Предмет: Математика
  • Количество страниц: 4
  • Язык работы: Русский язык
  • Дата загрузки: 2014-06-22 22:25:47
  • Размер файла: 20.82 кб
Помогла работа? Поделись ссылкой
Узнать стоимость учебной работы online!
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Решение задач
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Экзамен на сайте
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в ВАК
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Копирайтинг
  • Другое
Узнать стоимость
Информация о документе

Документ предоставляется как есть, мы не несем ответственности, за правильность представленной в нём информации. Используя информацию для подготовки своей работы необходимо помнить, что текст работы может быть устаревшим, работа может не пройти проверку на заимствования.

Если Вы являетесь автором текста представленного на данной странице и не хотите чтобы он был размешён на нашем сайте напишите об этом перейдя по ссылке: «Правообладателям»

Можно ли скачать документ с работой

Да, скачать документ можно бесплатно, без регистрации перейдя по ссылке:

Раздел 7: Линейная алгебра: Тема 4.
1.Квадратичная форма и виды её записи. Матрица квадратичной формы. Ранг квадратичной формы, линейное преобразование переменных, их произведение.
В этой теме под полем Р будем понимать либо поле R либо поле С
Опред1,1 Кв-ая ф-ма от переменных x_1,x_2,…,x_n над Р наз многочлен f(x_1,x_2,…,x_n) c коэф из поля Р,каждый член кот имеет степень 2 т.е многочлен f(x_1,x_2,…,x_n)=а_11 x_1^2+а_12 x_1 x_2+⋯+а_1n x_1 x_n+а_21 x_2 x_1+⋯+а_nn x_n^2
Кв-ая ф-ма над полем Rназ действит кв-ой ф-ой,а над С,комплексной кв-ой ф-ой.
Будем считать,что в записи кв-ой ф-мы выполн условие a_ij=a_ji,∀i=1,2,…,n. Если в первонач записи кв-ой ф-мы коэф при x_i x_j и x_j x_i≠,то их можно сложить,разделить на 2 и получ =ые между собой коэф-ты a_ij и a_ji. Такую запись кв-ой ф-мы будем называть симметричной.
Опред1,2 Матрица А с элем А=(a_ij) порядка nсост из коэф кв-ой ф-мы f(x_1,x_2,…,x_n),запис в симметрич виде наз матрицей кв-ой ф-мы т.к выполн условие a_ij=a_ji,∀i=1,2,…,n ,то матр А-симметрич. Ранг этой матр А наз рангом кв-ой ф-мы.
Иногда кв-ую ф-му удобно запис в виде двойной суммы f(x_1,x_2,…,x_n)=∑_(i=1)^n ∑_(j=1)^n▒〖a_ij x_i x_j 〗
Опред1,3. Линейным преобразованием переменных x_1,x_2,…,x_n над Р наз переход от перем x_1,x_2,…,x_n к перем у_1,у_2,…,у_n по формулам x_1=α_11 у_1+α_12 у_2+⋯+α_1n у_n
x_2=α_21 у_1+α_22 у_2+⋯+α_2n у_n
……………………………………...
x_n=α_n1 у_1+α_n2 у_2+⋯+α_nn у_n где α_ij∈Р
Матри В с элем α_ijсоставленная из коэф при у_1,у_2,…,у_nназ матр этого лин преобраз,если матр В невырождена,то лин преобраз наз невырожденным.
Если через Х=(x_1,x_2,…,x_n) через У=(у_1,у_2,…,у_n),то указанное лин преобраз переменных можно запис в виде матричного рав-ва Х^Т=ВУ^Т
Если это лин преобраз невырожнено т.е определитель |B|≠0,то ∃В^(-1) и тогда У^Т=В^(-1) Х^Т это рав-во явл невырожденным лин преобраз перем-ых у_1,у_2,…,у_n и наз обратным к предыд преобраз.
Опред1,4 Под произведением двух лин преобраз понимают их последовательное выполнение.
Пусть лин преобраз перем x_1,x_2,…,x_n задано рав-вом Х^Т=ВУ^Т,а лин преобраз перем у_1,у_2,…,у_n задано рав-ом У^Т=CZ^Т,где Z=(z_1,z_2,…,z_n)
Найдем произвед этих лин преобраз:Х^Т=ВУ^Т=В(CZ^Т)=(ВС)Z^Т т.о матрицей произвед лин преобраз явл произвед матриц этих преобраз.

2.Канонический вид квадратичной формы, метод Лагранжа, приведение квадратичной формы к каноническому виду (Т.2.1).
О.2.1.Кв. ф. наз канонической ,если она не содержит произв. различных переменных. Канонич. видом кв. ф. f(x_(1,),x_2,…,x_n) наз. любая канонич. кв .ф. g(y_(1,),y_2,…,y_n) полученная в результате применения невырожденного лин. Преобразования переменных x_(1,),x_2,…,x_n.
Т.2.1.Любую кв. ф. над полем P, с помощью некоторого невырожденного лин преобразования переменных можно привести к каноническому виду
3.Индекс инерции квадратичной формы (Т.3.1 и определение 3.1).
Теорема Число ненулевых коэф-в в каноническом виде квадратичной формы над полем , не зависит от способа приведения к квадратичной формы к этому виду и равно рангу квадратичной формы.
Число ненулевых коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы называется индексом инерции этой квадратичной формы. Одним из наиболее простых способов приведения квадратичной формы к каноническому виду является так называемый метод Лагранжа.
Теорема. Для любой действительной квадратичной формы f(x1, x2, . . . , xn) существует линейное преобразование переменных x1, x2, . . . , xn с ортогональной матрицей, приводящее эту форму к каноническому виду. При этом коэффициентами при квадратах переменных будут корни характеристического многочлена матрицы квадратичной формы f(x1, x2, . . . , xn).
Пусть А матрица квадратичной формы f(x1, x2, . . . , xn). Так как А симметрична , то существует матрица С с элементами Cij такие что СА С -1=В –диагональная матрица. На диагонали которой расположены корни характеристического многочлена матрицы А.Применим линейное приобразование переменных (x1, x2, . . . , xn) с матрицей Ст , т.е ХТ=СТ УT. Тогда f(x1, x2, . . . , xn)=ХАХт=(Хт )т АХ =(С т У т)АС т У т=У(САС т)У т=g (x1, x2, . . . , xn). Получаем квадратичную форму g (x1, x2, . . . , xn) с матрицей САС т
Т.как матрица С ортонормир., то С Т=С-1 , Поэтому матрица СА С -1=В является матрицей квадратичной формы.

4.Другой способ приведения квадратичной формы к каноническому виду (Т.3.2).
Теор. Для любой действит. квадр. Формы f(x1….xn) сущ. Линейное преобразование переменных x1…xnc ортогональной матрицей приводящую эту форму к каноническому виду при чем коэффициент при квадратах переменных в каноническом вудут корни характеристического многочлена матрицы этой квадратичной формы(x1….xn)
Док-во пусть А кв-я матрица от (x1….xn) т.к. матрица А симметричка по сущ. Ортогональная матрица С=(cij) такая что CA*C-1=B есть диагонализированная матрица на диагонали которой расположен корень характеристического многочлена матрицы А применим линейное преобразование переменных (x1….xn) с матрицей CT то есть преобразование XT=СТYT,тогда f(x1….xn)=XA*XT=(XT)T*АXT=(СTYT)TA*(CTYT)YT=Y(CACT)YT получим квадратную форму g(y1….yn) с матрицей CACT т.к. матрица С ортогональна.то СТ=С-1 поэтому матрица САС-1=В является матрицей квадратичной формы g(y1….yn) поскольку C диагонально g(y1….yn)=ℷ1y12+….+ℷnyn2 есть канонический вид кв-й формы f(x1….xn) при чем коэффициент ℷ1.. ℷn есть корни характеристического многочлена матрицы А.

5.Нормальный вид квадратичной формы над полем C (определение 4.1 и Т.4.1).
Опр: нормальный вид квадратичной формы f(x_1…x_n) на С называется такой её канонический вид в котором все не нулевые коэффициенты равны 1.
Т: любая квадратичная форма над R с помощью некоторого не вырожденного преобразования переменных может быть приведена к нормальному виду.


6.Нормальный вид квадратичной формы над полем R (определение 4.2 и Т.4.2).
Опр: нормальный видквадратичной формы f(x_1…x_n) на R называется такой её канонический вид в котором все не нулевые коэффициенты равны либо 1 , либо -1.
Т: любая квадратичная форма над R с помощью некоторого не вырожденного преобразования переменных может быть приведена к нормальному виду.







7.Положительные и отрицательные индексы инерции квадратичной формы.
Опр:Главным минором матрицы А порядка n называются определители определитель квадратной матрицы порядка формула, составленной из элементов матрицы А, которые находятся в заранее выбранных n строках и n столбцах, причем расположение элементов матрицы А сохраняется.
Лемма:значит определитель матрицы действительной к.ф не меняется при применении к этой к.ф линейного преобразования переменных.
Следствие: определитель матрицы отрицательно отр. к.ф положителен если число переменных четно и отрицателен если число переменных не четно .
Т. число положительных и число отрицательных коэффициентов в нормальном виде десств. К.ф не зависит от выбора невырожденного линейного преобразования переменных приводящих эту форму к нормальному виду.

8.Знакоопределение квадратичной формы.
Т. Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все угловые миноры матрицы квадратичной формы положительны.
Следствие. Квадратичная форма является отрицательно определенной тогда и только тогда, когда знаки угловых миноров матрицы A квадратичной формы чередуются, начиная со знака «минус»

9.Критерий Сильвестра для знакоопределения квадратичной формы.
Теорема (критерий Сильвестра). Пусть A – матрица квадратичной формы
I. Квадратичная форма ƒ(x) положительно определена тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы A положительны.
II. Для того, чтобы квадратная форма была отрицательно определенной необходимо и достаточно, чтобы главные миноры чередовали знаки.