Линейная алгебра

Раздел 6: Линейная алгебра: тема 3.

1.Сколярное произведение и его св-ва (Лемма 1.1) примеры. Евклидово пространство и его существование (Т.1.1).
Опред.1.1. Пусть V действит. (R) в-ое пр-во говорят , что в пра-ве V задано скалярное произвед . в-в, если каждой паре в-в а ̅,в ̅ € V постановлено в соответств. R число обазнач. (а ̅,в ̅) и наз-емое скалярным произвед. этих в-в , причём выполн. след. усл-ия :
1)(а ̅ ,в ̅)=(в ̅,а ̅)
2)(а ̅+в ̅,с ̅)=(а ̅,с ̅)+(в ̅,с ̅)
3)к (а ̅, в ̅)=(ка ̅,в ̅)=(а ̅,кв ̅) ∀ к∈R
4)(а ̅,а ̅)> 0 , ∀ а ̅≠о ̅
Лемма 1.1∀а,в,с∊V,R в котором задано скалярные произвед. в-в справедливы след. утверж. :
1 (а ̅,в ̅+с ̅)=(а ̅,в ̅)+(а ̅,с ̅)
2 (о ̅,а ̅ )=(в ̅,о ̅)=о
Док-во 1)(а ̅,в ̅+с ̅)=(в ̅+с ̅,а ̅)=(в ̅,а ̅)+(с ̅,а)=(а ̅,в ̅)+(а ̅, с ̅)
2) (о ̅,а ̅)=(о о ̅,а ̅)=о(о ̅,а ̅)
(в ̅,о ̅)=(о ̅,в ̅)=0
Примеры
В действит. в- ом пр-ве V^3 геометрич. в-в в теме аналитич . геом, мы ввели понятие скалярного произвед. в-в(а ) ̅•в ̅= |а ̅|•|в ̅|•cosφ
В в-вом пр-ве R^n={(α_(1 ), α_2, … , α_n) / α_█(1@)∊R]
Введем скалярное произвед. по след . правилу. ∀х ̅=(х_(1,) х_(2,… ),х_█(n@)) , (у ) ̅=(у_(1 ),у_2, . . . ,у_n)∊R^n
Подставим число (х ̅ ,у ̅)=х_1 у_1+х_2 у_2+… +х_n у_n∊ R
Опред .1.2 Действит. в-ое пр-во с заданием на нем скал.произвед. наз. Евклидовым пр-ом.
Теорема 1.1 . Любое конечно-мерное в-ое пр-во можно превратить а евклидово пр-во.
Док-во V-n-мерное в-ое пр-во над полем R и пусть e_1,e_2,…,e_(n )базие . Пусть х ̅ и (у ) ̅∊V, тогда их можно разложить по базису
х ̅=х_1 e_1+x_2 e_2+ …+ x_n e_n
y ̅=y_1 e_1+y_2 e_2+…+y_n e_n. Поставим в соответствии этим в-ом х ̅ и (у ) ̅­­­­­>действит. число (х ̅,у ̅)= вычисл. По правилу =
х_1 у_1+х_2 у_2+…+х_n y_n
Покажем , что это правило задает скалярное произвед. в пр-ве V.
(x ̅,y ̅)=x_1 y_1+x_2 y_2+…+x_n y_n=y_1 x_1+y_2 х_2+…+у_n x_n=(y ̅,x ̅)
z ̅=z_1 e_1+z_2 e_2+…+z_n e_n
(x ̅+z ̅,y ̅)=(x_1+z_1)y_1 + (x_2+z_2)y_2+…+(x_n+z_n)y_n=(x_1 y_1+x_2 y_2+… +x_n y_n)+(z_1 y_1+z_2 y_2+…+z_n y_n)=(x ̅,y ̅)+(z ̅,y ̅)
(Lx ̅,y ̅) = (Lx_1)y_1+ (Lx_2)y_2+…+(Lx_n)y_n=L(x_1 y_1+x_n y_n)=L(x ̅,y ̅) , аналогично (х ̅, Ly ̅)=L(x ̅,y ̅)
(x ̅,x ̅)=x■(2@1)+x■(2@2)+…+x■(2@n)>0 ,если x ̅≠0
 
2.Длина вектора, примеры нормированного вектора. Неравенство Коши-Буняковского (Т.2.1), угол между векторами, неравенство треугольника (Т.2.1).
Длинной в-ра x евклид. пр-ва V наз. число ||x ̅||=√((x ̅,x ̅ ) )
В пр-ве геом. в-вV^3 указанное произведение полностью с опред. длины в-а: ||x ̅||=√((x ̅,x ̅ ) )=√((x ̅,x ̅ )*cos0°)=√(〖|(x|) ̅〗^2 )=|x ̅|
В евкл. пр-ве R^n , ||x ̅||=√(x_1^2+x_2^2+⋯+x_n^2 )
В евкл. пр-ве C_([a,b]) ||f(x)||=√(∫_a^b▒〖f^2 (x)dx〗)
Вектор длина которого =1 наз нормированным. Умножение не нулевого вектора на число обр. его длине наз. нормирование в-ра
x ̅≠0 ̅,V.Рассм. в-р 1/(||x ̅||)*x ̅.Найдем длину этого в-ра из скалярного произвед.
‖1/(||x ̅||)*x ̅ ‖=√(1/(||x ̅||)*x ̅,1/(||x ̅||) x ̅ )=√((1/(||x ̅||))^2 (x ̅,x ̅))=1/(||x ̅||) √((x ̅,x ̅))=1/(||x ̅||)||x ̅||=1
Т.2.1.∀ a ̅,b ̅∈ евкл. пр-ву, |(a ̅,b ̅)|≤|a ̅||b ̅| -нер-во Коши-Буняковского
Т.2.2.Длина суммы двух в-в евкл. пр-ва не превосходит суммы длин слагаемых
3.Унитарное пространство.
Евклидово про-во это векторное про-во над полем действит чисел. Будем рассматривать комплексные век-ые про-ва,т.е про-ва над полем С. Если в таком про-ве сохранить скалярн. опред. таким каким оно дано для евклид про-ва,то получ противоречие. Например если в про-веС^(3 ) для а ̅=(3,4,6i)
((а,) ̅а ̅)=3^2+4^2+(〖6i〗^2)=9+16-36=-11<0
((а,) ̅а ̅)>0, а ̅≠0 ̅
Чтобы избежать таких противоречий скалярн произвед для вект-ых про-тв над С несколько изменяют.
Опред3,1 пусть Vкомплексное про-во,будем говорить что в пр-ве Vзадано скалярн произвед век-ов ,если каждой паре век-ов а ̅,в ̅∈V поставлено в соответствие С число,обознач (а ̅,в ̅) и наз скалярным произвед этих век-ов,причём выполн след усл:1)(а ̅,в ̅)=(в ̅,а ̅)
2)(а ̅+в ̅,c ̅)=(a ̅,c ̅)+(в ̅,c ̅)∀c∈V
3)∀k∈C (ka ̅,в ̅)=k(a ̅,в ̅)
4)(a ̅,a ̅)>0 ∀a ̅≠0 ̅
Комплексное век-ое про-во с определённым в нём скалярн произвед наз унитарным про-ом
Пример:в про-веС^n опред скалярное произвед век-ов х ̅ и у ̅ где
х ̅=(х_1,х_2,…,х_n),y ̅=(y_1,y_2,…,y_n)
(x ̅,y ̅)=x_1 y_1+⋯+x_n y_n опред таким образом скалярн произвед удовлетвор всем сво-вам опред3,1 и делает про-воС^n унитарным про-ом С^3,а ̅=(3,4,6i) ((а,) ̅а ̅)=(9+16+6i*(-6i)=25+36=61>0
3=3+0i3 ̅=3+0i=3-0i=3
Основные сво-ва унитарных про-ств во многом повторяют сво-ва евклид про-ств. Так аналогично теореме1,1 можно доказ что любое комплексное век-он про-во можно превратить в унитарное про-во,так же в унитарн про-ве справедливы нер-ва Коши-Буняковского,нер-ва треуголиника. Однако в унитарных про-вах есть сво-во,которое не выполн в евклид про-вах. Например в унирарн про-ве скалярное произвед не коммутативно. Также в унитарн про-ве (αа ̅,в ̅)≠(а ̅,αв ̅)
4.Ортогональные векторы. Ортогональная и ортонормированная система векторов. Св-ва ортогональных систем (Т.4.1 и Лемма 4.1).
Опред4,1 Век-ры а ̅ и в ̅в евклид про-ва V наз ортогональными если их скалярное произвед =0. В этом случае пишута ̅ перпендикулярно в ̅ и читается а ̅ ортогонально в ̅
Опре4,2 система век-в а_1,а_(2,…,) а_к евклид про-ва Vназ ортог-ой,если любая пара в-в этой системы ортог-на,т е a_(i ) перпендик a_j ∀i≠j Система из одного век-ра считается ортог-ой.Ортогон-ая система век-ов евклид про-ва наз ортонормир-ой ,если каждый век-р этой системы нормирован,т е имеет длину =1
Теорема4,1 Ортогон-ая система ненулевых век-в евклид про-ва лин независима.(для док-ва понадобится лемма4,1)
Лемма4,1 ненулевой век-р ортогонален любому век-ру евклид про-ва
Док-во леммы Пусть а,х произвольные век-ры евклид про-ва V,тогда скалярное произвед (а ̅,х ̅ )=(0 ̅+а ̅,х ̅ )=(0,х ̅ )+(а ̅,х ̅ )=>(0 ̅,х ̅ )=0 ̅
Док-во теоремы 4,1: Пусть а_1,а_(2,…,) а_кортогон система не 0 век-в евклид про-ва V,допустим что эта система век-в лин независ,тогда ∃α_1,α_2,…,α_к ϵR одновременно ≠0,для кот.α_1 а_1+α_2 а_2+⋯+α_к а_к=0 ̅ для определённости будем считать что α_1≠0 умнож скалярно обе части этого рав-ва на а_1;(α_1 а_1+α_2 а_2+⋯+α_к а_к=(а_1,0 ̅ ) α_1 а_1+α_2 а_2+⋯+α_к а_к=0 ̅ т к система а_1,а_(2,…,) а_к ортогон ,то(а_1,а_2)=0…(а_1,а_к )=0 и тогда α(а_1,а_1 )=0 т к а_1≠0,то (а_1,а_1 )>0=>α_1=0(противоречие)=>предполож не верно и система век-в а_1,а_(2,…,) а_к лин независима.

 
5.Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта.
Пусть V евклид про-во и пусть а_1,а_(2,…,) а_кнекот лин независ система век-в этого про-ва,используя эти век-ры построим ортогон систему век-в в_1,в_(2,…,) в_к про-ва V.Алгоритм построения ортогон системы применимый ниже наз процессом ортогонализации Грамма-Шмидта:
1)Положим что в_1=а_(1 ) т к система векторов а_1,а_(2,…,) а_к лин независима,то а_(1 )≠0 и поэтому в_(1 )≠0
2)все ост век-ры в_(2,…,) в_к будем искать в виде суммы след из заданных век-в и некот лин комбинаций уже построенных новых век-в.
3)положим в_2=а_2+α_1 в_1 подберём число α_1 т.о,чтобы в_1 и в_2 были ортогон
0=(в_1,в_2 )=(в_1,а_2+α_1 в_1 )=(в_1,а_2 )+α_1 (в_1,в_1)(в_1,а_2 )+α_1 (в_1,в_1)=0 т к в_1≠0=>(в_1,в_1 )>0=>α=-((в_1,а_2 ))/((в_1,в_1 ) )
Построенный век-р,в_2≠0.действит ,если предполож что ,в_2=0 то а_2+α_1 в_1=0,тогда а_2+α_1 а_1=0. Это означает что а_1 и а_2 лин независимы,что невозможно
4)построим в_3=а_3+α_1 в_1+α_2 в_2 подберём коэф т.о чтобы в_3 было ортогон в_1 и в_3 ортогон в_2
(в_3,в_1)=0 (в_3,в_2)=0
(а_3+α_1 в_1+α_2 в_2,в_1)=0 (а_3+α_1 в_1+α_2 в_2,в_2)=0
(а_3,в_1)+α_1 (в_1,в_1 )+α_2 (в_2,в_1)=0 (а_3,в_2)+α_1 (в_1,в_2 )+α_2 (в_2,в_2)=0 α_1=-((а_3,в_1))/((в_1,в_1 ) ) α_2=-((а_3,в_2))/((в_2,в_2 ) )
Отметим что в_3постр таким образом ≠0. Действит. если
В_3=0, тоа_3+α_1 в_1+α_2 в_2=0 〖 а〗_3+α_1 а_1+α_2 (а_2+βа_1)=0 (α_1+α_2 β) а_1+α_2 а_1+а_3=0
Последнее рав-во говорит о том,что век-ры а_1,а_(2,) а_3 лин завис(?) что невозможно
5Продолжая этот процесс можно построить любой в_l=а_l+α_1 в_1+⋯+α_(l-1) в_(l-1) где α_1=-((а_l,в_1))/((в_1,в_1 ) ), α_2=-((а_l,в_2))/((в_2,в_2 ) ),…,α_(l-1)=-((а_l,в_(l-1)))/((в_(l-1),в_(l-1) ) )Таким образом построим ортог систему век-в в_1,в_(2,…,) в_к причём эти век-ры будут ≠0
Применяя процесс ортогонализ к базису е_1,е_(2,…,) е_n евклид про-ва Vможно получ ортогон систему ≠0 евклид про-ва V.
По теореме4,1 это ортог система лин независима в n-мерном про-ве V эти век-ры в_1,в_(2,…,) в_n образ базис
Такой базис наз ортогональным базисом. Если век-ры этого ортог базиса нормировать ,то базис наз ортонормированным

 
6.Существование ортонормированного базиса в Евклидовом пространстве (Т.4.2). Признак ортонормированного базиса (Т.4.3).
О.4.1.В-рыa ̅ и b ̅евклидова пр-ва Vназ. ортонормированными, если их скалярное произведение равно нулю(a ̅ ⊥ b ̅)
Т. 4.2 В ненулевом конечно мерном Евклидовом пространстве ∃ ортонормированный базис.
∆Пусть e_1,e_2,…,e_n произв. Базис евкл. пр-ваV . Применяя процесс ортогонализации Грамма-Шмидта из этого базиса, построим ортонорм. базис b_1,b_2,…,b_n.Затем нормируем каждый в-р этого базиса, получим :
a_1=b_1/(||b_1 ||) ,a_2=b_2/(||b_2 ||) ,…,a_n=b_n/(||b_n ||)
При таком действии св-во ортонорм. в-в сохраняется.действ. скалярное произведение
(a_(i,) a_j)=(b_i/(||b_i ||),b_j/(||b_j ||))=1/(||b_i ||)*1/(||b_j ||)*(b_i,b_j)=0, при i≠j
a_1,a_2,…,a_n-ортогональны
Покажем, что длина каждого в-ра a_1,a_2,…,a_n=1
〖||a〗_i ||=√((a_i,a_i))=√(b_i/(||b_i ||),b_j/(||b_j ||))=√(1/〖||b_i ||〗^2 (b_i,b_i))=1/(||b_i ||)*√(((b_i ) ̅,(b_i ) ̅))
Построенная таким образом сист. векторов a_1,a_2,…,a_n и есть ортонорм. базис.

7.Изоморфиз Евклидова пространства.
О.5.1.V,V’- евклидовы пр-ва наз. изоморфными, если ∃ взаимно-однозначное отображение
f:V->V’для которого выполняются след. условия:
1)f(x ̅+y ̅)=f(x ̅)+f(y ̅),∀x ̅,y ̅∈V
2)f(kx ̅)=kf(x ̅),∀ k∈R, ),∀x ̅∈V
3)(x ̅,y ̅)= (f(x ̅),f(y ̅)),∀x ̅,y ̅∈V
Т.о. евклд. пр-ваV,V’ изоморфны, если эти пр-ва изоморфны как век-ные пр-ва и их изоморфизм сохр. скалярное произведение.
Т.5.1.Конечномерные евклидовы пр-ва изоморфны их размерности равны.
Следствие 5.1.1. Каждое n-мерное евклидово пр-во изоморфно евклидову пр-ву R^n.
8.Сопряжённые линейные операторы (определение Т.6.1 и примеры).
О.6.1.Пусть f-л.о. евклидова пр-ва V.Л.о. f^*∈Vназ. сопряженным для оператора f,если ∀x ̅,y ̅∈V (x ̅,f((y)) ̅)=(f((x)) ̅,y ̅).
Т. 6.1.∀f-л.о. конечномерного евклидова пр-ва V∃!f^* ,при этом матрица оператора f^*в ортонормированном базисе пр-ва V будет транспонированное по отношению к матрице оператора f в этом базисе.
Примеры
1.Пусть Е- тождественный л.о. V.Нетрудно заметить, что E^*=E,действительно,(E((x)) ̅,y ̅)=(x ̅,y ̅)=(x ̅,E(y ̅))
2.Рассмотрим оператор поворота f.V^2 геом. в-ра на плоскости на угол α.
В ортонорм. базисе i ̅,j ̅ матрица оператора имеет след.вид :A=(■(cosα&sinα@-sinα&cosα))
По т. 6.1. сопряженный к оператору f л.о. f^* имеет матрицу A^T=(■(cosα&-sinα@sinα&cosα))=(■(cos⁡(-α)&sin⁡(-α)@-sin⁡(-α)&cos⁡(-α)))
Это означает, что сопряженный f^* поворачивает в-р в пр-ве V на угол –α.
9.Ортогональный линейный оператор, признак ортогонального оператора (Т.7.1.2 и примеры).
О.7.1.Л. о. f,V наз. ортоногон., если он неизменяет скалярного произведения
(x ̅,y ̅)=(f(x ̅),f(y ̅)), ∀x ̅,y ̅∈V
Т.7.1.Л. о. f евкл. пр-ва Vортогонален  он сохр. длины в-в.
Т.7.2.Для того, чтобы л.о. f конечномерного евклид. пр-ва был ортогональным необходимо и достаточно, чтобы опер. f переводил ортонормир. базис в ортогональный.

10.Ортогональная матрица, признак ортогональных матриц, св-ва ортогональных матриц
(лемма 7.1.2) признак ортогонального оператора (Т.7.3).
Квадратичная матрица А называется ортогональной, если обратная к ней матрица совпадает с транспонированной. A^t=A^(-1)
Из определения следует, что ортогональная матрица не вырождена и 〖AA〗^t=A^t A=E.
Свойства:
〖AA〗^t=E=>|〖AA〗^t |=|E|=>|A||A^t |=1=>〖|A|〗^2=1=>|A|=±1
Признак ортогональной матрицы.
Квадратичная матрица А тогда и только тогда ортогональна, когда сумма квадратов элементов каждой из её строк (столбцов) =1, а сумма попарных произведений соответствующих элементов её различных строк (столбцов) =0.
Эти 2 условия в признаке ортогональной матрицы можно записать в следующем равенстве:
A=(aij) ортогональна тогда и только тогда, когда ai1aj1 + ai2aj2+…+ainaj1 = бij, бij –символ Кронекера.
Лемма 7.1.
Для матриц порядка n над R справедливы следующие утверждения:
Произведение ортогональных матриц является ортогональной матрицей.
Матрица обратная ортогональной матрице также ортогональна.
Лемма 7.2: Матрица перехода от одного ортонормированного базиса евклидово пространства к другому ортонормированному базису этого пространства всегда ортогональна.
Теорема 7.3. Признак ортогонального оператора:
Линейный оператор f конечномерного евклидово пространства V ортогонален тогда и только тогда, когда ортогональная матрица этого оператора в некотором ортонормированном базисе.

 
11.Самосопряжённый линейный оператор. Примеры симметрических матриц. Признак самосопряжённого оператора (Т.8.1). Значение ортогональных и самосопряжённых операторов (Т.8.2 и следствие).
Опр 1. Лин.опер. f евклидова пр. V наз. само. сопр., если он совпадает со своим сопряжённым опер., т.е. f=f^*.
Опр 2. Квадр.матр. А=(аi,j) наз. симметрической, если матр. А=А^Т т.е. (аi,j)=(aj,i) ∀i,j=1…n
A=(■(-2&3&1@3&5&-4@1&-4&7))
T 8.1 Лин. опер.f евклидова пр. V явл. сопряжен.⇔его матр. в орто. норм. базисе пр. V явл. симметрической.
T 8.2 Любой лин. опер. fевклидова пр. V можно предст.f=hg, (где h- ортогон. лин. опер. пр V, g- само-сопряж. лин. опер. пр. V.), такое разложение опер. f наз. полярным разл.
Сл. Любую кв. матр. над полем R, можно представить в виде произв. симметр. и ортогон. матриц.

12.Ортогональное дополнение подпространства и его св-ва (Лемма 9.1.2, Т.9.1 и следствие).
Определение: Ортогональным дополнением подпр-ва W евклидова пр-ва V назыв. множ. W⟘ всех векторов из W каждый из которых ортогонален любому вектору из подпр-ва W, W⟘ ={¯x,∈V│¯x⟘¯(y,)∀¯y∈W}
Лемма9.1:Пусть W подпр-во евклидова пр-ва V тогда множ.W⟘ является подпр-вом пр-ва V
Теорема 9.1:Если Vконечно мерное евклидово пр-во ∀ его подпр-ва W пр-во V=W⨁W⟘
Лемма9.2:Пусть f-самосопряжённый лин.оператор конечномерного евклидова пр-ва V,W-подпр-во V, если подпр-во W инвариантно относительно f=>W⟘ также инвариантно f(инвариантное подпр-во это W<=V,если ∀¯х∈W,f(x) ∈W)
Доказательство:Пусть ¯х –произвольный вектор подпр-ва W⟘ т.к. оператор f самосопряжённый то ∀¯y∈W скалярное произведение (f(x),у)=(х,f(y)) т.к. подпр-во W-инвариантно относительно f то f(¯y)∈W поэтому скалярное произв. (х,f(y))=0 тогда (f(x),у)=0 =>f(x)∈W⟘ =>W⟘ -инвариантно относительно f.

13.Признак самосопряжённого линейного оператора (Т.10.1.2 и следствие).
Лемма Собственные значения самосопряжённого линейного оператора в евклидовом или унитарном пространстве являются действительными числами.
Теорема Линейный оператор f конечномерного евклидова пространства V≠{0} является самосопряжённым в пространстве V существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов оператора f.
Теорема Для любой симметрической матрицы А, существует ортогональная матрица Т, такая что произведение ТАТ⁻¹ является диагонализируемой матрицей.
Следствие Самосопряжённый линейный оператор конечномерного евклидова пространства диагонализируем.