Линейная алгебра

Статьи по предмету «Математика»
Информация о работе
  • Тема: Линейная алгебра
  • Количество скачиваний: 1
  • Тип: Статьи
  • Предмет: Математика
  • Количество страниц: 10
  • Язык работы: Русский язык
  • Дата загрузки: 2014-06-22 22:23:24
  • Размер файла: 52.23 кб
Помогла работа? Поделись ссылкой
Узнать стоимость учебной работы online!
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Решение задач
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Экзамен на сайте
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в ВАК
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Копирайтинг
  • Другое
Узнать стоимость
Информация о документе

Документ предоставляется как есть, мы не несем ответственности, за правильность представленной в нём информации. Используя информацию для подготовки своей работы необходимо помнить, что текст работы может быть устаревшим, работа может не пройти проверку на заимствования.

Если Вы являетесь автором текста представленного на данной странице и не хотите чтобы он был размешён на нашем сайте напишите об этом перейдя по ссылке: «Правообладателям»

Можно ли скачать документ с работой

Да, скачать документ можно бесплатно, без регистрации перейдя по ссылке:

Раздел 6: Линейная алгебра: тема 3.

1.Сколярное произведение и его св-ва (Лемма 1.1) примеры. Евклидово пространство и его существование (Т.1.1).
Опред.1.1. Пусть V действит. (R) в-ое пр-во говорят , что в пра-ве V задано скалярное произвед . в-в, если каждой паре в-в а ̅,в ̅ € V постановлено в соответств. R число обазнач. (а ̅,в ̅) и наз-емое скалярным произвед. этих в-в , причём выполн. след. усл-ия :
1)(а ̅ ,в ̅)=(в ̅,а ̅)
2)(а ̅+в ̅,с ̅)=(а ̅,с ̅)+(в ̅,с ̅)
3)к (а ̅, в ̅)=(ка ̅,в ̅)=(а ̅,кв ̅) ∀ к∈R
4)(а ̅,а ̅)> 0 , ∀ а ̅≠о ̅
Лемма 1.1∀а,в,с∊V,R в котором задано скалярные произвед. в-в справедливы след. утверж. :
1 (а ̅,в ̅+с ̅)=(а ̅,в ̅)+(а ̅,с ̅)
2 (о ̅,а ̅ )=(в ̅,о ̅)=о
Док-во 1)(а ̅,в ̅+с ̅)=(в ̅+с ̅,а ̅)=(в ̅,а ̅)+(с ̅,а)=(а ̅,в ̅)+(а ̅, с ̅)
2) (о ̅,а ̅)=(о о ̅,а ̅)=о(о ̅,а ̅)
(в ̅,о ̅)=(о ̅,в ̅)=0
Примеры
В действит. в- ом пр-ве V^3 геометрич. в-в в теме аналитич . геом, мы ввели понятие скалярного произвед. в-в(а ) ̅•в ̅= |а ̅|•|в ̅|•cosφ
В в-вом пр-ве R^n={(α_(1 ), α_2, … , α_n) / α_█(1@)∊R]
Введем скалярное произвед. по след . правилу. ∀х ̅=(х_(1,) х_(2,… ),х_█(n@)) , (у ) ̅=(у_(1 ),у_2, . . . ,у_n)∊R^n
Подставим число (х ̅ ,у ̅)=х_1 у_1+х_2 у_2+… +х_n у_n∊ R
Опред .1.2 Действит. в-ое пр-во с заданием на нем скал.произвед. наз. Евклидовым пр-ом.
Теорема 1.1 . Любое конечно-мерное в-ое пр-во можно превратить а евклидово пр-во.
Док-во V-n-мерное в-ое пр-во над полем R и пусть e_1,e_2,…,e_(n )базие . Пусть х ̅ и (у ) ̅∊V, тогда их можно разложить по базису
х ̅=х_1 e_1+x_2 e_2+ …+ x_n e_n
y ̅=y_1 e_1+y_2 e_2+…+y_n e_n. Поставим в соответствии этим в-ом х ̅ и (у ) ̅­­­­­>действит. число (х ̅,у ̅)= вычисл. По правилу =
х_1 у_1+х_2 у_2+…+х_n y_n
Покажем , что это правило задает скалярное произвед. в пр-ве V.
(x ̅,y ̅)=x_1 y_1+x_2 y_2+…+x_n y_n=y_1 x_1+y_2 х_2+…+у_n x_n=(y ̅,x ̅)
z ̅=z_1 e_1+z_2 e_2+…+z_n e_n
(x ̅+z ̅,y ̅)=(x_1+z_1)y_1 + (x_2+z_2)y_2+…+(x_n+z_n)y_n=(x_1 y_1+x_2 y_2+… +x_n y_n)+(z_1 y_1+z_2 y_2+…+z_n y_n)=(x ̅,y ̅)+(z ̅,y ̅)
(Lx ̅,y ̅) = (Lx_1)y_1+ (Lx_2)y_2+…+(Lx_n)y_n=L(x_1 y_1+x_n y_n)=L(x ̅,y ̅) , аналогично (х ̅, Ly ̅)=L(x ̅,y ̅)
(x ̅,x ̅)=x■(2@1)+x■(2@2)+…+x■(2@n)>0 ,если x ̅≠0

2.Длина вектора, примеры нормированного вектора. Неравенство Коши-Буняковского (Т.2.1), угол между векторами, неравенство треугольника (Т.2.1).
Длинной в-ра x евклид. пр-ва V наз. число ||x ̅||=√((x ̅,x ̅ ) )
В пр-ве геом. в-вV^3 указанное произведение полностью с опред. длины в-а: ||x ̅||=√((x ̅,x ̅ ) )=√((x ̅,x ̅ )*cos0°)=√(〖|(x|) ̅〗^2 )=|x ̅|
В евкл. пр-ве R^n , ||x ̅||=√(x_1^2+x_2^2+⋯+x_n^2 )
В евкл. пр-ве C_([a,b]) ||f(x)||=√(∫_a^b▒〖f^2 (x)dx〗)
Вектор длина которого =1 наз нормированным. Умножение не нулевого вектора на число обр. его длине наз. нормирование в-ра
x ̅≠0 ̅,V.Рассм. в-р 1/(||x ̅||)*x ̅.Найдем длину этого в-ра из скалярного произвед.
‖1/(||x ̅||)*x ̅ ‖=√(1/(||x ̅||)*x ̅,1/(||x ̅||) x ̅ )=√((1/(||x ̅||))^2 (x ̅,x ̅))=1/(||x ̅||) √((x ̅,x ̅))=1/(||x ̅||)||x ̅||=1
Т.2.1.∀ a ̅,b ̅∈ евкл. пр-ву, |(a ̅,b ̅)|≤|a ̅||b ̅| -нер-во Коши-Буняковского
Т.2.2.Длина суммы двух в-в евкл. пр-ва не превосходит суммы длин слагаемых
3.Унитарное пространство.
Евклидово про-во это векторное про-во над полем действит чисел. Будем рассматривать комплексные век-ые про-ва,т.е про-ва над полем С. Если в таком про-ве сохранить скалярн. опред. таким каким оно дано для евклид про-ва,то получ противоречие. Например если в про-веС^(3 ) для а ̅=(3,4,6i)
((а,) ̅а ̅)=3^2+4^2+(〖6i〗^2)=9+16-36=-11<0
((а,) ̅а ̅)>0, а ̅≠0 ̅
Чтобы избежать таких противоречий скалярн произвед для вект-ых про-тв над С несколько изменяют.
Опред3,1 пусть Vкомплексное про-во,будем говорить что в пр-ве Vзадано скалярн произвед век-ов ,если каждой паре век-ов а ̅,в ̅∈V поставлено в соответствие С число,обознач (а ̅,в ̅) и наз скалярным произвед этих век-ов,причём выполн след усл:1)(а ̅,в ̅)=(в ̅,а ̅)
2)(а ̅+в ̅,c ̅)=(a ̅,c ̅)+(в ̅,c ̅)∀c∈V
3)∀k∈C (ka ̅,в ̅)=k(a ̅,в ̅)
4)(a ̅,a ̅)>0 ∀a ̅≠0 ̅
Комплексное век-ое про-во с определённым в нём скалярн произвед наз унитарным про-ом
Пример:в про-веС^n опред скалярное произвед век-ов х ̅ и у ̅ где
х ̅=(х_1,х_2,…,х_n),y ̅=(y_1,y_2,…,y_n)
(x ̅,y ̅)=x_1 y_1+⋯+x_n y_n опред таким образом скалярн произвед удовлетвор всем сво-вам опред3,1 и делает про-воС^n унитарным про-ом С^3,а ̅=(3,4,6i) ((а,) ̅а ̅)=(9+16+6i*(-6i)=25+36=61>0
3=3+0i3 ̅=3+0i=3-0i=3
Основные сво-ва унитарных про-ств во многом повторяют сво-ва евклид про-ств. Так аналогично теореме1,1 можно доказ что любое комплексное век-он про-во можно превратить в унитарное про-во,так же в унитарн про-ве справедливы нер-ва Коши-Буняковского,нер-ва треуголиника. Однако в унитарных про-вах есть сво-во,которое не выполн в евклид про-вах. Например в унирарн про-ве скалярное произвед не коммутативно. Также в унитарн про-ве (αа ̅,в ̅)≠(а ̅,αв ̅)
4.Ортогональные векторы. Ортогональная и ортонормированная система векторов. Св-ва ортогональных систем (Т.4.1 и Лемма 4.1).
Опред4,1 Век-ры а ̅ и в ̅в евклид про-ва V наз ортогональными если их скалярное произвед =0. В этом случае пишута ̅ перпендикулярно в ̅ и читается а ̅ ортогонально в ̅
Опре4,2 система век-в а_1,а_(2,…,) а_к евклид про-ва Vназ ортог-ой,если любая пара в-в этой системы ортог-на,т е a_(i ) перпендик a_j ∀i≠j Система из одного век-ра считается ортог-ой.Ортогон-ая система век-ов евклид про-ва наз ортонормир-ой ,если каждый век-р этой системы нормирован,т е имеет длину =1
Теорема4,1 Ортогон-ая система ненулевых век-в евклид про-ва лин независима.(для док-ва понадобится лемма4,1)
Лемма4,1 ненулевой век-р ортогонален любому век-ру евклид про-ва
Док-во леммы Пусть а,х произвольные век-ры евклид про-ва V,тогда скалярное произвед (а ̅,х ̅ )=(0 ̅+а ̅,х ̅ )=(0,х ̅ )+(а ̅,х ̅ )=>(0 ̅,х ̅ )=0 ̅
Док-во теоремы 4,1: Пусть а_1,а_(2,…,) а_кортогон система не 0 век-в евклид про-ва V,допустим что эта система век-в лин независ,тогда ∃α_1,α_2,…,α_к ϵR одновременно ≠0,для кот.α_1 а_1+α_2 а_2+⋯+α_к а_к=0 ̅ для определённости будем считать что α_1≠0 умнож скалярно обе части этого рав-ва на а_1;(α_1 а_1+α_2 а_2+⋯+α_к а_к=(а_1,0 ̅ ) α_1 а_1+α_2 а_2+⋯+α_к а_к=0 ̅ т к система а_1,а_(2,…,) а_к ортогон ,то(а_1,а_2)=0…(а_1,а_к )=0 и тогда α(а_1,а_1 )=0 т к а_1≠0,то (а_1,а_1 )>0=>α_1=0(противоречие)=>предполож не верно и система век-в а_1,а_(2,…,) а_к лин независима.


5.Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта.
Пусть V евклид про-во и пусть а_1,а_(2,…,) а_кнекот лин независ система век-в этого про-ва,используя эти век-ры построим ортогон систему век-в в_1,в_(2,…,) в_к про-ва V.Алгоритм построения ортогон системы применимый ниже наз процессом ортогонализации Грамма-Шмидта:
1)Положим что в_1=а_(1 ) т к система векторов а_1,а_(2,…,) а_к лин независима,то а_(1 )≠0 и поэтому в_(1 )≠0
2)все ост век-ры в_(2,…,) в_к будем искать в виде суммы след из заданных век-в и некот лин комбинаций уже построенных новых век-в.
3)положим в_2=а_2+α_1 в_1 подберём число α_1 т.о,чтобы в_1 и в_2 были ортогон
0=(в_1,в_2 )=(в_1,а_2+α_1 в_1 )=(в_1,а_2 )+α_1 (в_1,в_1)(в_1,а_2 )+α_1 (в_1,в_1)=0 т к в_1≠0=>(в_1,в_1 )>0=>α=-((в_1,а_2 ))/((в_1,в_1 ) )
Построенный век-р,в_2≠0.действит ,если предполож что ,в_2=0 то а_2+α_1 в_1=0,тогда а_2+α_1 а_1=0. Это означает что а_1 и а_2 лин независимы,что невозможно
4)построим в_3=а_3+α_1 в_1+α_2 в_2 подберём коэф т.о чтобы в_3 было ортогон в_1 и в_3 ортогон в_2
(в_3,в_1)=0 (в_3,в_2)=0
(а_3+α_1 в_1+α_2 в_2,в_1)=0 (а_3+α_1 в_1+α_2 в_2,в_2)=0
(а_3,в_1)+α_1 (в_1,в_1 )+α_2 (в_2,в_1)=0 (а_3,в_2)+α_1 (в_1,в_2 )+α_2 (в_2,в_2)=0 α_1=-((а_3,в_1))/((в_1,в_1 ) ) α_2=-((а_3,в_2))/((в_2,в_2 ) )
Отметим что в_3постр таким образом ≠0. Действит. если
В_3=0, тоа_3+α_1 в_1+α_2 в_2=0 〖 а〗_3+α_1 а_1+α_2 (а_2+βа_1)=0 (α_1+α_2 β) а_1+α_2 а_1+а_3=0
Последнее рав-во говорит о том,что век-ры а_1,а_(2,) а_3 лин завис(?) что невозможно
5Продолжая этот процесс можно построить любой в_l=а_l+α_1 в_1+⋯+α_(l-1) в_(l-1) где α_1=-((а_l,в_1))/((в_1,в_1 ) ), α_2=-((а_l,в_2))/((в_2,в_2 ) ),…,α_(l-1)=-((а_l,в_(l-1)))/((в_(l-1),в_(l-1) ) )Таким образом построим ортог систему век-в в_1,в_(2,…,) в_к причём эти век-ры будут ≠0
Применяя процесс ортогонализ к базису е_1,е_(2,…,) е_n евклид про-ва Vможно получ ортогон систему ≠0 евклид про-ва V.
По теореме4,1 это ортог система лин независима в n-мерном про-ве V эти век-ры в_1,в_(2,…,) в_n образ базис
Такой базис наз ортогональным базисом. Если век-ры этого ортог базиса нормировать ,то базис наз ортонормированным


6.Существование ортонормированного базиса в Евклидовом пространстве (Т.4.2). Признак ортонормированного базиса (Т.4.3).
О.4.1.В-рыa ̅ и b ̅евклидова пр-ва Vназ. ортонормированными, если их скалярное произведение равно нулю(a ̅ ⊥ b ̅)
Т. 4.2 В ненулевом конечно мерном Евклидовом пространстве ∃ ортонормированный базис.
∆Пусть e_1,e_2,…,e_n произв. Базис евкл. пр-ваV . Применяя процесс ортогонализации Грамма-Шмидта из этого базиса, построим ортонорм. базис b_1,b_2,…,b_n.Затем нормируем каждый в-р этого базиса, получим :
a_1=b_1/(||b_1 ||) ,a_2=b_2/(||b_2 ||) ,…,a_n=b_n/(||b_n ||)
При таком действии св-во ортонорм. в-в сохраняется.действ. скалярное произведение
(a_(i,) a_j)=(b_i/(||b_i ||),b_j/(||b_j ||))=1/(||b_i ||)*1/(||b_j ||)*(b_i,b_j)=0, при i≠j
a_1,a_2,…,a_n-ортогональны
Покажем, что длина каждого в-ра a_1,a_2,…,a_n=1
〖||a〗_i ||=√((a_i,a_i))=√(b_i/(||b_i ||),b_j/(||b_j ||))=√(1/〖||b_i ||〗^2 (b_i,b_i))=1/(||b_i ||)*√(((b_i ) ̅,(b_i ) ̅))
Построенная таким образом сист. векторов a_1,a_2,…,a_n и есть ортонорм. базис.

7.Изоморфиз Евклидова пространства.
О.5.1.V,V’- евклидовы пр-ва наз. изоморфными, если ∃ взаимно-однозначное отображение
f:V->V’для которого выполняются след. условия:
1)f(x ̅+y ̅)=f(x ̅)+f(y ̅),∀x ̅,y ̅∈V
2)f(kx ̅)=kf(x ̅),∀ k∈R, ),∀x ̅∈V
3)(x ̅,y ̅)= (f(x ̅),f(y ̅)),∀x ̅,y ̅∈V
Т.о. евклд. пр-ваV,V’ изоморфны, если эти пр-ва изоморфны как век-ные пр-ва и их изоморфизм сохр. скалярное произведение.
Т.5.1.Конечномерные евклидовы пр-ва изоморфны их размерности равны.
Следствие 5.1.1. Каждое n-мерное евклидово пр-во изоморфно евклидову пр-ву R^n.
8.Сопряжённые линейные операторы (определение Т.6.1 и примеры).
О.6.1.Пусть f-л.о. евклидова пр-ва V.Л.о. f^*∈Vназ. сопряженным для оператора f,если ∀x ̅,y ̅∈V (x ̅,f((y)) ̅)=(f((x)) ̅,y ̅).
Т. 6.1.∀f-л.о. конечномерного евклидова пр-ва V∃!f^* ,при этом матрица оператора f^*в ортонормированном базисе пр-ва V будет транспонированное по отношению к матрице оператора f в этом базисе.
Примеры
1.Пусть Е- тождественный л.о. V.Нетрудно заметить, что E^*=E,действительно,(E((x)) ̅,y ̅)=(x ̅,y ̅)=(x ̅,E(y ̅))
2.Рассмотрим оператор поворота f.V^2 геом. в-ра на плоскости на угол α.
В ортонорм. базисе i ̅,j ̅ матрица оператора имеет след.вид :A=(■(cosα&sinα@-sinα&cosα))
По т. 6.1. сопряженный к оператору f л.о. f^* имеет матрицу A^T=(■(cosα&-sinα@sinα&cosα))=(■(cos⁡(-α)&sin⁡(-α)@-sin⁡(-α)&cos⁡(-α)))
Это означает, что сопряженный f^* поворачивает в-р в пр-ве V на угол –α.
9.Ортогональный линейный оператор, признак ортогонального оператора (Т.7.1.2 и примеры).
О.7.1.Л. о. f,V наз. ортоногон., если он неизменяет скалярного произведения
(x ̅,y ̅)=(f(x ̅),f(y ̅)), ∀x ̅,y ̅∈V
Т.7.1.Л. о. f евкл. пр-ва Vортогонален  он сохр. длины в-в.
Т.7.2.Для того, чтобы л.о. f конечномерного евклид. пр-ва был ортогональным необходимо и достаточно, чтобы опер. f переводил ортонормир. базис в ортогональный.

10.Ортогональная матрица, признак ортогональных матриц, св-ва ортогональных матриц
(лемма 7.1.2) признак ортогонального оператора (Т.7.3).
Квадратичная матрица А называется ортогональной, если обратная к ней матрица совпадает с транспонированной. A^t=A^(-1)
Из определения следует, что ортогональная матрица не вырождена и 〖AA〗^t=A^t A=E.
Свойства:
〖AA〗^t=E=>|〖AA〗^t |=|E|=>|A||A^t |=1=>〖|A|〗^2=1=>|A|=±1
Признак ортогональной матрицы.
Квадратичная матрица А тогда и только тогда ортогональна, когда сумма квадратов элементов каждой из её строк (столбцов) =1, а сумма попарных произведений соответствующих элементов её различных строк (столбцов) =0.
Эти 2 условия в признаке ортогональной матрицы можно записать в следующем равенстве:
A=(aij) ортогональна тогда и только тогда, когда ai1aj1 + ai2aj2+…+ainaj1 = бij, бij –символ Кронекера.
Лемма 7.1.
Для матриц порядка n над R справедливы следующие утверждения:
Произведение ортогональных матриц является ортогональной матрицей.
Матрица обратная ортогональной матрице также ортогональна.
Лемма 7.2: Матрица перехода от одного ортонормированного базиса евклидово пространства к другому ортонормированному базису этого пространства всегда ортогональна.
Теорема 7.3. Признак ортогонального оператора:
Линейный оператор f конечномерного евклидово пространства V ортогонален тогда и только тогда, когда ортогональная матрица этого оператора в некотором ортонормированном базисе.


11.Самосопряжённый линейный оператор. Примеры симметрических матриц. Признак самосопряжённого оператора (Т.8.1). Значение ортогональных и самосопряжённых операторов (Т.8.2 и следствие).
Опр 1. Лин.опер. f евклидова пр. V наз. само. сопр., если он совпадает со своим сопряжённым опер., т.е. f=f^*.
Опр 2. Квадр.матр. А=(аi,j) наз. симметрической, если матр. А=А^Т т.е. (аi,j)=(aj,i) ∀i,j=1…n
A=(■(-2&3&1@3&5&-4@1&-4&7))
T 8.1 Лин. опер.f евклидова пр. V явл. сопряжен.⇔его матр. в орто. норм. базисе пр. V явл. симметрической.
T 8.2 Любой лин. опер. fевклидова пр. V можно предст.f=hg, (где h- ортогон. лин. опер. пр V, g- само-сопряж. лин. опер. пр. V.), такое разложение опер. f наз. полярным разл.
Сл. Любую кв. матр. над полем R, можно представить в виде произв. симметр. и ортогон. матриц.

12.Ортогональное дополнение подпространства и его св-ва (Лемма 9.1.2, Т.9.1 и следствие).
Определение: Ортогональным дополнением подпр-ва W евклидова пр-ва V назыв. множ. W⟘ всех векторов из W каждый из которых ортогонален любому вектору из подпр-ва W, W⟘ ={¯x,∈V│¯x⟘¯(y,)∀¯y∈W}
Лемма9.1:Пусть W подпр-во евклидова пр-ва V тогда множ.W⟘ является подпр-вом пр-ва V
Теорема 9.1:Если Vконечно мерное евклидово пр-во ∀ его подпр-ва W пр-во V=W⨁W⟘
Лемма9.2:Пусть f-самосопряжённый лин.оператор конечномерного евклидова пр-ва V,W-подпр-во V, если подпр-во W инвариантно относительно f=>W⟘ также инвариантно f(инвариантное подпр-во это W<=V,если ∀¯х∈W,f(x) ∈W)
Доказательство:Пусть ¯х –произвольный вектор подпр-ва W⟘ т.к. оператор f самосопряжённый то ∀¯y∈W скалярное произведение (f(x),у)=(х,f(y)) т.к. подпр-во W-инвариантно относительно f то f(¯y)∈W поэтому скалярное произв. (х,f(y))=0 тогда (f(x),у)=0 =>f(x)∈W⟘ =>W⟘ -инвариантно относительно f.

13.Признак самосопряжённого линейного оператора (Т.10.1.2 и следствие).
Лемма Собственные значения самосопряжённого линейного оператора в евклидовом или унитарном пространстве являются действительными числами.
Теорема Линейный оператор f конечномерного евклидова пространства V≠{0} является самосопряжённым в пространстве V существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов оператора f.
Теорема Для любой симметрической матрицы А, существует ортогональная матрица Т, такая что произведение ТАТ⁻¹ является диагонализируемой матрицей.
Следствие Самосопряжённый линейный оператор конечномерного евклидова пространства диагонализируем.